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『新课标-苏教版』2018-2019学年高中数学必修二《两平面垂直的判定》课时同步练习及解析

(新课标)2018-2019 学年苏教版高中数学必修二 第 2 课时 两平面垂直的判定 【课时目标】 1. 掌握二面角、 二面角的平面角的概念, 会求简单的二面角的大小. 2. 掌 握两个平面互相垂直的概念,并能利用判定定理判定两个平面垂直. 1 . 二面 角: 一 条 直 线 和 由 这 条 直 线 出 发 的 ____________ 所 组 成 的 图 形叫 做二 面 角.______________叫做二面角的棱.________________叫做二面角的面.二面角α的范围 为________________. 2.平面与平面的垂直 ①定义:如果两个平面所成的二面角是__________,就说这两个平面互相垂直. ②面面垂直的判定定理 文字语言:如果一个平面经过另一个平面的一条______,那么这两个平面互相垂直.符 号表示: l⊥α ? ? ??α⊥β. ? ? 一、填空题 1.下列命题: ①两个相交平面组成的图形叫做二面角; ②异面直线 a、b 分别和一个二面角的两个面垂直,则 a、b 组成的角与这个二面角的 平面角相等或互补; ③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角; ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是________(填序号). 2.若平面α与平面β不垂直,那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条. 3.设有直线 m、n 和平面α、β,则下列结论中正确的是________(填序号). ①若 m∥n,n⊥β,m?α,则α⊥β; ②若 m⊥n,α∩β=m,n?α,则α⊥β; ③若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β. 4.过两点与一个已知平面垂直的平面有________个. 5.在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,把菱形沿对角线 AC 折起,使折起后 3 BD= ,则二面角 B-AC-D 的大小为________. 2 6.在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论中 成立的是________(填序号). ①BC∥面 PDF; ②DF⊥面 PAE; ③面 PDF⊥面 ABC; ④面 PAE⊥面 ABC. 7.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 AP⊥平面 ABCD,且 AP=AB,则平面 ABP 与平 面 CDP 所成的二面角的度数是________. 8.如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,图中互相垂直的平面有________对. 9.已知α、β是两个不同的平面,m、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论 断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中三 个论断 作 为条 件,余下一 个论断 作 为结论 , 写 出 你认为 正确的一 个 命 题 : ____________. 二、解答题 10.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC,CD=DA,E、F、G 分别为 CD、 DA 和对角线 AC 的中点. 求证:平面 BEF⊥平面 BGD. 11.如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA= 3. (1)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (2)求二面角 A—BE—P 的大小. 能力提升 12. 如图, 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, E、 F 分别是 A1B、 A1C 的中点, 点 D 在 B1C1 上,A1D⊥B1C. 求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. 13.如图,在三棱锥 P—ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA =90°,点 D、E 分别在棱 PB、PC 上,且 DE∥BC. (1)求证:BC⊥ 平面 PAC. (2)是否存在点 E 使得二面角 A—DE—P 为直二面角?并说明理由. 1.证明两个平面垂直的主要途径 (1)利用面面垂直的定义,即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平 面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直. (2)面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平 面互相垂直. 2.利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法:先从现有的直线中寻找平面 的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的 直线, 则可通过作辅助线来解决, 而作辅助线则应有理论依据并有利于证明, 不能随意添加. 3.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的,因 此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直 的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的的. 第 2 课时 两平面垂直的判定 答案 知识梳理 1.两个半平面 这条直线 每个半平面 0°≤α≤180° 2.①直二面角 ②垂线 l?β 作业设计 1.②④ 解析 ①不符合二面角定义,③从运动的角度演示可知,二面角的平面角不是最小角. 2.0 解析 若存在 1 条,则α⊥β,与已知矛盾. 3.①③ 解析 ②错, 当两平面不垂直时, 在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线 垂直. 4.1 或无数 解析 当两点连线与平面垂直时, 有无数个平面与已知平面垂直, 当两点连线与平面不 垂直时,有且只有一个平面与已知平面垂直. 5.60° 解析 如图所示,由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角. 3 ∵DO=OB=BD= , 2 ∴∠BOD=60°. 6.①②④ 解析 如图所示,∵BC∥DF, ∴BC∥平面 PDF. ∴①正确. 由 BC⊥PE,BC⊥AE, ∴BC⊥平面 PAE. ∴DF⊥平面 PAE. ∴②正确. ∴平面 ABC⊥平面 PAE(BC⊥平面 PAE). ∴④正确. 7


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