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湖北省黄冈中学2013届高三6月适应性考试数学理试题(A卷)


湖北省黄冈市黄冈中学 2013 届高三 6 月适应性考试数 学理试题(A 卷)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {2,0,1} ,集合 B ? {x || x |? a ,且 x ? Z } ,则满足 A ? B 的实数 a 可以取 的一个值是( A.3 ) B.2 C.1 ) D.0

1 2.已知命题 p : $ x R, 使 sin x < x 成立. 则 ?p 为( 2 1 A. $ x R, 使 sin x = x 成立 B. " x R, sin x < 2 1 x 成立 C. $ x R, 使 sin x ? D. " x R, sin x ? 2

1 x 均成立 2 1 x 均成立 2


3.已知函数 y ? 2sin x 的定义域为[a,b],值域为[-2,1],则 b ? a 的值不可能是 ( A.

5? 6

B. ?

C.

7? 6

D. 2?

4.在区间[-1,1]上随机取一个数 x ,则 sin

?x
4

的值介于 ?

1 2 与 之间的概率为( 2 2
D.

)

A.

1 4

B.

1 3

C.

2 3

5 6


5.按下图所示的程序框图运算:若输出 k=2,则输入 x 的取值范围是( A.(20,25] B.(30,32] C.(28,57] 是

D.(30,57]

开始

输入 x

k=0

x=2x+1

k=k+1 否

x>115?

.

输出 k

结束

?x ? 0 ? 6. 当实数 x, y 满足不等式 ? y ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ?
A. (0,1] B. (??,1]

O D A B 时, 恒有 ax ? y ? 2 成立, 则实数 a 的取值集合是 ) ( 输出 x,k C. (?1,1] D. (1, 2)

7.已知三棱锥 S—ABC 的三视图如图所示:

S

S

A S (A)

C 正视图

B A(B) C 侧视图 B

在原三棱锥中给出下列命题: ①BC⊥平面 SAC; ②平面 SBC⊥平面 SAB; ③SB⊥AC. 其中所有正确命题的代号是 ( A.① C.①③ B.② D.①② )

8.已知 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点, E 是双曲线的右顶点,过点 F 且 a 2 b2

垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点, ?ABE 是锐角三角形, 若 则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( A. (1, 2) ) B.

(1,

2)

C.

(1, 3 )

D. (1, 3)

9.气象意义上从春季进入夏季的标志为: “连续 5 天的日平均温度均不低于 22 0C” .现有 甲、乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数) : ① 甲地:5 个数据的中位数为 24 ,众数为 22 ; ② 乙地:5 个数据的中位数为 27 ,总体均值为 24 ; ③ 丙地:5 个数据中有一个数据是 32 ,总体均值为 26 ,总体方差为 10.8 ; 则肯定进入夏季的地区有 ( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 10.如图,在扇形 OAB 中, ?AOB ? 60? , C 为弧 AB 上且与 .

A, B 不重合的一个动点,且 OC ? xOA ? yOB ,若 ...
u ? x ? ? y(? ? 0) 存在最大值,则 ? 的取值范围为(
A. ( ,1) )

A

C
O
(第 10 题图)

1 2

B. (1,3)

C. ( ,2)

1 2

D. ( ,3)

1 3

B

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填 在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ....... (一)必考题(11—14 题) 11.已知向量 a ? (2,3) , b ? (?2,1) ,则 a 在 b 方向上的投影等于 .

12.从 a,b,c,d ,e 这 5 个元素中取出 4 个放在四个不同的格子中,且元素 b 不能放在第二个 格子中,问共有
x

种不同的放法. (用数学作答) .

13.若函数 f ( x) ? a ? x ? a(a ? 0 且 a ? 1) 有两个零点,则实数 a 的取值范围是

14.科拉茨是德国数学家,他在 1937 年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数 n,如果 n

是偶数,就将它减半(即

n ) ;如果 n 是奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n ? 1 ) ,不断重复这样 2

的运算,经过有限步后,一定可以得到 1.如初始正整数为 6,按照上述变换规则,我们可 以得到一个数列:6,3,10,5,16,8,4,2,1.对于科拉茨猜想,目前谁也不能证明, 也不能否定,现在请你研究: (1)如果 n ? 2 ,则按照上述规则施行变换后的第 8 项为 . (2) 如果对正整数 n(首项) 按照上述规则施行变换后的第 8 项为 1 (注: 可以多次出现) 1 , 则 n 的所有不同值的个数为 . .. (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15. (选修 4-1:几何证明选讲) 如图, ?ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交 于点 E , ?BAC 的平分线与 BC 相交于点 D , 若 EB ? 8 , EC ? 2 ,则 ED ? ______. 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ?

2 cos( ? ?

?
4

).

以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参 数方程是: ?

? x ? 1 ? 4t ( t为参数 ) ,则直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长为______. y ? ?1 ? 3t ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A cos(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? 为 (0, 1) ,它在 y 轴右侧的第一个最高点和 第一个最低点的坐标分别为 ( x 0 ,2) 和 ( x 0 ? 2? ,?2) (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)若锐角 ? 满足 cos ? ?
1 ,求 f (2? ) 的值. 3

?
2

? ? ? 0 )的图像与 y 轴的交点

18. (本题满分 12 分) 节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的 先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速 公路的车速(km/h)分成六段 [80,85),[85,90), [90,95), [95,100), [100,105),[105,110) 后 得到如下图的频率分布直方图. (1)此调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.

(3)若从车速在 [80,90) 的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中车速在 [85,90) 的车辆数 ? 的分布列及数学期望. 频率 组距 0. 060 0. 050 0. 040

0. 020 0. 010

80 85 19. (本题满分 12 分)

90

95

100 105 110 车速

如 图 , 在 各 棱 长 均 为 2 的 三 棱 柱 ABC? A1 B1C1 中 , 侧 面 A1 ACC1 ? 底 面 ABC ,

?A1 AC ? 60? .
(1)求侧棱 AA 与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小; 1 (2)已知点 D 满足 BD ? BA ? BC ,在直线 AA 上是 1 否存在点 P ,使 DP // 平面AB1C ?若存在,请确定点

P 的位置;若不存在,请说明理由.
20. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在 A、B 两个喷雾器中分别配制成 12%和 6%的药 水各 10 千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个容量为 1 千克 的药瓶,他们从 A、B 两个喷雾器中分别取 1 千克的药水,将 A 中取得的倒入 B 中,B 中取 得的倒入 A 中,这样操作进行了 n 次后,A 喷雾器中药水的浓度为 an % ,B 喷雾器中药水 的浓度为 bn % . (1)证明: an ? bn 是一个常数; (2)求 an 与 an ?1 的关系式; (3)求 an 的表达式.

21. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 C1 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 以及椭圆 C2 : 点及左、右顶点均在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上. (1)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程; ( 2 ) 过 点 F 的 直 线 交 抛 物 线 C1 于 A, B 两 不 同 点 , 交 y 轴 于 点 N , 已 知

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的上、 下焦 a 2 b2

??? ? ??? ??? ? ? ??? ? NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值;
( 3 ) 直 线 l 交 椭 圆 C2 于 P, Q 两 不 同 点 , P, Q 在 x 轴 的 射 影 分 别 为 P ', Q ' ,

??? ???? ???? ???? ? ? ? ??? ??? ???? ? ? OP ? OQ ? OP ' ? OQ ' ? 1 ? 0 ,若点 S 满足 OS ? OP ? OQ ,证明:点 S 在椭圆 C2 上.

22. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ? ln x, g ( x) ?

1 ? 1( x ? 0) x

(1)求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的极值, 并证明:若 x1 , x2 ? (0, ??) 有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f '( x)( x2 ? x1 ) ; (2)设 ?1 , ?2 ? 0 ,且 ?1 ? ?2 ? 1 , x1 ? 0, x2 ? 0 , 证明: ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? f (?1x1 ? ?2 x2 ) , 若 ?i ? 0, xi ? 0(i ? 1, 2,?, n) ,由上述结论猜想一个一般性结论(不需要证明) ; (3)证明:若 ai ? 0(i ? 1, 2,?, n) ,则 a1 1 a2 2 ? an
a a an

?(

a1 ? a2 ? ? ? an a1 ? a2 ??? an ) n

湖北省黄冈中学 2013 届毕业生适应性考试

数学(理工类)参考答案
1 A卷 B卷 A D 2 D A 3 D C 4 D B 5 C D 6 B D 7 A D 8 A C 9 C B 10 C D

1. 【答案】A. 【解析】a=3 时,B={-2,-1,0,1,2},符合 A ? B. 2. 【答案】D 【解析】原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即 ?p : ?x ? R ,sin x ? 3. 【答案】D 【解析】值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期,故选 D 4. 【答案】D 【解析】由题意可得 ?

x . 2

?
6

?

?x
4

?

?
4

,即 ?

2 5 ? x? 1 ,其区间长度为 ,由几何概型公式知所 3 3

5 5 求概率为 3 ? . 2 6
5. 【答案】C 【解析】当输出 k=2 时,应满足 ? 6. 【答案】B 【解析】画出可行域,直线 ax ? y ? 2 恒过定点(0,2) ,则可行域恒在直线 ax ? y ? 2 的 下方,显然当 a ? 0 时成立,当 a ? 0 时,直线即为

?2 x ? 1 ? 115 ,得 28<x≤57. ?2(2 x ? 1) ? 1 ? 115

x y ? ?1 ,其在 x 轴的截 距 2 2 a

2 ? 2 ? 0 ? a ? 1 ,综上,可得 a ? 1 . a
7. 【答案】A 【解析】 :显然有三视图我们易知原几何体为三棱锥侧棱 SA 垂直于底面 ABC ,底面是个直 角三角形 AC ? BC ,从而我们易知只有①是正确的 8. 【答案】A 【解析】由于 ?ABE 为等腰三角形,可知只需 ?AEF ? 45 即可,即
0

| AF |?| EF |?
9. 【答案】C

b2 ? a ? c ,化简得 e2 ? e ? 3 ? 0 ? 1 ? e ? 2 . a

【解析】甲地肯定进入,因为众数为 22,所以 22 至少出现两次,若有一天低于 22 0C,则 中位数不可能为 24;丙地肯定进入,10.8 ? 5 ? (32 ? 26)2 ? 18 ? ( x ? 26)2 ,若 x ? 21 ,上 式显然不成立.乙地不一定进入,如 13,23,27,28,29. 10. 【答案】C 【解析】设扇形所在的圆的半径为 1,以 OB 所在的直线为 x 轴, O 为原点建立平面直角坐 标系, ?COB ? ? (? ? (0,

?

1 3 )) ,则 C (cos ? ,sin ? ), B(1,0), A( , ) ,由题意可得 3 2 2

2 1 ? ? ?cos ? ? x ? 2 y ? x ? 3 sin ? 1 3 ? ? (cos ? ,sin ? ) ? x(1, 0) ? y( , ) ? ? ?? 2 2 ?sin ? ? 3 y ? y ? cos ? ? sin ? ? ? 3 ? 2 ?
令 f (? ) ? u ? x ? ? y ?

? ? 2?? sin ? ? ? cos ? , ? ? (0, ) 则 f (? ) 在 ? ? (0, ) 不是单调函 3 3 3

数 , 从 而 f '(? ) ?

? 2?? 2?? cos ? ? ? sin ? ? 0 在 ? ? (0, ) 一 定 有 解 , 即 tan ? ? 在 3 3 3?

? 1 2?? ? ? (0, ) 时有解,可得 ? (0, 3) ,即 ? ? ( , 2) ,经检验此时 f (? ) 此时正好有极 3 2 3?
大值点. 11. 【答案】 ?

5 5

【解析】 a 在 b 方向上的投影为 a cos a, b ? a 12. 【答案】 96 4 3 【解析】间接法 A5 ? A4 ? 96 13. 【答案】 a ? 1

a ?b a ?b 5 . ? ?? a b b 5

【解析】作图分析知当 0 ? a ? 1 时只有一个零点,当 a ? 1 时有两个零点 14. 【答案】 (1)1 ; (2)6 【解析】 (1)如果 n ? 2 ,按以上变换规则,得到数列: a1 ? 2, a2 ? 1, a3 ? 4,?, a8 ? 1 ; (2)设对正整数 n 按照上述变换,得到数列: a1 , a2 ,?, a7 , a8 ,∵ a8 ? 1 ,则 a7 ? 2

? ? ?a1 ? 128 ? ?a3 ? 32 ? a2 ? 64 ? ? ? ?a1 ? 21 ? ?a5 ? 8 ? a4 ? 16 ? ? ? ?a ? 5 ? a ? 10 ? ?a1 ? 20 a8 ? 1 ? a7 ? 2 ? a6 ? 4 ? ? ? 2 ? 3 ?a1 ? 3 ? ? ? a ? 1 ? a1 ? 2 ?a5 ? 1 ? a4 ? 2 ? a3 ? 4 ? ? 2 ? ? ?a2 ? 8 ? a1 ? 16 ?
则 n 的所有可能取值为 2,3,16,20,21,128,共 6 个. 15. 【答案】 4 【解析】 ?ADE ? ?ABD ? ?BAD , ?DAE ? ?DAC ? ?EAC 而 ?ABD ? EAC , ?BAD ? ?DAC ,所以 ?ADE ? ?DAE 所以 EA ? ED , ED ? EA ? EC ? EB ? 16 ,所以 ED ? 4
2 2

16. 【答案】

7 5

? x ? 1 ? 4t 【解析】把 ? 化为普通方程为 3x ? 4 y ? 1 ? 0 , ? y ? ?1 ? 3t

2 cos(? ? ) 化为直角坐标系中的方程为 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 , 4 1 1 1 7 ∴圆心到直线的距离为 ,∴弦长为 2 ? ? . 10 2 100 5
17.解: (1)由题意可得 A ? 2

把? ?

?

T 1 ? 2? 即 T ? 4? , ? ? ?????????????????? 3 分 2 2 1 f ( x) ? 2 cos( x ? ? ) , f (0) ? 1 2 1 ? ? 由 cos? ? 且 ? ? ? ? 0 ,得 ? ? ? 2 3 2 1 ? 函数 f ( x) ? 2 cos( x ? ) ?? ??????????????????6 分 2 3
(2)由于 cos ? ?

2 2 1 且 ? 为锐角,所以 sin ? ? 3 3

f (2? ) ? 2 cos(? ?

?
3

) ? 2(cos ? cos

?

? sin ? sin ) ?????????????10 分 3 3

?

1 1 2 2 3 1? 2 6 ????????12 分 ? 2?( ? ? ? )? 3 2 3 2 3
18.解(1)系统抽样

?????????????2 分

(2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 97.5

设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为

0.01? 5 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.06 ? ( x ? 75) ? 0.5 ,解得 x ? 97.5
即中位数的估计值为 77.5 ?????????????6 分

(3)从图中可知,车速在 [80,85) 的车辆数为 m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆), 车速在 [85,90) 的车辆数为 m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4 (辆) ∴ ? ? 0, 1, 2 ,

P(? ? 0) ?

2 0 C2 C4 1 C1C1 8 C 0C 2 6 ? , P(? ? 1) ? 2 2 4 ? , P(? ? 2) ? 2 2 4 ? , 2 C6 15 C6 15 C6 15

? 的分布列为 ?
P
0 1 2

1 15

8 15

6 15

均值 E (? ) ? 0 ? 1?

8 6 4 ? 2? ? . 15 15 3

?????????????12 分

19.解: (1)∵侧面 A1 ACC1 ? 底面 ABC ,作 A1O ? AC 于点 O ,∴ A1O ? 平面 ABC . 又 ?ABC ? ?A1 AC ? 60? , 且 各 棱 长 都 相 等 , ∴ AO ? 1 , OA1 ? OB ? 3 ,

BO ? AC .

???????????????2 分

故以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,则

z
A(0,?1,0) , B( 3,0,0) , A1 (0,0, 3) ,C (0,1,0) ,
∴ AA ? (0,1, 3) , AB1 ? ( 3,2, 3) , 1

AC ? (0,2,0) .??4 分
? 设平面 AB1C 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,
O

y

?n ? AB ? 3x ? 2 y ? 3 ? 1 则? ?n ? AC ? 2 y ? 0 ?

x

? 3 6 ? ? AA1 ? n 解得 n ? (?1,0,1) .由 cos ? AA1 , n ? . ? ? ? 4 AA1 ? n 2 2
而侧棱 AA 与平面 AB1C 所成角,即是向量 AA 与平面 AB1C 的法向量所成锐角的余角, 1 1

6 ???????6 分 4 ??? ? ??? ? (2)∵ BD ? BA ? BC ,而 BA ? ? 3, ?1, 0 , BC ? ? 3,1, 0 .
∴侧棱 AA 与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小为 1

?

?

?

?

∴ BD ? (?2 3,0,0) 又∵ B( 3,0,0) ,∴点 D 的坐标为 D(? 3,0,0) . 假设存在点 P 符合题意,则点 P 的坐标可设为 P(0, y, z ) ,∴ DP ? ( 3, y, z) . ∵ DP // 平面AB1C , n ? (?1,0,1) 为平面 AB1C 的法向量, ∴由 AP ? ? AA ,得 ? 1

??? ?

?

??? ?

????

?y ?1 ? ? ? 3?? 3

,? y ? 0 .

?????10 分

又 DP ? 平面 AB1C , 故存在点 P , DP // 平面AB1C , 使 其坐标为 (0,0, 3 ) , 即恰好为 A1 点. ?????????12 分

20.解: (1)开始时,A 中含有 10 ?12% =1.2 千克的农药,B 中含有 10 ? 6% =0.6 千克的农 药,n 次操作后,A 中含有 10 ? an % ? 0.1an 千克的农药,B 中含有 10 ? bn % ? 0.1bn 千克的 农药,它们的和应与开始时农药的重量和相等,从而 . 0.1an ? 0.1bn ? 1.2 ? 0.6,?an ? bn ? 18 (常数) ??????????4 分

(2) n 次操作后, 中 10 千克的药水中农药的重量具有关系式:9 ? an?1 ? 1? bn?1 ? 10an 第 A 由(1)知 bn?1 ? 18 ? an?1 ,代入化简得 an ? (3)令 an ? ? ?

4 9 an ?1 ? 5 5

① ??????????8 分

4 4 (an ?1 ? ? ) ,利用待定系数法可求出λ =—9,所以 an ? 9 ? (an ?1 ? 9) , 5 5 4 可知数列 ?an ? 9? 是以 a1 ? 9 为首项, 为公比的等比数列. 5 4 9 4 9 57 由①, a1 ? a0 ? ? ?12 ? ? 5 5 5 5 5 4 n ?1 12 4 n ?1 4 ( ) ? 3( ) n , 由等比数列的通项公式知: an ? 9 ? ( a1 ? 9)( ) ? 5 5 5 5 4 n 所以 an ? 3( ) ? 9 . ??????????12 分 5 p 2 2 2 21.解: (1)由抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ( , 0) 在圆 O : x ? y ? 1 上得: 2

p2 ? 1 ,? p ? 2 ,∴抛物线 C1 : y 2 ? 4x 4

??????????2 分

同 理 由 椭 圆 C2 :

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 上 、 下 焦 点 (0, c), (0, ?c) 及 左 、 右 顶 点 a 2 b2

(?b, 0), (b, 0) 均 在 圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上 可 解 得 : b ? c ? 1,?a ? 2 . 得 椭 圆

C2 : x 2 ?

y2 ?1 . 2

??????????4 分

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?1), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 N (0, ?k ) . 联立方程组 ?

? y2 ? 4x ? y ? k ( x ? 1)

,消去 y 得: k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0,

? 2k 2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ??????????5 分 ?? ? 16k ? 16 ? 0, 且 ? k2 ?x x ? 1 ? 1 2 ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 由 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 得: ?1 (1 ? x1 ) ? x1 , ?2 (1 ? x2 ) ? x2 ,
2

整理得: ?1 ?

x1 x , ?2 ? 2 1 ? x1 1 ? x2

2k 2 ? 4 ?2 x1 ? x2 ? 2 x1 x2 k2 ? ?1 ? ?2 ? ? ? ?1 . 2k 2 ? 4 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 1? ?1 k2

??????????8 分

(3)设 P( xp , y p ), Q( xQ , yQ ),? S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) ,则 P '( xp ,0), Q '( xQ ,0)

??? ???? ???? ???? ? ? ? 由 OP ? OQ ? OP ' ? OQ ' ? 1 ? 0 得 2xp xQ ? y p yQ ? ?1 ;①
xQ 2 ? yQ 2 2 ? 1 ;③ ( y p ? yQ )2 2

xp ?
2

yp2 2

? 1 ;②

??????????11 分

由①+②+③得 ( x p ? xQ ) ?
2

?1
??????????13 分

∴ S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) 满足椭圆 C2 的方程,命题得证.

22.解: (1)解: F ( x ) ? ? ln x ?

1 1? x , 则 F '( x) ? 2 , x x

当 x∈(0,1)时 F '( x) ? 0 ,x∈(1,+∞)时 F '( x) ? 0 ,

∴ F ( x) 在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,

F ( x)max ? F (0) ? 0
∴当 x ? 0 时 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 x ? 0 时 ln x ? 1 ? ∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ln

??????????2 分

1 恒成立。 x
???????4 分

x1 x 1 ? 1 ? 1 ? ? ( x2 ? x1 ) ? f '( x1 )( x2 ? x1 ) x2 x2 x2

证明: ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? f (?1x1 ? ?2 x2 ) , (2)证明:设 ?1 , ?2 ? 0 ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,令 x3 ? ?1 x1 ? ?2 x2 , ,则 x3 ? 0 ,且

x1 ? x3 ? ?2 ( x1 ? x2 ) , x2 ? x3 ? ?1 ( x2 ? x1 ) ,
由(1)可知 f ( x1 ) ? f ( x3 ) ? f '( x3 )( x1 ? x3 ) ? ?2 f '( x3 )( x1 ? x2 ) ???①

f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f '( x3 )( x2 ? x3 ) ? ?1 f '( x3 )( x2 ? x1 )
① ??1 +② ??2 ,得

???②

?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? (?1 ? ?2 ) f ( x3 ) ? ?1?2 f '( x3 )( x1 ? x2 ) ? ?1?2 f '( x3 )( x2 ? x1 ) ? 0
∴ ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? (?1 ? ?2 ) f ( x3 ) ? f ( x3 ) ? f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ???????8 分 猜想:若 ?i ? 0, xi ? 0(i ? 1, 2,?, n) ,且 ?1 ? ?2 ? ? ? ?n ? 1 时有

?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ? ? ?n f ( xn ) ? f (?1x1 ? ?2 x2 ? ?? ?n xn ) ???????9 分
(3)证明:令 ?i ?

ai 1 , xi ? (i ? 1, 2,?, n) a1 ? a2 ? ? ? an ai

由猜想结论得

an a1 a2 ln a1 ? ln a2 ? ? ? ln an a1 ? a2 ? ? ? an a1 ? a2 ? ? ? an a1 ? a2 ? ? ? an

? ? ln(
= ln(

an a1 a2 1 1 1 ? ? ? ??? ? ) a1 ? a2 ? ? ? an a1 a1 ? a2 ? ? ? an a2 a1 ? a2 ? ? ? an an

a1 ? a2 ? ? ? an ) n

∴ a1 ln a1 ? a2 ln a2 ? ? ? an ln an ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ln( 即有 a1 1 a2 2 ? an
a a an

?(

a1 ? a2 ? ? ? an a1 ? a2 ??? an ) 。 n

a1 ? a2 ? ? ? an ), n
???????14 分


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