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三角函数.板块三.三角恒等变换.学生版


板块三.三角恒等变换

典例分析
题型一:两角和与差的正弦、余弦、正切公式
【例1】
cos 79 cos 34 ? sin 79 sin 34 ?
? ? ? ?

( C
2

)。
2

A

1 2

B

1

D

3 2

【例2】 已知 c o s ?

? ?

4 5

,? B

?(

?
2

, ?)

,则 c o s ( C

?
4

??) ?



)。 D
7 2

A

2 10

?

2 10

?

7

2

10

10

【例3】 在平面直角坐标系中,已知两点 A ?
| AB |
1 2

(cos 80 , sin 80 ) , B ? (cos 20 , sin 20 )
? ? ?

,则

的值是( B
2 2

) C
3 2

A

D

1

【例4】 若 s in ?

? s in ? ? 1 ?

3 2

, cos ?
1 2

? cos ? ? ?

1 2

,则 cos(?
3

? ?)?(
3 2



A

1 2

B

?

C

?

D

2

【例5】 已知 s in (3 0 ?

??) ?

3 5

, 60 ?
3? 4 10

? ? ? 150
3

?

,则 cos ? C
4 ?3 3 10

?



) D
4 ? 3 3 10

A

3?4 3 10

B

【例6】

sin 15 ? cos15 ?

?

?


2 2

)。 C
3 2

A

1 2

B

D

6 2

智康高中数学.板块三.三角恒等变换.题库.学生版

1

【例7】 若 ? , ? 为锐角,且满足 c o s ?

?

4 5

, c o s (? D

? ?) ?

3 5

,则 sin ? 的值是(

)。

A

17 25

B

3 5

C

7 25

1 5

【例8】 已知 s in ?

? ?

1 4

,?

? (? ,

3? 2

)

,?

?(

3? 2

, 2? )

,则 ?

??

是(



A 第一象限角 C 第三象限角

B 第二象限角 D 第四象限角

【例9】 已知向量 a

?

? (co s 7 5 , sin 7 5 )
2 2

?

?

,b C

?

? ? ? ? ? (co s 1 5 , sin 1 5 ) ,那么 | a ? b | 的值为(
3 2



A

1 2

B

D

1

【例10】 已知 ?

? ? ?

3? 4

,则 (1 ? tan ? )(1 ? tan ? ) ? (
?2


?1

A

2

B

C

1

D

【例11】 sin 163 ? sin 223 ?

? sin 253 sin 313 ?
1 2

?

?


3 2

)。 D
3 2

A

?

1 2

B

C

?

【例12】 已知

1 ? ta n ? 1 ? ta n ?

? 4 ?

5

,则 ta n (
5

?
4

??) ?

( D

)。
?4 ? 5

A

4?

5

B

4?

C

?4 ?

5

【例13】 已知 ta n (?

? ?) ?

2 5

, ta n ( ?

?

?
4

) ?

1 4

,那么 ta n (? D
1 6

?

?
4

) ?





A

13 18

B

13 22

C

3 22

【例14】 已知 s in ?

? cos ? ?

3 3

, (0

?? ?

?
2

)

,则 sin ?

? cos ? ?




2

智康高中数学.板块三.三角恒等变换.题库.学生版

A

15 3

B

2 3

C

1 3

D

1

【例15】 在 ? A B C 中, sin

A ? cos A

的取值范围是(
2 2 , 2 2 ]


(? 2 2 , 2]

A

( ?1 ,

2]

B

(?

C

D

( ? 1 , 1]

【例16】 a

? sin 70 sin 30 ? cos 70 cos 30

?

?

?

?

,b ? cos 71? cos 30 ?

? sin 71 sin 30

?

?

, a, 则

b

的大小

关系是



【例17】 若 cos ?

? cos ? ? cos ? ? 0

, sin ?

? sin ? ? sin ? ? 0

,则 cos(?

? ?)?



【例18】

3 ? ta n 1 5 1?

? ?

?



3 ta n 1 5

【例19】 3 cos x ? 4 sin x

? 5 cos( x ? ? )

,则 sin ?

?

; cos ?

?



【例20】

s in 7 ? c o s 1 5 s in 8 c o s 7 ? s in 1 5 s in 8
? ?

?

?

? ?

的值为



【例21】 函数 y

? cos x ? cos( x ?

?
3

)

的最大值是



【例22】 已知 ?

? (0 ,

?
2

)

,且 s in ?

?

3 5

,求

2 c o s (? ?

?
4

)

的值。

【例23】 证明: c o s (

3? 2

? ? ) ? ? s in ?

【例24】 若 ?

, ?

为锐角,且满足 c o s ?

?

4 5

, c o s (?

? ?) ?

3 5

,求 co s ? 的值。

智康高中数学.板块三.三角恒等变换.题库.学生版

3

【例25】 设 c o s ?

? cos ? ?

1 2

, s in ?

? s in ? ?

1 3

,求 cos(?

? ? ) 的值。

【例26】 已知 ? , ? 都是锐角, c o s ?

?

1 7

, c o s (?

? ?) ? ?

11 14

,求 co s ? 的值。

【例27】 若 s in

x ? s in y ?

3 5

, cos x ?

cos y ?

4 5

,求 cos( x ?

y ) 的值。

【例28】 定义

c o s (? 1 ? ? 0 ) ? c o s ( ? 2 ? ? 0 ) ? ? ? c o s (? n ? ? 0 ) n 2? 3 2? 3

为集合 {? 1

, ? 2 , ? , ? n } 相对于常

数 ? 0 的“余弦平均数”,求集合 { ?

, 0,

}

相对于于常数 ? 0 的“余弦平均数”。

【例29】 已知 c o s ?

? ?

4 5

,?

?(

?
2

, ?)

,求 s in (?

?

?
3

)

的值。

【例30】 已知 ta n (?

?

?
4

) ? 3

,求 tan ? 的值。

【例31】 已知

?
2

? ? ?? ?

3? 4

, c o s (?

? ?) ?

12 13

, s in (?

? ?) ? ?

3 5

,求 sin 2? 的值。

【例32】 已知 ?

, ? ? (0 , ? )

且 ta n (?

? ?) ?

1 2

, ta n ?

? ?

1 7

,求 2?

??

的值。

【例33】 已知 s in (?

? ?) ?

2 3

, s in (?

? ?) ?

3 4

,求

ta n ? ta n ?

的值。

【例34】 已知函数 y

?

3 sin x ? cos x

, x ? R (1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的
? sin x ( x ? R ) 的图像经过怎样的平移和伸缩变

集合;(2)该函数的图像可由 y 换得到?

智康高中数学.板块三.三角恒等变换.题库.学生版

4

【例35】 函数

f ( x ) ? 2 a cos x sin( x ? ? ) ? 2 a sin x sin ? ? 2 a sin x cos x cos ?
2

的定义域是 R , 值
? [0 , 2 ? ]

域是 [ ? 2 , 求
f ( x)

在区间 [ ? 2] ,

5? 12

,

?
12

]

上是单调递减函数, a ? 0 ,? 且

。 (1)

的周期;(2)求常数 a 和角 ? 的值。

【例36】 已知 ?

, ?

都是锐角,且 s in ?

?

5 5

, s in ?

?

10 10

,求 ?

??



【例37】 求 ta n (

?
6

? ? ) ? ta n (

?
6

??)?

3 ta n (

?
6

? ? ) ta n (

?
6

??)

的值。

【例38】 已知 s in (

?
4

? x) ?

5 13

,0

? x ?

?
4

,求

cos 2 x cos(

?
4

的值。

? x)

【例39】 求证: tan( x ?

y ) tan( y ? z ) tan( z ? x ) ? tan( x ? y ) ? tan( y ? z ) ? tan( z ? x )



【例40】 已知 s in (?

?

?
3

) ? s in ? ?

3 5

,?

?
2

?? ? 0

,求 cos ? 的值。

【例41】 已知 tan ? 与 tan ? 是方程 x 2

? 3x ? 3 ? 0

的两根,
2

求 sin 2 (?

? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? 3 cos (? ? ? )

的值。

【例42】 已知向量 a

?

? ( m cos ? , ?

3)

,b

?

? ? ? (1 , n ? sin ? ) ,且 a ? b

(1)若 m

? n ? 1,

求 s in (?

?

?
6

)

的值;(2)若 m

? ? 3

,且 ?

? (0 ,

?
2

)

,求实数 n 的取值范围。

题型二:二倍角的正弦、余弦、正切公式
智康高中数学.板块三.三角恒等变换.题库.学生版 5

【例43】 下列各式中,值为

1 2

的是(

)。 B D
2 cos 15 ? 1
2 ?

A C

sin15 cos15
1 ? cos 30 2
?

?

?

ta n 2 2 .5
2

? ?

1 ? ta n 2 2 .5

【例44】 已知 x ? ( ?

?
2

, 0)

, cos x
? 7 24

?

4 5

,则 tan 2 x ? (
24 7

)。
? 24 7

A

7 24

B

C

D

【例45】 cos 2 75 ?

? sin 75 ? cos 75 cos15
2

?

?

?

的值为( C
5 4

) D
1? 3 4

A

6 2

B

3 2

【例46】 函数 y

? 2 sin x (sin x ? cos x )

的最大值为( C
2

) D
2

A

1?

2

B

2 ?1

【例47】 若

3 3

是二次方程 x 2 )

? (ta n ? ?

1 ta n ?

)x ? 1 ? 0

的一个根, tan ?

? 1 ,则 tan 2? ?

( A
? 3

B

3

C

?

3 3

D

3 3

【例48】 函数

f ( x ) ? sin 2 x ?

3 cos 2 x

的最小正周期是( C
?
4

)。 D
?
8

A

?

B

?
2

【例49】 已知 s in (

?
4

? x) ?

3 5

,则 c o s ( B
16 25

?
2

? 2 x)

的值为( C
14 25

)。 D
7 25

A

19 25

【例50】 若 tan ?

? 2 ,则

1 2

s in 2 ? ? 2 3



) C
2 5

A

1 2 ? 1 4

B 且?

D
? sin ? ?

1

【例51】 如果 s in 2 ?

?(

?
4

,

?
2

)

,那么 cos ?




6

智康高中数学.板块三.三角恒等变换.题库.学生版

A

?

3 2

B

?

3 4

C

3 4

D

3 2

2 s in

2

?
2

?1

【例52】 若

f (? ) ? s in

?
2

cos

?
2

? 2 ta n ?

,则

f(

?
8

) ?





A

0

B
?
4

2

C
1 4

?2

D

?4

【例53】 已知 c o s (

? ? ) cos(

?
4

??) ?

,则 sin 4 ?

? cos ?
4

的值等于_______。

【例54】

s in ? ? c o s ? 2 c o s ? ? s in ?

?

1 3

,则 tan 2?

?

_________。

【例55】 化简 cos 2 75 ? 的值是_______。

【例56】 已知 ta n (?

?

?
3

) ? ?

3 5

,则 tan ?

?

_________;

s in ? c o s ? 3 c o s ? ? 2 s in ?
2 2

?

_________。

【例57】 已知 s in

x cos x ?

3 10

,求 4 s in (

?
4

? x ) s in (

?
4

? x)

的值

【例58】 求证: (1) s in 2 x

?

2 ta n x 1 ? ta n x
2

; (2) c o s 2 x

?

1 ? ta n x
2

1 ? ta n x
2



【例59】 已知 c o s ?

?

3 5

, cos ?

?

2 2

且?

, ? ? (0 ,

?
2

)

,求 tan 2(?

? ?)

的值。

【例60】 求 sin 2 20 ?

? cos 50 ? sin 20 cos 50
2

?

?

?

的值。

【例61】 已知 sin ?

? cos ? ? sin ? cos ?

,求 sin 2? 的值。

智康高中数学.板块三.三角恒等变换.题库.学生版

7

【例62】 已知

f ( x ) ? cos x ? 2 sin x cos x ? sin x
4 4

。 (1)求

f ( x)

的最小正周期;(2)求

f ( x)



区间 [ 0 ,

?
2

]

上的最大值和最小值。

【例63】 设 s in 2 2 ?

? s in 2 ? c o s ? ? c o s 2 ? ? 1 , ? ? ( 0 ,

?
2

)

。求 sin ?

, tan ?

的值。

【例64】 已知 c o s (?

?

?
4

) ?

3 ? 3? ( ?? ? ) 5 2 2

,求 c o s ( 2 ?

?

?
4

)

的值。

【例65】 已知 s in ?

? cos ? ?

2 2

(0 ? ? ? ? )

,求 co s 2? 的值。

【例66】 求函数 y

? sin x ? cos x
6 6

的最小正周期。

【例67】 求

f ( x ) ? 5 3 cos x ?
2

3 s in x ? 4 s in x c o s x (
2

?
4

≤ x≤

7? 24

)

的最小值, 并求出取得最

小值时 x 的值。

2 cos x ? 2 cos x ?
4 2

1 2

【例68】 化简
2 ta n (

?
4

? x ) s in (
2

?
4



? x)

【例69】 若 c o s ( 4 5 ?

? x) ? ?

4 5

(225 ? x ? 315 )

?

?

,求

s in x ? 2 s in x
2

1 ? ta n x

的值。

【例70】 已知矩形 ABC D 的长 A B

? a

,宽 AD

?b

,试求其外接矩形 E F G H 面积的最大值

与对角线长的最大值.
H D E A C G B F

智康高中数学.板块三.三角恒等变换.题库.学生版

8

题型三:简单的三角恒等变换
【例71】 化简
2 ? cos 2 ? sin 1
2

的结果是( C

)。
3 cos1

A

? cos1

B

co s 1

D

? 3 cos1

【例72】 ta n

?
8

? cot

?
8

的值是( B
?2

) C
?
4

A

?1

1

D

2

【例73】 若 s in 2 ?

?

24 25

,则 B

2 co s( 7 5

??)

的值为(
? 1 5

) D
? 7 5

A

1 5

C

【例74】 设 ? 在第二象限,且 s in (

?
2

?

3? 2

) ?

1 2

,则

1 ? s in ? cos

?
2

? s in

?
2

的值为(



A

1

B
2 s in ? ? 1
2

?1

C
?
12

? 1 或1

D 不能确定

【例75】 若

f (? ) ?

s in 4 ?

,则

f (

) ?

_______。

【例76】 等腰三角形的顶角的正弦值为

5 13

,则它的底角的余弦值为_________。

【例77】 已知 A 是 △ A B C 的内角,且 s in

A ? cos A ?

1 5

,求 tan

A

的值。

【例78】 求证

(s in ? ? c o s ? ? 1)(s in ? ? c o s ? ? 1) s in 2 ?

? ta n

?
2



【例79】 已知函数 y

?

3 sin 2 x ? 3 cos 2 x


? sin x

(1)求函数的增区间; (2)说出此函数与 y

之间的关系。

【例80】 2002 年 8 月,在北京召开了国际数学大会,大会会标如图所示,它是由四个相

同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小
智康高中数学.板块三.三角恒等变换.题库.学生版 9

的锐角为 ? ,大正方形的面积是 1,小正方形的面积是 值.

1 25

,求 sin 2 ?

? cos ?
2



【例81】 求证:

1 ? 2 s in ? c o s ? c o s ? ? s in ?
2 2

? ta n (

?
4

??)。

【例82】 已知函数

f ( x ) ? ? 3 sin x ? sin x cos x
2

。 ,
f(

(1)求

f (

2 5? 6

) 的值;(2)设 ? ? (0 , ? )

?
2

) ?

1 4

?

3 2

,求 sin ? 。

【例83】 如图,有一块以点 O 为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形
ABC D

辟为绿地,使其一边 A D 落在圆的直径上,另两点 B , C 落在半圆的圆周

上,已知半圆的半径长为 a ,如何选择关于点 O 对称的点 A , D 的位置,可以使 矩形 ABC D 的面积最大?
C B

D

O

A

【例84】 已知 ta n ?

?

1 2

, ta n ?

?

1 3

,0

?? ?

?
2

,?

? ? ?

3? 2

,求 ?

??

的值。

2 s in

2

?
2

?1

【例85】 已知

f (? ) ? 2 ta n ? ? s in

?
2

cos

?
2

,求

f (

?
12

)

智康高中数学.板块三.三角恒等变换.题库.学生版

10

【例86】 已知函数

f ( x ) ? 2 a sin x ? 2 3 a sin x cos x ? a ? b ( a ? 0)
2

的定义域为 [ 0

,

?
2

] ,值域

为 [ ? 5,1] ,求常数 a ,

b

的值。

【例87】 已知半径为 1,圆心角为

?
3

的扇形,求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大

面积.
? π ? 4 ? ?? ? ? 2 ?

【例88】 已知 ? 为锐角,且 ta n ?



⑴求 tan ? 的值; ⑵求
s in 2 ? c o s ? ? s in ? c o s 2?

的值.

智康高中数学.板块三.三角恒等变换.题库.学生版

11



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