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排列组合练习题一


排列与组合习题课 一、选择题 1.(2010?山东潍坊)6 个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐 4 人,则不同的乘车方法 数为( A.40 C.60 [答案] B [解析] 先分组再排列,一组 2 人一组 4 人有 C26=15 种不同的分法;两组各 3 人共有 C36A22=10 种不同的分法,所以乘车方法数为 25×2=50,故选 B. 2.有 6 个座位连成一排,现有 3 人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( A.36 种 C.72 种 [答案] C [解析] 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后 插空,从而共 A33A24=72 种排法,故选 C. 3.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相 邻出现,这样的四位数有( A.6 个 C.18 个 [答案] C [解析] 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻, 选四个数字共有 C13=3(种)选法,即 1231,1232,1233,而每种选择有 A22×C23=6(种)排 法,所以共有 3×6=18(种)情况,即这样的四位数有 18 个. 4.男女学生共有 8 人,从男生中选取 2 人,从女生中选取 1 人,共有 30 种不同的选法, 其中女生有( A.2 人或 3 人 B.3 人或 4 人 C.3 人 D.4 人 [答案] A [解析] 设男生有 n 人,则女生有(8-n)人,由题意可得 C2nC18-n=30,解得 n=5 或 n =6,代入验证,可知女生为 2 人或 3 人. 5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规 定从二楼到三楼用 8 步走完,则方法有( A.45 种 C.28 种 [答案] C [解析] 因为 10÷ 8 的余数为 2,故可以肯定一步一个台阶的有 6 步,一步两个台阶的有 2 B.36 种 D.25 种 ) ) B.9 个 D.36 个 ) B.48 种 D.96 种 ) ) B.50 D.70

步,那么共有 C28=28 种走法. 6.某公司招聘来 8 名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员 不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方 案共有( A.24 种 C.38 种 [答案] B [解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有 2 种方法,第二步将 3 名电脑编程人员分成两组,一组 1 人另一组 2 人,共有 C13 种分法, 然后再分到两部门去共有 C13A22 种方法,第三步只需将其他 3 人分成两组,一组 1 人另 一组 2 人即可,由于是每个部门各 4 人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共 有 C13 种方法,由分步乘法计数原理共有 2C13A22C13=36(种). 7.组合数 Crn(n>r≥1,n,r∈Z)恒等于( A.r+1n+1Cr-1n-1 C.nrCr-1n-1 [答案] D [解析] ∵Crn=n!r!×(n-r)!= n×(n-1)!r×(r-1)!×[(n-1)-(r-1)]!=nrCr-1n-1,故选 D. 8.已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角 坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( A.33 C.35 B.34 D.36 ) D.nrCr-1n-1 ) B.(n+1)(r+1)Cr-1n-1 ) B.36 种 D.108 种

[答案] A [解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有 C12?A33=12 个; ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C12?A33+A33=18 个; ③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 C13=3 个. 故共有符合条件的点的个数为 12+18+3=33 个,故选 A. 9.(2010?四川理,10)由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六 位偶数的个数是( A.72 C.108 [答案] C [解析] 分两类:若 1 与 3 相邻,有 A22?C13A22A23=72(个), 若 1 与 3 不相邻有 A33?A33=36(个) 故共有 72+36=108 个. 10.(2010?北京模拟)如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天 最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安 排方法有( ) B.96 D.144 )

A.50 种 C.120 种 [答案] C

B.60 种 D.210 种

[解析] 先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有 6 种:(1,2)、(2,3)、 (3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为 C16,然后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排 其余两所学校参观,安排方法有 A25 种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法 C16?A25=120 种,故选 C. 二、填空题 11.安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不 能安排在 5 月 1 日和 2 日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答) [答案] 2400 [解析] 先安排甲、乙两人在后 5 天值班,有 A25=20(种)排法,其余 5 人再进行排列,有 A55=120(种)排法,所以共有 20×120=2400(种)安排方法. 12.今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有 ________种不同的排法.(用数字作答) [答案] 1260 [解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有 C49?C25?C33 =1260(种)排法. 13.(2010?江西理,14)将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人, 分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答). [答案] 1080 [解析] 先将 6 名志愿者分为 4 组,共有 C26C24A22 种分法,再将 4 组人员分到 4 个不 同场馆去,共有 A44 种分法,故所有分配方案有:C26?C24A22?A44=1 080 种. 14.(2010?山东济宁)要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花,要求相 邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答). [答案] 72 [解析] 5 有 4 种种法,1 有 3 种种法,4 有 2 种种法.若 1、3 同色,2 有 2 种种法,若 1、3 不同色,2 有 1 种种法,∴有 4×3×2×(1×2+1×1)=72 种. 三、解答题 15.(1)计算 C98100+C199200; (2)求 20C5n+5=4(n+4)Cn-1n+3+15A2n+3 中 n 的值. [解析] (1)C98100+C199200=C2100+C1200=100×992+200=4950+200=5150. (2)20×(n+5)!5!n!=4(n+4)×(n+3)!(n-1)!4!+15(n+3)(n+2),即(n+5)(n+ 4)(n+3)(n+2)(n+1)6=(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n6+15(n+3)(n+2),所以(n+5)(n+ 4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90,即 5(n+4)(n+1)=90.所以 n2+5n-14=0,即 n=2 或 n =-7.注意到 n≥1 且 n∈Z,所以 n=2. [点拨] 在(1)中应用组合数性质使问题简化,若直接应用公式计算,容易发生运算错误,

因此,当 m>n2 时,特别是 m 接近于 n 时,利用组合数性质 1 能简化运算. 16.(2010?东北师大附中模拟)有一排 8 个发光二极管,每个二极管点亮时可发出红光或绿 光,若每次恰有 3 个二极管点亮,但相邻的两个二极管不能同时点亮,根据这三个点亮的 二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多 少种? [解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮,所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未点 亮的 5 个二极管之间及两端的 6 个空上,共有 C36 种亮灯办法. 然后分步确定每个二极管发光颜色有 2×2×2=8(种)方法,所以这排二极管能表示的信息种 数共有 C36×2×2×2=160(种). 17.按下列要求把 12 个人分成 3 个小组,各有多少种不同的分法? (1)各组人数分别为 2,4,6 个; (2)平均分成 3 个小组; (3)平均分成 3 个小组,进入 3 个不同车间. [解析] (1)C212C410C66=13 860(种); (2)C412C48C44A33=5 775(种); (3)分两步:第一步平均分三组;第二步让三个小组分别进入三个不同车间,故有 C412C48C44A33?A33=C412?C48?C44=34 650(种)不同的分法. 18.6 男 4 女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种? (1)任何 2 名女生都不相邻有多少种排法? (2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法? (3)男生甲、乙、丙排序一定,有多少种排法? (4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法? [解析] (1)任何 2 名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空 中,共有 A66?A47 种不同排法. (2)方法一:甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有 A99 种排法,若甲不在末 位,则甲有 A18 种排法,乙有 A18 种排法,其余有 A88 种排法, 综上共有(A99+A18A18?A88)种排法. 方法二:无条件排列总数 A1010-甲在首,乙在末 A88 甲在首,乙不在末 A99-A88 甲不在首,乙在末 A99-A88 甲不在首乙不在末,共有(A1010-2A99+A88)种排法. (3)10 人的所有排列方法有 A1010 种,其中甲、乙、丙的排序有 A33 种,又对应甲、乙、 丙只有一种排序,所以甲、乙、丙排序一定的排法有 A1010A33 种. (4)男甲在男乙的左边的 10 人排列与男甲在男乙的右边的 10 人排列数相等,而 10 人排列 数恰好是这二者之和,因此满足条件的有 12A1010 种排法.



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