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(完整word版)人教版高二数学必修5知识点归纳(最完整版)

现在的努力就是为了实现小时候吹下的牛逼——标

必修五数学知识点归纳资料 1、三角形的性质:

第一章 解三角形

①.A+B+C=? , ? sin(A ? B) ? sin C , cos(A ? B) ? ?cosC

A ? B ? ? ? C ? sin A ? B ? cos C

2 22

2

2

②.在 ?ABC 中, a ? b >c , a ? b <c ; A>B ? sin A > sin B ,

A>B ? cosA<cosB, a >b ? A>B

③.若 ?ABC 为锐角 ? ,则 A? B > ? ,B+C > ? ,A+C > ? ;

2

2

2

2、正弦定理与余弦定理:

a2 ? b2 > c2 , b2 ? c2 > a2 , a2 + c2 > b2

①.正弦定理: a ? b ? c ? 2R (2R 为 ?ABC 外接圆的直径) sin A sin B sin C

a ? 2 Rs i nA、 b ? 2Rsin B 、 c ? 2Rsin C (边化角)

sin A ? a 、 sin B ? b 、 sin C ? c

2R

2R

2R

(角化边)

面积公式: S?ABC

?

1 2

absin C

?

1 bc sin 2

A?

1 ac sin 2

B

②. 余 弦 定 理 : a2 ? b2 ? c22 ? c b o c、s b2A? a2 ? c2 ? 2ac cos B 、

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C

cos A ? b2 ? c2 ? a2 、 cos B ? a2 ? c2 ? b2 、 cos C ? a2 ? b2 ? c2 (角化边)

2bc

2ac

2ab

补充:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

⑴ cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ?sin? sin ? ;⑵ cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ?sin? sin ? ;

⑶ sin?? ? ? ? ? sin? cos ? ?cos? sin ? ;⑷ sin?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ? ;

⑸ tan ?? ? ? ? ? tan? ? tan ? ? ( tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1? tan? tan ? ? );
1? tan? tan ?

-1-

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⑹ tan ?? ? ? ? ? tan? ? tan ? ? ( tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1? tan? tan ? ? ).
1? tan? tan ? 二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin? cos? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2sin? cos? ? (sin ? ? cos? )2

⑵ cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2cos2 ? ?1 ?1? 2sin2 ?

?升幂公式1? cos? ? 2cos2 ? ,1? cos? ? 2sin 2 ?

2

2

?降幂公式 cos2 ? ? cos 2? ?1 , sin2 ? ? 1? cos 2? .

2

2

3、常见的解题方法:(边化角或者角化边)

第二章 数列 1、数列的定义及数列的通项公式:

①. an ? f (n) ,数列是定义域为 N 的函数 f (n) ,当 n 依次取 1,2,??? 时的一列函 数值

②. an 的求法: i.归纳法

ii.

an

?

???SS1n,?n

?1 Sn?1, n

?

2

若 S0 ? 0 ,则 an 不分段;若 S0 ? 0 ,则 an 分段

iii. 若 an?1 ? pan ? q ,则可设 an?1 ? m ? p(an ? m) 解得 m,得等比数列?an ? m?

iv.

若 Sn

?

f

(an

)

,先求

a1

,再构造方程组:???SSnn?1??f

(an ) f (an?1)

得到关于

a n ?1



an

的递推

关系式

例如:Sn

?

2an

?

1

先求

a1

,再构造方程组:?? ?

Sn ? 2an ?1 Sn?1 ? 2an?1 ?

1

?(下减上)an?1

?

2an?1

?

2an

2.等差数列:

① 定义: an?1 ? an = d (常数),证明数列是等差数列的重要工具。

② 通项: an ? a1 ? (n ?1)d , d ? 0 时, an 为关于 n 的一次函数;

d >0 时, an 为单调递增数列; d <0 时, an 为单调递减数列。

-2-

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前 n 项和: Sn

? n(a1 ? an ) 2

?

na1

?

n(n ?1) 2

d



d ? 0 时, Sn 是关于 n 的不含常数项的一元二次函数,反之也成立。

④ 性质:i. am ? an ? ap ? aq (m+n=p+q)

ii. 若?an? 为等差数列,则 am , am?k , am?2k ,…仍为等差数列。

iii. 若?an? 为等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…仍为等差数列。
iv 若 A 为 a,b 的等差中项,则有 A ? a ? b 。 2
3.等比数列:
① 定义: an?1 ? q (常数),是证明数列是等比数列的重要工具。 an

② 通项: an ? a1qn?1 (q=1 时为常数列)。

?na1, q ? 1

? ? ③.前 n 项和,

Sn

?

? ?

a1

1? qn

? ?

1? q

?

a1

?

anq

,q

?

,需特别注意,公比为字母时要讨论. 1

1? q

④.性质:
i. am ? an ? a p ? aq ?m ? n ? p ? q? 。

ii. ?an ?为等比数列 ,则am , am?k , am?2k ,?仍为等比数列 ,公比为 qk 。

iii.

?an?为等比数列,

则S n

,

S2n

?

Sn

,

S3n

?

S2n

,K

仍为等比数列,公比为

q

n



iv.G 为 a,b 的等比中项, G ? ? ab 4.数列求和的常用方法: ①.公式法:如 an ? 2n ? 3, an ? 3n?1
? ? ? ? ②.分组求和法:如 an ? 3n ? 2n?1 ? 2n ? 5 ,可分别求出 3n , 2n?1 和?2n ?5? 的和,
然后把三部分加起来即可。

-3-

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③.错位相减法:如 an

?

?3n ? 2?? ?? 1 ??n ,
?2?

Sn

?

5???

1 2

? ??

?

7

? ??

1 2

?2 ??

?

9

? ??

1 2

?3 ??

?????

(3n

?1)

? ??

1 ?n?1 2 ??

? ?3n ?

2?

? ??

1 2

?n ??

1 2

Sn

?

5

? ??

1 2

2
? ? ?

?

7

? ??

1 2

3
? ? ?

?

9

? ??

1 2

4
? ? ?

? …+ ?3n

?1?

? ??

1 2

n
? ? ?

?

?3n

?

2?

? ??

1 2

n?1
? ??

两式相减得:

1 2

Sn

?

5???

1 2

? ??

?

2 ???

1

2
?

2 ??

?

2 ???

1 2

3
? ??

?????

2 ???

1 2

n
? ??

? ?3n ?

2?

? ??

1 2

n?1
? ??

,以下略。

④.裂项相消法:如 an

?

1
n?n ?1?

?

1 n

?

n

1 ?

1

;

a

n

?

1 n ?1 ?

? n

n ?1 ?

n,

an

?

?2n

1
?1? ? 2n

?1?

?

1 2

? ??

1 2n ?1

?

1? 2n ?1??

等。

⑤.倒序相加法.例:在 1 与 2 之间插入 n 个数 a1, a2,a3, ???, an ,使这 n+2 个数成等差数

列, 1.不等式的性质:

求:

Sn

?

a1

?

a2

?????

an ,(答案:

Sn

?

3 2

n



第三章 不等式

① 不等式的传递性: a ? b,b ? c ? a ? c



不等式的可加性:

a

?

b,

c

?

R

?

a

?

c

?

b

?

c,

推论:

a c

? ?

b d

? ? ?

?

a

?

c

?

b

?

d



不等式的可乘性:

a c

? ?

b?

0

? ?

?

ac

?

a bc;
c

? ?

b?

0

? ?

?

ac

?

a bc;
c

? ?

b d

? ?

0? 0??

?

ac

?

bd

?0

④ 不等式的可乘方性: a ? b ? 0 ? a n ? bn ? 0; a ? b ? 0 ? n a ? n b ? 0 2.一元二次不等式及其解法:
①. ax2 ? bx ? c ? 0, ax2 ? bx ? c ? 0, f ?x? ? ax2 ? bx ? c 注重三者之间的密切联系。

如: ax2 ? bx ? c >0 的解为:? <x< ? , 则 ax2 ? bx ? c =0 的解为 x1 ? ? , x2 ? ? ;
函数 f ?x? ? ax2 ? bx ? c 的图像开口向下,且与 x 轴交于点 ??,0? , ??,0? 。
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现在的努力就是为了实现小时候吹下的牛逼——标

对于函数 f ?x? ? ax2 ? bx ? c ,一看开口方向,二看对称轴,从而确定其单调区间等。
②.注意二次函数根的分布及其应用. 如:若方程 x2 ? 2ax ? 8 ? 0 的一个根在(0,1)上,另一个根在(4,5)上,则有

f (0) >0 且 f (1) <0 且 f (4) <0 且 f (5) >0

3.不等式的应用: ①基本不等式:

a ? 0,b ? 0, a ? b ? ab, a2 ? b2 ? 2ab, 2

? ? 2 a2 ? b2 ? ?a ? b?2

当 a>0,b>0 且 ab 是定值时,a+b 有最小值; 当 a>0,b>0 且 a+b 为定值时,ab 有最大值。 ②简单的线性规划:

Ax ? By ? C ? 0?A ? 0?表示直线 Ax ? By ? C ? 0 的右方区域.

Ax ? By ? C ? 0?A ? 0?表示直线 Ax ? By ? C ? 0 的左方区域

解决简单的线性规划问题的基本步骤是:
①.找出所有的线性约束条件。 ②.确立目标函数。 ③.画可行域,找最优点,得最优解。 需要注意的是,在目标函数中,x 的系数的符号, 当 A>0 时,越向右移,函数值越大,当 A<0 时,越向左移,函数值越大。
⑷常见的目标函数的类型:

①“截距”型: z ? Ax ? By;

②“斜率”型: z ? y 或 z ? y ? b ;

x

x?a

③“距离”型: z ? x2 ? y2 或 z ? x2 ? y2 ;

z ? (x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? (x ? a)2 ? ( y ? b)2 .
画——移——定——求:
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现在的努力就是为了实现小时候吹下的牛逼——标
第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平 移直线 l0 (据可行域,将直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解 (x, y) ; 第四步,将最优解 (x, y) 代入目标函数 z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法:
利用 z 的几何意义: y ? ? A x ? z , z 为直线的纵截距. B BB
①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处,z 取得 最大值,使直线的纵截距最小的角点处, z 取得最小值;
②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处,z 取得 最小值,使直线的纵截距最小的角点处, z 取得最大值.
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