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《第2章+平面向量》2013年单元测试卷1


《第 2 章 平面向量》2013 年单元测试卷 1

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《第 2 章 平面向量》2013 年单元测试卷 1
一.选择题 1. (3 分)以下说法错误的是( A.零向量与任一非零向量平行 C. 平行向量方向相同 ) B. 零向量与单位向量的模不相等 D.平行向量一定是共线向量

2. (3 分)下列四式中不能化简为 A. B.

的是(

) C. D.

3. (3 分)已知 =(3,4) , =(5,12) ,则 与 夹角的余弦为( A. B. C.

) D.

4. (3 分) (2004?山东)已知 、 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么| A. B. C.

|=(



D.4

5. (3 分)已知 ABCDEF 是正六边形,且 A. B.



,则 C.

=(

) D.

6. (3 分)设 , 为不共线向量, A. B.

, C.



=

,则下列关系式中正确的是( D.



7. (3 分)设 A .1 C. ±1



是不共线的非零向量,且 k

+



+k

共线,则 k 的值是(



B. ﹣1 D.任意不为零的实数

8. (3 分) (2013?黄埔区一模)在四边形 ABCD 中, A.矩形 B.菱形

=

,且

?

=0,则四边形 ABCD( D.等腰梯形



C.直角梯形

9. (3 分)已知 M(﹣2,7) ,N(10,﹣2) ,点 P 是线段 MN 上的点,且 A.(﹣14,16) B.(22,﹣11) C.(6,1)

,则 P 点的坐标为( D.(2,4)



10. (3 分)已知 =(1,2) , =(﹣2,3) ,且 k + 与 ﹣k 垂直,则 k=(
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www.jyeoo.com A.

B.

C.

D.

11. (3 分) (2011?合肥模拟)若平面向量 =(1,x)和 =(2x+3,﹣x)互相平行,其中 x∈R,则| ﹣ |=( A. B. ) C.﹣2 或 0 D.2 或 10



12. (3 分)下面给出的关系式中正确的个数是( ① ② ③ ④ ⑤ A .0 二.填空题 13. (3 分)若 . B.1

C .2

D.3

=(3,4) ,点 A 的坐标为(﹣2,﹣1) ,则点 B 的坐标为

_________ .

14. (3 分)已知 =(3,﹣4) , =(2,3) ,则 2| |﹣3 ? =

_________ .

15. (3 分)已知向量



,且

,则

的坐标是 _________ . _________ .

16. (3 分)△ ABC 中,A(1,2) ,B(3,1) ,重心 G(3,2) ,则 C 点坐标为

17. (3 分)如果向量 与 的夹角为 θ,那么我们称 ,如果

为向量 与 的“向量积”, ,则

是一个向量,它的长度为

= _________ .

三、简答题 18.设平面三点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(2,5) . (Ⅰ )试求向量 2 (Ⅱ )试求向量 (Ⅲ )试求与 + 与 的模 的夹角;

垂直的单位向量的坐标.

19.已知向量 =(3,

) ,求向量 ,使| |=2| |,并且

与 的夹角为



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www.jyeoo.com 20.已知平面向量 . (1)试求函数关系式 k=f(t) (2)求使 f(t)>0 的 t 的取值范围. .若存在不同时为零的实数 k 和 t,使

21.如图,

=(6,1) ,

=(x,y) ,

=(﹣2,﹣3) ,且



(1)求 x 与 y 间的关系; (2)若 ,求 x 与 y 的值及四边形 ABCD 的面积.

22.已知 、 均为非零向量,当 ① 求 t 的值; ② 已知 与 为不共线向量,求证 与

(t∈R)的模取最小值时,

垂直.

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《第 2 章 平面向量》2013 年单元测试卷 1
参考答案与试题解析
一.选择题 1. (3 分)以下说法错误的是( A.零向量与任一非零向量平行 C. 平行向量方向相同 考点: 专题: 分析: 解答:

) B. 零向量与单位向量的模不相等 D.平行向量一定是共线向量

平行向量与共线向量. 常规题型. 利用零向量是模为 0,方向任意;平行向量即共线向量是方向相同或相反的向量对四个选项进行判断. 解:∵ 零向量是模为 0,方向任意 ∴ A,B 对 ∵ 平行向量即共线向量是方向相同或相反的向量 ∴ C错D对 故选 C 点评: 本题考查的是零向量的对于、平行向量的定义.
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2. (3 分)下列四式中不能化简为 A. B.

的是(

) C. D.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 由题意得 A: B: C: D: 解答: 解:由题意得 A: B: C: D:

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, = , ;由以上可得只有 C 答案符合题意. ,

, = ,所以 C 不能化简为 , , ,

故选 C. 点评: 解决本题的关键是熟练掌握数列的运算性质.

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www.jyeoo.com 3. (3 分)已知 =(3,4) , =(5,12) ,则 与 夹角的余弦为( A. B. C. ) D.

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: 利用向量的模的坐标公式求出向量的坐标,利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积;利用向量的数 量积求出向量的夹角余弦. 解答: 解: =5,
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=13, =3×5+4×12=63, 设 夹角为 θ,

所以 cosθ= 故选 A. 点评: 本题考查向量的模的坐标公式、向量的坐标形式的数量积公式、利用向量的数量积求向量的夹角余弦.

4. (3 分) (2004?山东)已知 、 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么| A. B. C.

|=(



D.4

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模. 分析: 求向量模的运算,一般要对模的表达式平方整理,平方后变为向量的模和两个向量的数量积,根据所给的 单位向量和它们的夹角代入数据求出结果. 解答: 解:∵ 均为单位向量,它们的夹角为 60°
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∴ | |=1,| |=1, =cos60° ∴ | |= = =

故选 C. 点评: 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注意数量积性质的相关 问题的特点,以熟练地应用数量积的性质.

5. (3 分)已知 ABCDEF 是正六边形,且 A. B.



,则 C.

=(

) D.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 计算题.

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www.jyeoo.com 分析: 正六边形 ABCDEF 中,根据 解答:

=

=

,且

, = =

,由此得到结论. = ,

解:如图,在正六边形 ABCDEF 中,由正六边形的性质可得 故选 B.

点评: 本题考查向量相等的概念、向量加减法的三角形及平行四边形法则、向量共线的充要条件,体现了数形结 合的数学思想,属于基础题题.

6. (3 分)设 , 为不共线向量, A. B.

, C.



=

,则下列关系式中正确的是( D.



考点: 向量的共线定理. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据条件计算向量 解答: 解:由条件可得

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.可得 = + + ,

,故可得出正确选项. ,

=﹣8 ﹣2 =2

则关系式中正确的是

故选 B. 点评: 本题考查向量的运算法则、考查向量的线性运算,属于基础题. 7. (3 分)设 A .1 C. ±1 与 是不共线的非零向量,且 k + 与 +k 共线,则 k 的值是( )

B. ﹣1 D.任意不为零的实数

考点: 向量的共线定理. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两个向量共线的关系,写出两个向量共线的充要条件,整理出关于 k 和 λ 的关系式,把 λ 用 k 表示, 得到关于 k 的方程,解方程组即可. 解答: 解:∵ k + 与 +k 共线,
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∴ k ∴ k

+ +

= λ( =λ

+k +λk

) , ,

∴ k=λ,1=λk,
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www.jyeoo.com 2 ∴ k =1, k=±1, 故选 C. 点评: 本题考查向量共线的充要条件,是一个基础题,这种题目可以出现在大型考试的选择和填空中,若出现是 一个送分题目.

8. (3 分) (2013?黄埔区一模)在四边形 ABCD 中, A.矩形 B.菱形

=

,且

?

=0,则四边形 ABCD( D.等腰梯形



C.直角梯形

考点: 相等向量与相反向量;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 由 ,可得四边形 ABCD 的对边 AB∥ CD 且 AB=CD,四边形 ABCD 为平行四边形
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=0,可得平行四边形的对角线 AC⊥ BD,从而可得四边形 ABCD 为菱形 解答: 解:∵ = ? 即一组对边平行且相等,

=0 即对角线互相垂直;

∴ 该四边形 ABCD 为菱形. 故选 B 点评: 利用向量的知识进行判断是解决本题的关键,本题主要考查了由向量相等及向量垂直的知识进行判断四边 形的知识

9. (3 分)已知 M(﹣2,7) ,N(10,﹣2) ,点 P 是线段 MN 上的点,且 A.(﹣14,16) B.(22,﹣11) C.(6,1)

,则 P 点的坐标为( D.(2,4)



考点: 相等向量与相反向量. 专题: 计算题. 分析: 先写出 2 个向量的坐标,利用 2 个向量相等,则他们的坐标对应相等. 解答: 解:D 设 P(x,y) ,则 ,
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∵ =﹣2

,∴

,∴

∴ P 点的坐标为 (2,4) ,故选 D. 点评: 本题考查两个向量相等的条件,两个向量相等时,他们的坐标相等.

10. (3 分)已知 =(1,2) , =(﹣2,3) ,且 k + 与 ﹣k 垂直,则 k=( A. B. C.

) D.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量垂直的坐标形式的充要条件列出方程,求出 k 的值.
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www.jyeoo.com 解答: 解:根据题意,易得 k + =k(1,2)+(﹣2,3)=(k﹣2,2k+3) , ﹣k =(1,2)﹣k(﹣2,3)=(1+2k,2﹣3k) . ∵ 两向量垂直, ∴ (k﹣2) (1+2k)+(2k+3) (2﹣3k)=0. ∴ k= , 故选 A. 点评: 本题考查利用向量的数量积公式、坐标表示,向量垂直的充要条件,是一道中档题.

11. (3 分) (2011?合肥模拟)若平面向量 =(1,x)和 =(2x+3,﹣x)互相平行,其中 x∈R,则| ﹣ |=( A. B. C.﹣2 或 0 D.2 或 10



考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 计算题. 分析: 由于平面向量 和 互相平行,利用两向量平行式的坐标形式的等价条件可
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以求出 x 的值,再有向量的减法求出 解答: 解:因为平面向量 和

的坐标,利用模长公式即可求得. 互相平行,

所以 1×(﹣x)﹣x×(2x+3)=0?x=0,或 x=﹣2, 即 则 所以 . 或 ,

故选:B 点评: 此题考查了两向量平行的坐标表示法及方程思想求解未知量 x 的值,还考查了已知向量的坐标求向量的模. 12. (3 分)下面给出的关系式中正确的个数是( ① ② ③ ④ ⑤ A .0 . B.1 C .2 D.3 )

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 综合题;平面向量及应用.
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www.jyeoo.com 分析: 由向量的数量积的定义可知 由向量数量积的运算性质可知, 由向量的数量积的运算性质可知,

, ,

由向量数量积的运算性质可知,向量的数量积不满足结合律, , 解答: 解:由向量的数量积的定义可知 由向量数量积的运算性质可知, 由向量的数量积的运算性质可知, ,故① 错误 ,故② 正确 正确,故③ 正确

由向量数量积的运算性质可知,向量的数量积不满足结合律,故④ 错误 ,故⑤ 错误 正确的有② ③ 故选 C 点评: 本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的 性质的简单应用,解题的关键是熟练掌握基本知识 二.填空题 13. (3 分)若 =(3,4) ,点 A 的坐标为(﹣2,﹣1) ,则点 B 的坐标为 (1,3) .

考点: 平面向量坐标表示的应用. 专题: 计算题. 分析: 设出 B 的坐标,利用 ,求出 B 的坐标即可.
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解答:

解:设 B(a,b) ,点 A 的坐标为(﹣2,﹣1) ,所以

=(a+2,b+1) ,因为

=(3,4) ,

所以(a+2,b+1)=(3,4) ,所以 a=1,b=3,点 B 的坐标为(1,3) . 故答案为: (1,3) . 点评: 本题考查向量的基本运算,注意向量表示的方法与法则,考查计算能力.

14. (3 分)已知 =(3,﹣4) , =(2,3) ,则 2| |﹣3 ? = 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 向量法. 分析: 利用向量模的坐标公式求出
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28 .

,利用向量的数量积公式求出向量的数量积,代入求出值.

解答:

解:∵ ∴ =5

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∴ 故答案为 28. 点评: 本题考查向量模的坐标形式的公式、向量的数量积公式.

15. (3 分)已知向量 .



,且

,则

的坐标是



考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设出向量 的坐标,根据 列方程组求解.
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解答:

解:设

,∵

,∴

,即 x +y =9 ① ,

2

2



,∴ x+2y=0

② ,联立① ② 得:





∴ 的坐标是 故答案为 或

或 .



点评: 本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系,考查了方程思想,考查计算能力,是基础题. 16. (3 分)△ ABC 中,A(1,2) ,B(3,1) ,重心 G(3,2) ,则 C 点坐标为 考点: 专题: 分析: 解答: (5,3) .

平面直角坐标系与曲线方程. 计算题;方程思想. 由题意,先设出点 C 的坐标,再根据重心与三个顶点坐标的关系式直接建立方程,即可求出点 C 的坐标 解:设点 C(x,y) 由重心坐标公式知 3×3=1+3+x,6=2+1+y 解得 x=5,y=3 故点 C 的坐标为(5,3) 故答案为(5,3) 点评: 本题考查重心与三个顶点坐标之间的关系式,熟练记忆重要结论是解答的关键,本题考查了方程思想
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17. (3 分)如果向量 与 的夹角为 θ,那么我们称 ,如果

为向量 与 的“向量积”, ,则 =

是一个向量,它的长度为 .

考点: 平面向量数量积的性质及其运算律. 专题: 计算题;新定义. 分析: 利用两个向量的数量积的定义求出 cosθ,利用同角三角函数的基本关系求出 sinθ,代入
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www.jyeoo.com = 解答: 解:∵ ∴ cosθ=﹣ .又∵ 0≤θ≤π,∴ sinθ= ∴ = =4?3? 求出所求的式子的值. ,∴ . =2 , =4×3×cosθ,

故答案为: . 点评: 本题考查两个向量的数量积的定义,同角三角函数的基本关系,求出 sinθ 是解题的关键. 三、简答题 18.设平面三点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(2,5) . (Ⅰ )试求向量 2 (Ⅱ )试求向量 (Ⅲ )试求与 + 与 的模 的夹角;

垂直的单位向量的坐标.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ )由题意先求出 , ,然后代入求解 2 + ,即可求解 (Ⅱ )先求| |,| |= ,然后求出 ,代入向量的夹角公式 cosA=

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?

即可求解

(Ⅲ )设所求向量为 =(x,y) ,则 x +y =1. 然后由由 方程,联立可求 x,y 即可求解 解答: 解: (Ⅰ )∵ =(0﹣1,1﹣0)=(﹣1,1) , ∴ 2 ∴ |2 + +

2

2

⊥ ,利用向量的数量积的性质可得关于 x,y 的

=(2﹣1,5﹣0)=(1,5) .

=2(﹣1,1)+(1,5)=(﹣1,7) . |= = = = , ? =5 . .…(4 分)

(Ⅱ )∵ | |= | |=

=(﹣1)×1+1×5=4.

∴ cosA=

=

=

.…(8 分)
2 2

(Ⅲ )设所求向量为 =(x,y) ,则 x +y =1. ① 又 =(2﹣0,5﹣1)=(2,4) ,由 ⊥ ,得 2 x+4 y=0. ②

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由① 、② ,得



∴ =(

,﹣

)或(﹣



) .…(12 分)

点评: 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示的基本运算,向量数量积的运算性质的简单应用,属于基础试题

19.已知向量 =(3,

) ,求向量 ,使| |=2| |,并且

与 的夹角为



考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题设可得| |=2 ,| |=4 ,设 =(4
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cosα,4

sinα) ,α∈[0,2π],则由

=| |?| |cosα,

求得 sinα 的值,可得 cosα 的值,从而求得向量 解答: 解:由题设可得| |=2 则由 ,| |=4 ,设 =(4

的坐标. cosα,4 sinα) ,α∈[0,2π],

=| |?| |cosα,得 12

cosα+12sinα=12,∴ cosα=1﹣sinα,

解得 sinα=1,或 sinα=﹣ . 当 sinα=1 时,cosα=0;当 sinα=﹣ 时,cosα= 故所求的向量 =(0,4 ) ,或 =(6,﹣2 . ) .

点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量的数量积公式,属于中档题.

20.已知平面向量 . (1)试求函数关系式 k=f(t) (2)求使 f(t)>0 的 t 的取值范围.

.若存在不同时为零的实数 k 和 t,使

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)由题意可得 ,即 可得﹣4k+t(t ﹣3)=0,化简可得函数关系式 k=f(t) . (2)由 f(t)>0,得 解答: 解: (1)∵ ∵ ,∴ ,即 ,∴ ﹣4k+t(t ﹣3)=0,即
2 2

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.再由



,即 . .

,由此解得 t 的取值范围.

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www.jyeoo.com (2) 由f (t) >0, 得 , 即 , 解得﹣ <t<0 或 t> .

点评: 本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量坐标形式的运算,高次不等式的解法,属于基础题.

21.如图,

=(6,1) ,

=(x,y) ,

=(﹣2,﹣3) ,且



(1)求 x 与 y 间的关系; (2)若 ,求 x 与 y 的值及四边形 ABCD 的面积.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)根据向量的加法法则得到 = + + =(4+x,y﹣2) ,再根据向量共线的充要条件,即可得出 x
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与 y 间的关系; (2)先表示出 和 解答: = + =(6+x,1+y) , =(x﹣2,y﹣3) .再根据向量垂直的充要条件,即可得出

的坐标,从而求得四边形 ABCD 的面积. + + =(4+x,y﹣2) ,

解: (1)∵ = ∴ 由 故 x+2y=0. (2)由 ∵ ∴ =

,得 x(y﹣2)=y(4+x) ,

+

=(6+x,1+y) ,

=(x﹣2,y﹣3) .

,∴ (6+x) (x﹣2)+(1+y) (y﹣3)=0,又 x+2y=0, 或

∴ 当 当 故

=(﹣6,3)时, =(2,﹣1)时, 与 同向,

=(﹣2,1) , =(6,﹣3) .

四边形 ABCD 的面积= 点评: 本题主要考查了平面向量共线(平行)的坐标表示,数量积判断两个平面向量的垂直关系.考查数形结合 思想,属于中档题.

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www.jyeoo.com 22.已知 、 均为非零向量,当 ① 求 t 的值; ② 已知 与 为不共线向量,求证 与 垂直. (t∈R)的模取最小值时,

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;向量的模. 专题: 计算题. 分析: (1)求出 的平方,展开化简,模取得最小值时,求出 t 的值.
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(2)借助(1)直接求解( 解答: 解: (1) ( )=
2 2 2

)? 的值,推出值为 0,即可说明 与 = 2+t
2 2 2

垂直.

+2t| || |cos< , >

=(t| |+| |cos< , >) +| | (1﹣cos < , >) 当 t= 时.| |有最小值 ;

(2) 与 为不共线向量, 由 (1) 可知此时, (

) ? =

+[

]| | =

2



=0

即(

)⊥ ,夹角是 90°.

点评: 本题是中档题,考查向量的数量积的应用,考查计算能力,注意模的最小值的求法,存在关系的应用.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:minqi5;caoqz;吕静;wdnah;xintrl;qiss;邢新丽;haichuan;sxs123;涨停(排 名不分先后)
菁优网 2014 年 7 月 15 日

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