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高中三角函数综合题及答案


三角函数习题
B C 中,角 A. B. 1. 在 ?A C 的对边分别为 a、 b、 c,且满足(2a-c)cosB=bcos C.

(Ⅰ)求角 B 的大小;

?? ? ?? ? (Ⅱ)设 m ? ? sin A,cos 2 A? ,n ? ? 4k,1?? k ? 1? , 且 m ? n 的最大值是 5,求 k 的值
2 0

? 2. 在 ?ABC 中,已知内角 A. B. C 所对的边分别为 a、 b、 c,向量 m ? 2sin B, ? 3 ,
0 7 0

?

?

? ? B ? ? ? n ? ? cos 2 B, 2cos 2 ? 1? ,且 m / / n ? 2 ? ?

3

1

6

(I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值
? 3 3? ?x ?x ? 3.已知 a ? ? ? 2 ,? 2 ? , b ? (sin 4 , cos 4 ) , f ( x) ? a ? b ? ? ?

(1)求 f ( x) 的单调递减区间?
4 (2)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时, y ? g ( x) 3

的最大值?

4.设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b) (I)求函数 f ( x) 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式 f ( x ) ?
3 成立的 x 的取值集合? 2

?π ? ?π π? 5.已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(1)求 f ( x) 的最大值和最小值;
?π π? (2) f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. ?4 2?

6 . 在 锐 角 △ABC 中 , 角 A .
(b 2 ? c 2 ? a 2 ) t a n A ? 3bc.

B . C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 已 知

(I)求角 A; (II)若 a=2,求△ABC 面积 S 的最大值? 7.在锐角 ?ABC 中,已知内角 A. B.C 所对的边分别为 a、b、c,且 -tanB)=1+tanA·tan B. (1)若 a2-ab=c2-b2,求 A. B.C 的大小;
n =(cosB, (2)已知向量 m =(sinA, cosA), sinB), 求|3 m -2 n |的取值范围. ? ? ? ?

(tanA

三角函数习题答案
1.【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC, ∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C. 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA. ∵0<A<π,∴sinA≠0.

1 ∴cosB= . 2

∵0<B<π,∴B=

? . 3

?? ? (II) m ? n =4ksinA+cos2A.
=-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0, 设 sinA=t,则 t∈ (0,1] .
2? ) 3

?? ? 则 m ? n =-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈ (0,1] . ?? ? ∵k>1,∴t=1 时, m ? n 取最大值.
依题意得,-2+4k+1=5,∴k= ? B ? ? 2.【解析】:(1) m / / n ?2sinB(2cos2 -1)=2 ?2sinBcosB=3cos2B 3
3 . 2

3cos2B ? tan2B=-

2π π ∵0<2B<π,∴2B= ,∴锐角 B= 3 3 (2)由 tan2B=π 5π 3? B= 或 3 6

π ①当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 3 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) 1 3 ∵△ABC 的面积 S△ABC= acsinB= ac≤ 2 4 ∴△ABC 的面积最大值为 3 3

5π ②当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 6 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3 ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 62时等号

成立) ∴ac≤4(23)

∵△ABC 的面积 S△ABC= acsinB= ac≤ 2-

1 2

1 4

3

∴△ABC 的面积最大值为 23.【解析】:(1) f ( x) ? ∴当

3

3 ?x 3 ?x ?x ? sin ? cos ? 3 sin( ? ) 2 4 2 4 4 3
3? ? 2k? ] 时, f ( x) 单调递减 2

?x
4

3 2 10 22 解得: x ? [ ? 8k , ? 8k ] 时, f ( x) 单调递减? 3 3

?

?

?[

?

? 2k? ,

(2)∵函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 关于直线 x ? 1 对称
? ? ( 2 ? x) ? ? ∴ g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin ? ? ? 4 3? ? ?? ?x ? ? ? ?x ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 3 cos? ? ? ?2 4 3? ? 4 3?
4 ?x ? ? ? 2? ? ∵ x ? [0, ] ∴ ? ? ? , ? 3 4 3 ?3 3 ?

1 1 ? ?x ? ? ∴ cos? ? ? ? [? , ] 2 2 ? 4 3?

∴ x ? 0 时, g max ( x) ? 4.【解析】

3 2

又? ? ? [ ?

?

2 sin 2? 7 ? 因此, sin ? ? cos ? 12

,0] ,? sin ? ? cos ? ? 0 , sin ? ? cos ? ? ?

4 3

? ?π ?? 5.【解析】 (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ?? ?
π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
π π 2π ?π π? 又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ , 6 3 3 ?4 2?

π? ? 即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 3? ?

∴ f ( x)max ? 3,f ( x)min ? 2 .
?π π? (Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , ?4 2?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 , 4) .
b 2 ? c 2 ? a 2 sin A 3 3 6.【解析】:(I)由已知得 ? ? ? sin A 2bc cos A 2 2

又在锐角△ABC 中,所以 A=60°,[不说明是锐角△ABC 中,扣 1 分]

(II)因为 a=2,A=60°所以 b 2 ? c 2 ? bc ? 4, S ? 而 b 2 ? c 2 ? 2bc ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? 4 又S ?
1 3 3 bc sin A ? bc ? ?4 ? 3 2 4 4

1 3 bc sin A ? bc 2 4

所以△ABC 面积 S 的最大值等于 3 7.【解析】



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