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2012-2013年高二数学期末复习试题参考答案


2012-2013 年高二数学期末复习试题参考答案
一、填空题. 1. 若a ? 1 ? b ? 2, 则a ? b 2. ?x ? R, x 2 ? x ? 3 ? 0 3. m ? 1 4. a<1 5. 相交 6. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 2 2 7. x ? y ? 1 4 3 8. y ? ? 9. 3 10.

2 x 3

8 3
2

11. 5 ? 1 12. 2

13. (文科、艺体学生做) (?2,4) (理科学生做) x 2 ? 8 y 14. (文科、艺体学生做) 8 (理科学生做) ? 39

15. 16. 17. 18. 19. 20.① 21. ? ,1? . 22. 2

?1 ? ?2 ?

23.-1 24.

2 2

25. 3x-2y+1=0 26. ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1

27.

4 3 3

28. 3cm 29.4 30.4x+3y-18=0 31. -2 32. 垂直 33. x 2 ? y 2 ? 25 34. 4 35.(1) (4) 36. ?x ? (0,2), x ? 2 x ? 2 ? 0
2

37. ? 4

13 3 1 39. y ? 8
38. ? 40. (1,??) 41.5 或 3 42.必要不充分 43. {m m ? 4 且 m ? ? 44. 2 45. ? 3 46.

2 1 且m ? } 2 3

9 4

47. [

, ] 12 12

? 5?

48. (

6 ? 2 5 ?1 , ) 2 2

49.①③ 50.y =8x 51.18 3 52.-1 53.4 54.②④ 55.4π 56.x+2y+1=0 或 x=1 57.-2 58.[0°,45°]∪[135°,180°) 59.(-9,-1)∪(4,+∞) 60. ①②③ 61.6+ 2 62.(-15,-5)∪(5,15) 63.3 2 64.[ 2-1,1) 65.⑤ 二.解答题。 66.解:由题意 p: ? 2 ? x ? 3 ? 2 ∴ 1? x ? 5 ??????????????????3分 ∴ ?p : x ? 1或x ? 5 ????????????? 5分
2

q: m ? 1 ? x ? m ? 1 ∴ ?q : x ? m ? 1或x ? m ? 1 又∵ ?p 是 ?q 充分而不必要条件 ∴?

????????????? 8分 ????????????? 10分

?m ? 1 ? 1 ?m ? 1 ? 5

∴2 ? m ? 4

???????????????? 14 分

67.解:若 p 真,即方程

x2 y2 ? ? 1表示双曲线, a?6 a?7
???????????????5 分
2 2

则 ? a ? 6?? a ? 7 ? ? 0 ,? ?6 ? a ? 7 .
2

若 q 真,即圆 x2 ? ? y ? 1? ? 9 与圆 ? x ? a ? ? ? y ? 1? ? 16 相交, 则 1 ? a2 ? 4 ? 7,??3 5 ? a ? 3 5 . 若“ ? p 且 q ”为真命题,则 p 假 q 真,
?a ? ?6或a ? 7 ? ,即 ?3 5 ? a ? ?6 , ?? ??3 5 ? a ? 3 5 ?

????????????????10 分

? 符合条件的实数 a 的取值范围是 ?3 5 ? a ? ?6 . ????????????14 分
68.解:⑴圆 C 半径 r 即为 AC ,所以 r ? AC ?
2 2

? ?1 ? 3?

2

+ ? 4 ? 1? ? 5 ,?????2 分
2

所以圆 C 的方程为 ? x ? 3? + ? y ? 1? ? 25 .??????????????6 分

69.解:⑴由椭圆的定义,得 AF1 ? AF2 ? 2a, BF1 ? BF2 ? 2a ,又 AF ? BF ? AB , 1 1 所以, ?ABF2 的周长 ? AB ? AF2 ? BF2 ? 4a .
2 又因为 a ? 4 ,所以 a ? 2 ,故 ?ABF2 点周长为 8 .????????????6 分

⑵由条件,得 F1 (?1 , 0) ,因为 AB 的倾斜角为

? ,所以 AB 斜率为1 , 4

故直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 .?????????????????????8 分 由?
? y ? x ? 1, 2 消去 x ,得 7 y ? x2 y2 ? ? 1, ? 3 ? 4

? 6 y ? 9 ? 0 ,??????????????10 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,解得 y1 ? 所以, S?ABF2

3?6 2 3?6 2 , y2 ? , 7 7 1 1 12 2 12 2 ? F1 F2 ? y1 ? y2 ? ? 2 ? ? .??????????16 分 2 2 7 7
??????2 分

70.解: (1)圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 ,圆心 C(-1,3) ,半径 r=3 (2)设直线 PQ 的方程为 y ? ? x ? b ,

∴由题意知,直线 x ? my ? 4 ? 0 必过圆心,∴ ? 1 ? 3m ? 4 ? 0 , m ? ?1 ?6 分 ????????????8 分 与圆的方程联立,消去 y 得 2 x 2 ? (8 ? 2b) x ? b 2 ? 6b ? 1 ? 0
2 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,得 x1 ? x2 ? b ? 4 , x1 ? x 2 ? b ? 6b ? 1 ,????10 分

2

从而,得 y1 ? y 2 ? (? x1 ? b)(? x 2 ? b) ? ? ? 而由 OP ? OQ ? 0 得, x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,

b ? 2b ? 1 ????? ???12 分 2
2

???????????14 分

b 2 ? 6b ? 1 b 2 ? 2b ? 1 ∴ + =0,解得 b ? 1 ,直线 PQ 的方程为 y ? ? x ? 1 ?16 分 2 2
71.解: (1)由题意可得 a=2 10,c=5, ???????????????????4 分 ∴b =15. 所以椭圆 C 的方程为 + =1. ?????????????6 分 40 15 5 10 2 2 (2)圆 O:x +y = 的圆心为原点,半径 r= . 2 2 ①当∠PF2F1 为直角时,点 P 的坐标为(5, 3 3 10 ). 4 ???? ????????8 分
2

x2

y2

直线 PF1 的方程为 y=

15 10 (x+5).此时圆心到直线 PF1 的距离为 < . 13 2 4 10

5 2 2 所以直线 PF1 与圆 O:x +y = 相交. ?????????????????11 分 2

?x2+y2=1, ?x=4, 40 15 ②当∠F PF 为直角时,设点 P 的坐标为(x,y).解? 得? 5 ?y=3. ? x2+y2=2.
1 2

所以点 P 的坐标为(4,3).

?????????? ?????????13 分 10 . 2

则点 P 到椭圆右焦点(5,0)的距离为 10. 此时圆心 O 到直线 PF1 的距离为 5 2 2 所以直线 PF1 与圆 O:x +y = 相切. 2 72.

????????????????16 分

73.(1) AC ? 10 ??????????????????????4分 (2) AC 中点 M 坐标为 (1,6) , AM : 4 x ? y ? 10 ? 0 ,??????9分

(3) AC : 3x ? 4 y ? 27 ? 0 ,点B到直线AC的距离

h?

13 5,

面积 S ? 13 ????????????????????14分 74.(Ⅰ)∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF ? 面 ACD ,AD ? 面 ACD ,∴直线 EF∥面 ACD .??????7 分 (Ⅱ)∵ AD⊥BD ,EF∥AD,∴ EF⊥BD. ∵CB=CD, F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD. 又 EF ? CF=F,∴BD⊥面 EFC.∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD .??14 分

75. (1)取PC的中点G,连接FG、EG,∴ FG为△CDP的中位线.

∴ FG

1 2 CD.∵ 四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,

∴ AE

1 2 CD.∴ FG AE.∴ 四边形AEGF是平行四边形,

∴ AF∥EG. 又EG ? 平面PCE,AF ? 平面PCE,∴ AF∥平面PCE.?????????5分 (2)∵ PA⊥底面ABCD,∴ PA⊥AD,PA⊥CD.

又AD⊥CD,PA∩AD=A,∴ CD⊥平面ADP. 又AF ? 平面ADP,∴ CD⊥AF. ∵ 直角三角形PAD中,∠PDA=45°,∴ △PAD为等腰直角三角形,∴ PA=AD=2.∵ F是PD的中点,∴ AF⊥PD.又CD∩PD=D, ∴ AF⊥平面PCD. 又∵ AF∥EG,∴ EG⊥平面PCD. 又EG ? 平面PCE,平面PCE⊥平面PCD.????????????10分 (3)求三棱锥C-BEP的体积即为求三棱锥P-BCE的体积, ∴ PA是三棱锥P-BCE的高.Rt△BCE中,BE=1,BC=2,

1 1 1 ∴ 三棱锥C-BEP的体积VC-BEP=VP-BCE= 3 S△BCE?PA= 3 ? 2 ?BE?BC?PA 1 1 2 = 3 ? 2 ?1?2?2= 3 .??????????????????15分
76.(1)由题知

C1 : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 18 C2 : ( x ? a)2 ? ( y ? 3)2 ? 8
因为C1与C2相外切,所以圆心距d=r1+r2 即

(a ? 1)2 ? (3 ? 2)2 ? 3 2 ? 2 2

? a ? 8或-6 (舍去)

????????????????7分

(2)由(1)圆心C2(8,3) 因为l与C2相切 所以圆心C2到直线l的距离d=r



8m ? 3 ? 7 m2 ? 1

?2 2

所m=1或1/7??????????????????????????15分

77.(1) 【证明】因为∠ABC=90°,AD∥BC,所以 AD⊥AB. 而平面 PAB⊥平面 ABCD,且平面 PAB ? 平面 ABCD=AB, 所以 AD⊥平面 PAB, 所以 AD⊥PA. 同理可得 AB⊥PA. 由于 AB、AD ? 平面 ABCD,且 AB ? AD=C, 所以 PA⊥平面 ABCD.????????????????????????8 分 (2) 【解】 (方法一)不平行. 证明:假定直线 l∥平面 ABCD, 由于 l ? 平面 PCD,且平面 PCD ? 平面 ABCD=CD, 所以 l ∥CD. 同理可得 l∥AB, 所以 AB∥CD. 这与 AB 和 CD 是直角梯形 ABCD 的两腰相矛盾,故假设错误, 所以直线 l 与平面 AB

CD 不平行. ?????????????????????????? 16 分
(方法二)因为梯形 ABCD 中 AD∥BC, 所以直线 AB 与直线 CD 相交,设 AB ? CD=T. 由 T ? CD,CD ? 平面 PCD 得 T ? 平面 PCD. 同理 T ? 平面 PAB. 即 T 为平面 PCD 与平面 PAB 的公共点,于是 PT 为 平面 PCD 与平面 PAB 的交线. 所以直线 l 与平面 ABCD 不平行. ??????????? ???????16 分 78.? ( x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? 4a
()x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 2a 2 ? 4a ? 0 1 ?圆心为C (?a, a ), 半径r ? 2 a

设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2t,圆心 C 到直线 l 的距离为 d

m ? 4时,直线l:x-y+4=0 圆心C到直线l的距离d= ?a ? a ? 4 2 ? 2 a?2

t 2 ? (2 a ) 2 ? 2(a ? 2) 2 ? ?2a 2 ? 12a ? 8

?当a ? 3时,直线l被圆C所截得弦长的最大值为2 10 ?????????8 分
(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d=

?a ? a ? m 2

?

2 2a ? m 2

因为直线 l 是圆 C 的切线,所以 d=r,即

m ? 2a 2

?2 a

? m ? 2a ? 2 2a
因为直线 l 在圆 C 的下方 所以

m ? 2a ? 2 2a 因为a ? (0, 4], 所以m ? [?1,8 ? 4 2]

???????????16 分

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ? 79.解:若 p 为真,则 ? x1 ? x 2 ? m ? 0 ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2
若 q 为真,则 ? ? 16(m ? 2) 2 ? 4 ? 4 ? 0 “ ? “ p 或 q ”为真, p 且 q ”为假 ①若 p 真 q 假,则 ?

∴ m ? ?2

????????4 分

∴1 ? m ? 3 ∴ p 与 q 一真一假 ∴ m ? ?2

????????7 分

?m ? ?2 ?m ? 1或m ? 3
?m ? ?2 ?1 ? m ? 3

????????10 分

②若 p 假 q 真,则 ?

∴1 ? m ? 3

????????13 分

综上所述, M ? (??,?2) ? (1,3)

????????14 分 ∴C(10,6) ????????2 分 ????????4 分

80.解(1)∵□ABCD 中, DC ? AB ? (6,0) ∵M(4,1) ∴直线 CM: y ? 1 ? (2)∵ k BD ? ? ∴ k CM ?

5 6

5 ( x ? 4) 6

即 5 x ? 6 y ? 14 ? 0

????????7 分 即 5x ? 3 y ? 38 ? 0 ??10 分

5 3

∴直线 BD: y ? 1 ? ? ( x ? 7)

5 3

?x ? 6 ?5 x ? 6 y ? 14 ? 0 ? 由? ,得 ? 8 ?5 x ? 3 y ? 38 ? 0 ?y ? 3 ?

∴P ( 6, )

8 3

????????14 分

81.解: (1)设所求抛物线标准方程为 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 则

p ?3?5 2

∴p?4
2

????????5 分 ????????7 分

∴所求抛物线标准方程为 y ? ?8x (2)∵ 2b ? 8 5 ∴e ? ∴b ? 4 5

c ? a

a 2 ? 80 2 ? a 3

∴ a ? 144
2

????????11 分

∴所求椭圆标准方程为

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ? 1 ????????15 分 144 80 144 80
即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0

82.解(1)由题意知,直线 CD 斜率存在,设为 k 则 直线 CD: y ? 1 ? k ( x ? 2)

∵ CD ?

2

∴圆心 M(0,2)到直线 CD 距离 d ?

r2 ? (

CD 2 2 ??2 分 ) ? 2 2

∴d ?

? 2k ? 1 k 2 ?1

?
1 7

2 2

????????4 分

∴ k ? ?1 或 k ? ?

????????6 分 ????????7 分

∴直线 CD 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 7 y ? 9 ? 0 (2)∵MA⊥PA,MB⊥PB 设 P(2a, a) ,则圆心为 ( a,

∴A,P,B,M 四点共圆,且此圆以 PM 为直径。

a?2 1 1 5a 2 ? 4a ? 4 ) ,半径 R= MP ? 4a 2 ? (a ? 2) 2 ? 2 2 2 2

∴经过 A,P, M 三点的圆的方程为

( x ? a) 2 ? ( y ?

a ? 2 2 5a 2 ? 4a ? 4 ) ? 2 4

???10 分



x 2 ? y 2 ? 2ax ? (a ? 2) y ? 2a ? 0
2 2

∴圆的方程为 (2 ? 2x ? y)a ? ( x ? y ? 2 y) ? 0

4 ? x? ?2 ? 2 x ? y ? 0 ?x ? 0 ? ? 5 令? 2 ,得 ? 或? 2 ?y ? 2 ?y ? 2 ?x ? y ? 2 y ? 0 ? 5 ?
4 2 5 5

????????14 分

∴经过 A、P、M 三点的圆必过定点(0,2)和 ( , )

????????15 分

?c ? 4m ? 83.解(1)∵ ? c 4 ?a ? a ? 5 ?

∴ a ? 5m

∴ b ? a ? c ? 9m
2 2 2

2

x2 y2 ? ?1 ∴椭圆方程为 25m 2 9m 2
2 (2)∵当 x ? 4m 时, y ?

????????4 分 ∴ y ?

81 2 m 25

9 m 5

∴当 ? ? 90 °时,MF=NF= m

9 5



1 1 5 2 ? ? MF NF 9

∴m ?

2

????????8 分

(3)①当 ? ? 90 °时,由(2)可知,

1 1 10 ? ? MF NF 9m

???????10 分

y ②当 ? ? 90 °时, 设直线 l 斜率为 k , ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , 则直线 MN: ? k ( x ? 4m) M

? y ? k ( x ? 4 m) ? 由 ? x2 ,得 (9 ? 25k 2 ) x 2 ? 200k 2 mx ? 25m 2 (16k 2 ? 9) ? 0 y2 ? ?1 ? ? 25m 2 9m 2
? 200k 2 m x1 ? x 2 ? ? ? 9 ? 25k 2 ∴? 2 2 ? x x ? 25m (16k ? 9) ? 1 2 9 ? 25k 2 ?

???????12 分

1 1 ∴ ? ? MF NF

4 10m ? ( x1 ? x2 ) 5 ? ? 4 4 16 5m ? x1 5m ? x2 25m 2 ? 4m( x1 ? x2 ) ? x1 x2 5 5 25 1 1
???????15 分

=

90m(1 ? k 2 ) 10 ? 81m 2 (1 ? k 2 ) 9m

综上:

1 1 10 ? ? 为定值,与 ? 的大小无关。 ???????16 分 MF NF 9m
∴椭圆中, c ? 3, ∴a ? 5 ∴ b ? a ? c ? 16
2 2 2

84.(1)∵抛物线焦点为 (?3,0) ∴e ?

c 3 3 ? ? a a 5

∴椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 25 16

???????4 分

(2)设 Q ( x, y ) ,则

x2 y2 ? ?1 25 16

∴ MQ ?

( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? 16(1 ?

x2 9 50 80 )? (x ? )2 ? 25 25 9 9
????9 分

∵?5 ? x ? 5

∴当 x ? 5 时, MQ 取得最小值,此时 Q(5,0) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

(3)直线 l : y ? k ( x ? m)

? y ? k ( x ? m) ? 由 ? x2 , 得 (16 ? 25k 2 ) x 2 ? 50k 2 mx ? 25(k 2 m 2 ? 16) ? 0 y2 ?1 ? ? ? 25 16

? 50k 2 m ? x1 ? x 2 ? ? 16 ? 25k 2 ∴? 2 2 ? x x ? 25(k m ? 16) ? 1 2 16 ? 25k 2 ?
∴ PA ? PB
2 2 2

???????12 分

? ( x1 ? m) 2 ? y1 ? ( x 2 ? m) 2 ? y 2

2

= ( x1 ? m) 2 ? k 2 ( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? k 2 ( x2 ? m) 2

= (1 ? k 2 )[(x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ] ? (1 ? k 2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 2x1 x2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m 2 ]

1? k 2 = [(512 ? 800k 2 )m 2 ? 800(16 ? 25k 2 )] 2 2 (16 ? 25k )
2 令 512? 800k ? 0 ,得 k ?
2

16 25

∴k ? ?

4 5
0 0 0

???????16 分

?y -2?2=-1 x +2 ?x =2 85.解: ⑴设 A 关于直线 l 的对称点 A'坐标为(x , ), ? y 则 解得? , x -2 y +2 ?y =0 ? 2 ?2- 2 +1=0
0 0 0 0 0

即 A'(2,0) 求 得 A'B 的 直 线 方 程 为 :

y = 0.

求 得 点

P( -

1 , 0). 2

??????????7 分 2 2 2 2 2 ⑵设动点 P 的坐标为(t,2t+1),则|PA| +|PB| =(t+2) +(2t-1) +(t+8) +(2t 2 2 +1) =10t +20t+70 当 t = - 1 时 , 取 得 最 小 值 , 即 P( - 1 , - 1) ????????????????????14 分 86 解: (1)在图①中,Rt△ABC,AC=6,BC=3,∠ABC=90°, D ∴∠BCA=60°,又∵CD 为∠ACB 的平分线, ∴∠BCD=∠DCE=30°, 在 Rt△BDC 中,求得 DC=2 3,故 BC:DC=DC:EC= 3:2 A ∴△BCD∽△DCE,从而∠EDC=∠DBC=90°,即 ED⊥DC; ∵将△BCD 沿 CD 折起,使得平面 BCD⊥平面 ACD, 平面 BDC∩平面 EDC=DC ∴DE⊥平面 BCD. ??????????7 分 (2)取 AD 的中点 H,AC 的中点 M,连结 FH、FM、MH, 在△ABD 中,F、H 分别为 AB、AD 的中点,则 FH 为△ABD 的中位线 ∴FH//BD,又∵FH?平面 BDC,BD?平面 BDC A E ①

B

C

B F H E G M ② C D

∴FH//平面 BDC;同理,MH//平面 BDC 又 FH∩MH=H,FH?平面 FMH,MH?平面 FMH ∴平面 FMH//平面 BDC; 记 MH 与 DE 交于点 G,则 FG?平面 FMH,∴FG//平面 BDC,故 G 点为所求 ∵EM=AM-AE=1,∴EM:MC=1:3, ∴ EG:GD = 1:3 , 即 G 为 ED 上 最 靠 近 E 的 四 点 分 点. ???????????????14 分 87.⑴证明:取 AB 中点 G,连结 GF、GE, 1 ∵F 为 BC 中点,∴FG∥AC,且 FG= AC 2 1 而由三棱柱可得,C1E//AC,且 C1E= AC,∴FG//C1E 且 FG=C1E 2 ∴四边形 EGFC1 为平行四边形 ∴C1F//EG,而 EG?平面 ABE,C1F?平面 ABE ∴ C1F// ABE. ????????????????????????????5 分 平 面

⑵证明:△ABC 中,AC=4,CB=2,∠ACB=60°,可求得 AB=2 3,∠ABC=90°即 AB⊥BC B1 ∵直三棱柱 ABC-A1B1C1,故∠A1B1C1 也为 90° ∴A1B1⊥B1C1, 又由直三棱柱可得 BB1⊥底面 A1B1C1, ∴BB1⊥A1B1, 且 BB1∩B1C1=B1, B ∴A1B1⊥侧面 B1C1CB F 又 C1F?侧面 B1C1CB,∴A1B1⊥C1F; 在侧面矩形 B1C1CB 中,BB1= 2,BC=2,F 为 BC 中点 证明△C1CF∽△CBB1,从而可得∠BCB1=∠FC1C ∴∠C1FC+∠BCB1=∠C1FC+∠FC1C=90°,即 B1C⊥C1F; 又∵A1B1∩B1C=B1,A1B1?平面 A1B1C,B1C?平面 A1B1C ∴C1F⊥平面 A1B1C 又 C1F? 平 面 C1FP , ∴ 平 面 A1B1C ⊥ 平 面 C1FP. ???????????????12 分 ⑶∵P 在 E 点位置,三棱锥 P-B1C1F 即为三棱锥 E-B1C1F 而 E 是 A1C1 的中点,E 到平面 BCC1B1 的距离是 A1 到平面 BCC1B1 的距离一半 又∵A1B1⊥平面 BCC1B1,且 A1B1=2 3 1 3 ∴P 到平面 BCC1B1 的距离= A1B1= 4 2 1 而在矩形 BCC1B1 中,△B1C1F 的面积= 矩形面积= 2 2 1 6 ?S△?h= (此问体积求法很多,上述仅供参 3 6 考)????????16 分 88.解: ∴V
三 棱 锥

C1

C



10

13

18

89. 解:⑴∵点 P(-1, 3)在圆上,∴b =4 又∵PA 是⊙O 的切线, ∴△OPA 为直角三角形,∠POA=60° ∴OA=2OP=2b=4,即 a=4 椭 圆 C 的 方 程 为

2

x2
16



y2
4



1.

???????????????4 分 PA a-b a+b ⑵∵ 是一个常数,∴当点 P 分别在(±b,0)时比值相等,即 = PF b-c b+c 整理可得,b =ac,又∵b =a -c ,即 a -c -ac=0,同除以 a 可得
2 2 2 2 2 2 2

e2



e



1



0













e



5-1 2

.

???????????????8 分 ⑶如若存在,∵b=1,则设椭圆方程为 2+y =1 ? 设∨y1∈(0,1),D(x1,y1),H(x2,y2),E(-x1,-y1),G(x1,0)
?x1 +a y1 =a 2 2 2 2 2 ∵D、H 都在椭圆 C 上,∴? 2 ,两式相减得 (x1 -x2 )+a (y1 -y2 )=0 x2 +a2y22=a2 ?
2 2 2 2

x2 a

2

由题意可得,D、H 在第一象限,且不重合,故(x1-x2)(x1+x2)≠0 ∴

y1-y2 y1+y2 1 ? =- 2 x1-x2 x1+x2 a

(*)

而又因为 E、G、H 三点共线,故 kEH=kEG,即 可得

y1+y2 0-(-y1) y1 = = ,代入(*)式 x1+x2 x1-(-x1) 2x1

y1-y2 y1 1 ? =- 2 x1-x2 2x1 a y1 y1-y2 1 1 2 =-1,因此,- =- 2,即 a =2,a= 2. x1 x1-x2 2 a
椭 圆

而 DE⊥DH,即为 ? 从 而 存 在

x2
2



y2



1









.

???????????????18 分 (此问也可设 DE 的斜率为 k,D(x1,kx1),则根据题意寻找一个含有 a、k、x1 的一个 等式,而该等式必须对任意的 k 及任意可取的 x1 恒成立,从而求出 a,运算量和上述 方法差不多,仅供参考)



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