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【创新方案】2014版高中数学 第二讲 直线的参数方程教学课件 新人教版A版选修4-4


1.直线的参数方程 (1)过点 M0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数为 ? ?x=x0+tcos α ? (t 为参数) ? ?y=y0+tsin α (2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈[0,π) 时,sin α≥0.

2.直线参数方程中参数t的几何意义 参数t的绝对值表 示参数t所对应的点M到定点M0的距离 . (1)当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时,t取 正数 . (2)当M0M―→与e反向时,t取 负数 ,当M与M0重合时, t= . 0

[例1]

已知直线l的方程为3x-4y+1=0,点P(1,1)在

直线l上,写出直线l的参数方程,并求点P到点M(5,4)的距 离. [思路点拨] 由直线参数方程的概念,先求其斜率,进

而由斜率求出倾斜角的正、余弦值,从而得到直线参数方

程.

[ 解]

3 由直线方程 3x-4y+1=0 可知, 直线的斜率为 , 4

设直线的倾斜角为 α, 3 3 4 则 tan α= ,sin α= ,cos α= . 4 5 5 又点 P(1,1)在直线 l 上, 4 ? ?x=1+5t, 所以直线 l 的参数方程为? ?y=1+3t 5 ?

(t 为参数).

因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上. 4 由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5. 5

理解并掌握直线参数方程的转化,弄清参数t的 几何意义,即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键.

π 1.一直线过 P0(3,4),倾斜角 α= ,求此直线与直线 3x+ 4 2y=6 的交点 M 与 P0 之间的距离.
? ?x=3+ ? 解:设直线的参数方程为? ? y=4+ ? ? 2 2 得 3(3+ t)+2(4+ t)=6. 2 2 11 2 解得 t=- , 5 ∴|MP0|=|t|= 11 2 . 5 2 t, 2 2 t, 2

将它代入已知直线 3x+2y-6=0,

2.已知直线 l 斜角.

? ?x=-1+ 的参数方程为? ? ?y=2-t,

3t,

求直线 l 的倾

? 3 ?x=-1+ 2 ?2t?, 解:若化成另一种形式? ?y=2+?-1??2t?. 2 ? ? 3 ?cos α= 2 , 若 2t 为一个参数,则? ?sin α=-1 2 ?

在 α∈[0,π)内无解;

? 3 ?x=-1+?- 2 ??-2t?, 而化成? ?y=2+?1??-2t? 2 ? ? 3 ?cos α=- 2 , 则? ?sin α=1 2 ? 5π 得 α= . 6

时,

5π 故直线 l 的倾斜角为 . 6

[例 2]

π 已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α= , 6

(1)写出直线 l 的参数方程. (2)设 l 与圆 x2+y2=4 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、 B 两点的距离之积. [ 思路点拨 ] (1) 由直线参数方程的概念可直接写出方

程;(2)充分利用参数几何意义求解.

[ 解]

π (1)∵直线 l 过点 P(1,1),倾斜角为 , 6

π ? ?x=1+tcos6 , ∴直线的参数方程为? ?y=1+tsinπ, 6 ? ? 3 ?x=1+ 2 t, 即? ?y=1+1t 2 ?

为所求.

(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1+ t1,1+ t1),B(1+ t2,1+ t2), 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2+y2=4 整理得到 t2 +( 3+1)t-2=0, 因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2. 所以|PA|· |PB|=|t1t2|=|-2|=2. ①

求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时,不必求
出交点坐标,根据直线参数方程中参数t的几何意义 即可求得结果,与常规方法相比较,较为简捷.

π 3.直线 l 通过 P0(-4,0),倾斜角 α= ,l 与圆 x2+y2 6 =7 相交于 A、B 两点. (1)求弦长|AB|; (2)求 A、B 两点坐标.
π 解:∵直线 l 通过 P0(-4,0),倾斜角 α= , 6 ? 3 ?x=-4+ 2 t, ∴可设直线 l 的参数方程为? ?y= t . ? 2 3 2 1 2 代入圆方程,得(-4+ t) +( t) =7. 2 2

整理得 t2-4 3t+9= 设 A、B 对应的参数分别 t1 和 t2, 由韦达定理得 t1+t2=4 3,t1t2=9 ∴|AB|=|t2-t1|= ?t1+t2?2-4t1t2=2 3. 解 得 t1=3 3,t2= 3,代入直线参数方程 ? 3 ?x=-4+ 2 t, ? ?y=1t, ? 2 1 3 3 5 3 得 A 点坐标( , ),B 点坐标(- , ). 2 2 2 2

x2 2 4.求经过点(1,1),倾斜角为 120° 的直线截椭圆 +y =1 所 4 得的弦长.

解:由直线经过点(1,1),倾斜角为 120° ,可得直线的 1 ? ?x=1-2t, 参数方程为? ?y=1+ 3t 2 ?

(t 为参数),代入椭圆的方

1 2 ?1- t? 2 3 2 程,得 +(1+ t) =1, 4 2

整理,得 13t2+4(4 3-1)t+4=0. 设方程的两实根分别为 t1,t2, 4?1-4 3? 4 则 t1+t2= ,t1t2= . 13 13 |t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2=
2 42 4 2 2?1-4 3? - 13 13

4 4 2 = ?1-4 3? -13= 4?9-2 3? 13 13 = 8 9-2 3 . 13 8 9- 2 3 . 13

所以直线被椭圆所截得的弦长为


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