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2014-2015学年高中数学(人教A版,选修1-1)作业:3 章末总结

第三章 章末总结 知识点一 导数与曲线的切线 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点,常见的类型有两 种,一类是求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,先求导,再求斜率代入直线方 程即可得;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点 为 Q(x1,y1),则切线方程为 y-y1=f′(x1)(x-x1),再由切线过点 P(x0,y0)得 y0-y1=f′(x1)(x0-x1) ① 又 y1=f(x1) ② 由①②求出 x1,y1 的值. 即求出了过点 P(x0,y0)的切线方程. 例 1 已知曲线 f(x)=x3-3x,过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线,求曲线的切线方程. 知识点二 导数与函数的单调性 利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一,其步骤为: (1)求导数 f′(x); (2)解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0; (3)确定并指出函数的单调增区间、减区间. 特别要注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,”隔开,绝对不能用“∪”连接. 例 2 求下列函数的单调区间: x (1)f(x)= +sin x; 2 (2)f(x)=x(x-a)2. 知识点三 导数与函数的极值、最值 利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用. 1.应用导数求函数极值的一般步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)解方程 f′(x)=0 的根; (3)检验 f′(x)=0 的根的两侧 f′(x)的符号. 若左正右负,则 f(x)在此根处取得极大值; 若左负右正,则 f(x)在此根处取得极小值; 否则,此根不是 f(x)的极值点. 2.求函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值的方法与步骤: (1)求 f(x)在(a,b)内的极值; (2)将(1)求得的极值与 f(a)、f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为 最小值; 特别地,①当 f(x)在(a,b)上单调时,其最小值、最大值在区间端点处取得,②当 f(x) 在(a,b)内只有一个极值点时,若在这一点处 f(x)有极大(小)值,则可以断定 f(x)在该点处取 得最大(小)值,这里(a,b)也可以是(-∞,+∞). 2 3 6 例 3 设 <a<1,函数 f(x)=x3- ax2+b (-1≤x≤1)的最大值为 1,最小值为- ,求 3 2 2 常数 a,b. 知识点四 导数与参数的范围 已知函数的单调性求参数的取值范围时, 可以有两种方法: 一是利用函数单调性的定义, 二是利用导数法.利用导数法更为简捷.在解决问题的过程中主要处理好等号的问题,因为 f′(x)>0(或 f′(x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件,而其充要条 件是:f′(x)≥0(或 f′(x)≤0),且 f′(x)不恒为零.利用导数法解决取值范围问题时可以有 两个基本思路: 一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题, 即 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立,用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意;另 一思路是先令 f′(x)>0(或 f′(x)<0),求出参数的取值范围后,再令参数取“=”,看此时 f(x)是否满足题意. a 例 4 已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R).若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上是单调 x 递增的,求 a 的取值范围. 例5 范围. 1 已知 f(x)=x3- x2-2x+5,当 x∈[-1,2]时,f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值 2 章末总结 答案 重点解读 例 1 解 设切点为(x0,y0), 2 则由导数定义得切线的斜率 k=f′(x0)=3x0 -3, 2 ∴切线方程为 y=(3x0-3)x+16, 又切点(x0,y0)在切线上, ∴y0=3(x2 0-1)x0+16, 3 即 x0-3x0=3(x2 0-1)x0+16, 解得 x0=-2, ∴切线方程为 9x-y+16=0. 例 2 解 (1)函数的定义域是 R, 1 1 f′(x)= +cos x,令 +cos x>0, 2 2 2π 2π 解得 2kπ- <x<2kπ+ (k∈Z), 3 3 1 令 +cos x<0, 2 2π 4π 解得 2kπ+ <x<2kπ+ (k∈Z), 3 3 2π 2π? 因此,f(x)的单调增区间是? ?2kπ- 3 ,2kπ+ 3 ? (k∈Z),单调减区间是 ?2kπ+2π,2kπ+4π? (k∈Z). 3 3? ? (2)函数 f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x 的定义域为 R, a 由 f′(x)=3x2-4ax+a2=0,得 x1= ,x2=a. 3 ①当 a>0 时,x1<x2. a? ∴函数 f(x)的单调递增区间为? ?-∞,3?,(a,+∞), a ? 单调递减区间为? ?3,a?. ②当 a<0 时,x1>x2, a ? ∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,a),? ?3,+∞?, a? 单调递减区间为? ?a,3?. ③当 a=0 时,f′(x)=3x2≥0,∴函数 f(x)的单调区间为(-∞,+∞),即 f(x)在 R 上是 增加的. 例 3 解 令 f′(x)=3x2-3ax=0, 得 x1=0,x2=a. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: x 0 a (a,1) 1 -1 (-1,0) (0,a) 0 0 f′(x) + - + f(x) 3 -1- 2 a+b b a3 - +b 2 3 1- a+b 2 从上表可知,当 x=0 时,f(x)取得极大值 b,而 f(0)>f(a),f(1)>f(-1),故需比较 f(0)与 3 f(1)的大小.因为 f(0)-f(1)= a-1>0,所以 f(x)的最大值为 f(0)=b.所以 b=1. 2 1 又 f(-1)-f(a)=


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