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2015届高三文科数学第一次月考试题


2015 届高三年级第一次月考文科数学试题
2014-08-29 下午 3:00-5:00

一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、sin6000= A.
1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

2、命题“存在实数 x ,使 x ? 1 ”的否定是 A.对任意实数 x , 都有 x ? 1 C.对任意实数 x , 都有 x ? 1 B.不存在实数 x ,使 x ? 1 D.存在实数 x ,使 x ? 1

3、若集合 A ? {x | kx2 ? 4x ? 4 ? 0, k ? R} 只有一个元素,则 k 的值为 A.1 B.0 C.0 或 1 D.以上答案都不对

4.已知 f ( x5 ) ? lg x ,则 f (2) = A. lg 2 B. lg 32 C. lg
1 32

D. lg 2

1 5

5.三个数 60.7 ,0.76 ,log0.7 6 的大小顺序是 A. 0.76 ? log0.7 6 ? 60.7 C. log0.7 6 ? 60.7 ? 0.76 B. 0.76 ? 60.7 ? log0.7 6 D. log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7

1

6、 已知函数 f ( x) ? sin ? ? 2x ?
?

3? ? 的是 ? ( x ? R) ,下面结论错误 .. 2 ?

A.函数 f ( x) 的最小正周期为 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称
?? D.函数 f ( x) 在区间 ? 0, ? ? 上是增函数
? 2?

B.函数 f ( x) 是偶函数
? 4

7、把函数 y ? f (?x ? ? )(? ? 0, | ? |? ? )的图象向左平移 个单位,再将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到函数
y ? f ( x) 的图象,则

? 6

A. ? ? 2, ? ?

?

6 1 ? C. ? ? , ? ? 2 6

B. ? ? 2, ? ? ?

?

3 1 ? D. ? ? , ? ? ? 2 12

8、下列函数中,图象的一部分如下图所示的是
? A. y ? sin( x ? )
6

? B. y ? sin(2 x ? )
6

y

? C. y ? cos(4 x ? )
3

? D. y ? cos(2 x ? )
6

?

?
6

1

·

O -1

· ? 3

x

9、函数 y ? 2cos( ? ? 2 x) 的单调减区间是
4

A. {x | k? ?

?
8

? x ? k? ?

5? , k ? Z} 8
5? , k ? Z} 8

B. {x | k? ? 3? ? x ? k? ? ? , k ? Z}
8 8

C. {x | 2k? ?

?
8

? x ? 2k? ?

D. {x | 2k? ? 3? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z }
8 8

2

10、已知 f ( x) ? x ? bx ? a ,且 f (0) ? 3, f (2 ? x) ? f ( x) ,则下列关系成立的是
2

A. f (bx ) ? f (a x ) C. f (bx ) ? f (a x )

B. f (bx ) ? f (a x ) D. f (b x ) 与 f (a x ) 的大小关系不确定

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11、已知 sin ? ? ? 12、若 log a
5 ,且 ? 为第四象限角,则 tan(? ? ? ) =________ 13

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是 3

13、已知 f ( x) ?

1 3 1 x ? (b ? 1) x2 ? cx ( b, c 为常数), 若 f ( x) 在 x=1 和 3 2

x=3 处取得极值, 则 b=________, c=_________. 14 . 设 函 数 y ? f ( x)是定义在R 上 的 奇 函 数 , 且 满 足 f ( x ? 2) ? ? f ( x)
对一切x ? R 都成立,又当 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? x 3 ,则下列四个命题:

①函数 y ? f ( x)是 以 4 为周期的周期函数; ②当 x ?[1,3]时, f ( x) ? (2 ? x) 3 ; ③函数 y ? f ( x) 的图象关于 x=1 对称; ④函数 y ? f ( x) 的图象关于点(2,0)对称, 其中正确的命题序号是 。

三、解答题(本大题有 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分) 已知全集 U=R,集合 A ? ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0? , B ? ?x x ? 4 ? t 2 , t ? R? , 求(1) A ? B ; (2) (CU A) ? (CU B) .

3

? 16、 (12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? ), x ? R
2

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的最大值及相应 x 的取值集合; (3)若 f (? ) ? ,求 sin 2? 的值。 17、 (14 分)设命题 p :函数 y ? lg( x2 ? 2x ? a) 的定义域是 R,命题 q :
y ? (a ? 1) x 为增函数,如果命题" p ∨ q "为真,而命题" p ∧ q "为
3 4

假,求实数 a 的取值范围. 18. (14 分)设 f ( x) ? ? ln (1)求函数的定义域;
1 x 1? x 1? x

(2)判断函数 f ( x) 的奇偶性;

(3)讨论函数 f ( x) 的单调性。 19、 (14 分)时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成 为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量 y (单位:千套)与销售价格 x (单位:元/套)满足的关系式
y? m 2 ? 4 ? x ? 6? , 其中 2 ? x ? 6 , m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时, x?2

每日可售出套题 21 千套. (1)求 m 的值; (2)假设网校的员工工资,办公等所有开销折合为每套题 2 元(只 考虑销售出的套数) ,试确定销售价格 x 的值,使网校每日销售套题 所获得的利润最大.(保留 1 位小数)

20、 (本小题满分 14 分)
4

已知函数 f ( x) ? 4x3 ? 3tx2 ? 6t 2 x ? t ?1, x ? R ,其中 t ? R . (1)当 t ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 t ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (3)证明:对任意的 t ? (0, ??), f ( x) 在区间 (0,1) 内均存在零点.

注意: (1) 选择题答案涂在答题卡上; (2) 填空题及解答题答案做在第二张答题卷上。

高三文数 8 月考参考答案及评分标准
一、选择题:DCCDD、CBDAB 二、填空题:11、 三、解答题: 15、解:集合 A= {x | x ? ?1,或x ? 3} ,(3 分) (1) A ? B ? {x | x ? ?1, 或3<x ? 4} ;(9 分) (2) (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) = {x | ?1 ? x ? 3, 或x ? 4} 。(12 分) 16、解: f ( x) ? sin x ? cos x ? 2( B= {x | x ? 4} 。(6 分)
5 2 ;12、 (0, ) ? (1, ??) ;13、-3,3;14、①②③④ 12 3

? 2 2 sin x ? cos x) = 2 sin( x ? ) 。(3 分) 4 2 2

(1) f ( x) 的最小正周期 T ? 2? ;(4 分) (2)当 sin( x ? ) =1,即 x ?
4

?

?
4

?

?
2

? 2 k? , x ?

?
4

? 2k? , k ? Z 时, f ( x ) 的最大

值为 2 ,此时 x 的取值集合为 {x | x ?

?
4

? 2k? , k ? Z } 。(8 分)

(3) f (? ) ? 即 sin ? ? cos ? ? ,两边平方得: (sin ? ? cos ? )2 ?

3 4

3 4

9 , 16

5

∴1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ?
17、解:当 p 为真时,

9 7 ,∴ sin 2? ? ? 。(12 分) 16 16

依题意有 x2 ? 2 x ? a ? 0 解集为 R,则△= (?2)2 ? 4a ? 0 ,得 a ? 1 ;(4 分) 当 q 为真时,有 a ? 1 ? 1 ,所以 a ? 2 。 (7 分)

∵命题" p ∨ q "为真,而命题" p ∧ q "为假, ∴命题 p、q 是一真一假。 (8 分) (1)若 p 真 q 假,则有 ?
?a ? 1 ,所以 1 ? a ? 2 ; (11 分) ?a ? 2

?a ? 1 (2)若 p 假 q 真,则有 ? ,所以 a ? ? ; (13 分) ?a ? 2
综上所述, a ? (1, 2] 。 (14 分) 18、解:

?x ? 0 ?x ? 0 ? ( 1 )依题意,得 ?1 ? x ,所以 f ( x ) 定义域为 (?1,0) ? (0,1) ; ?? ?0 ??1 ? x ? 1 ? ?1 ? x

(4 分) (2)根据(1) f ( x) 定义域关于原点对称, ∵ f ( ? x) ?
1 1? x 1 1 ? x ?1 1 1? x ? ln ? ? ? ln( ) ? ? ? ln ? ? f ( x) , ?x 1? x x 1? x x 1? x

∴ f ( x) 为奇函数。 (8 分) (3) f ( x) 定义域为 (?1,0) ? (0,1) ,且 f ( x) ? ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) 。 则 f ?( x) ? ?
1 1 1 1 1 1 ? ? (1 ? x)? ? ? (1 ? x)? = ? 2 ? ? 2 x 1? x 1? x x 1? x 1? x
3( x ? 3 3 )( x ? ) 3 3 。令 f ?( x)=0 ,得 x ? ? 3 。 3 x 2 (1 ? x 2 )
6

1 x

1 2 3x 2 ? 1 ?? 2 ? ? ? x 1 ? x 2 x 2 (1 ? x 2 )

当 ?1 ? x ? ?

3 3 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? 3 ? x ? 0, 或0<x< 3 时, f ?( x) ? 0 。 , 或1<x< 3 3 3 3
3 3
3 3

3 ; 减区间为 3 3 ( 所以 f ( x ) 的单调增区间为 (?1, ? 3 )、 . 14 分) ( 1, ) (? ,)、 0 (0, )

19. 解: (1)因为 x ? 4 时, y ? 21 ,
m m 2 ? 4 ? x ? 6 ? ,得 ? 16 ? 21 , 解得 m ? 10 . (4 分) x?2 2 10 2 ? 4 ? x ? 6? , (2)由(1)可知,套题每日的销售量 y ? x?2

代入关系式 y ?

所以每日销售套题所获得的利润
2? ? 10 f ( x) ? ? x ? 2 ? ? ? 4 ? x ? 6? ? ?x?2 ?

? 10 ? 4 ? x ? 6 ?

2

(8 分) ? x ? 2 ? ? 4 x3 ? 56 x 2 ? 240 x ? 278 ? 2 ? x ? 6 ? , (10 分)

从而 f ' ? x ? ? 12x2 ?112x ? 240 ? 4 ?3x ?10?? x ? 6?? 2 ? x ? 6? . 令 f ' ? x? ? 0 , 得x?

10 ? 10 ? ? 10 ? ,且在 ? 2, ? 上, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;在 ? , 6 ? 3 ? 3? ?3 ?

上, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减, 所以 x ?

(12 分)

10 是函数 f ( x) 在 ? 2, 6 ? 内的极大值点,也是最大值点, (13 分) 3 10 ? 3.3 时,函数 f ( x) 取得最大值. (14 分) 所以当 x ? 3

故当销售价格为 3.3 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 20. (Ⅰ)解:当 t ? 1 时, f ( x) ? 4x3 ? 3x2 ? 6x, f (0) ? 0, f ?( x) ? 12x2 ? 6x ? 6
f ?(0) ? ?6. 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? ?6 x. (2 分)
t (Ⅱ)解: f ?( x) ? 12x2 ? 6tx ? 6t 2 ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?t或x ? . (3 分) 2

因为 t ? 0 ,以下分两种情况讨论:
t (1)若 t ? 0, 则 ? ?t , 当x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表: 2 x t? ?t ? ? ?t, ??? ? ? ??, ? ? , ?t ? 2? ?2 ? ?

f ?( x)

+
7

-

+

f ( x)

?t ? t? (5 分) f ( x) 的单调递增区间是 ? ? ??, ? , ? ?t , ?? ? ; f ( x) 的单调递减区间是 ? 2 , ?t ? 。 2? ? ? ?
(2)若 t ? 0, 则 ? t ?
t ,当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表: 2

x

? ??, t ?
+

? t? ? ?t , ? ? 2?

?t ? ? , ?? ? ?2 ?

f ?( x) f ( x)

-

+

t? ? t ? f ( x) 的单调递增区间是 ? ??, ?t ? , ? . 7 分) ? , ?? ? ; f ( x) 的单调递减区间是 ? ?t , 2 ?( ? ? ?2 ?

? t? ?t ? (Ⅲ) 证明: 由 (Ⅱ) 可知, 当 t ? 0 时,f ( x) 在 ? 0, ? 内的单调递减, 在 ? , ?? ? ? 2? ?2 ?

内单调递增,以下分两种情况讨论: (1)当
t ? 1, 即t ? 2 时, f ( x) 在(0,1)内单调递减, 2

f (0) ? t ? 1 ? 0, f (1) ? ?6t 2 ? 4t ? 3 ? ?6 ? 4 ? 4 ? 2 ? 3 ? 0.
所以对任意 t ? [2, ??), f ( x) 在区间(0,1)内均存在零点。 (9 分) (2)当 0 ?
t ? t? ?t ? ? 1,即0 ? t ? 2 时, f ( x) 在 ? 0, ? 内单调递减,在 ? ,1? 内单调 2 ? 2? ?2 ?

7 7 ?1? 递增,若 t ? (0,1], f ? ? ? ? t 3 ? t ? 1 ? ? t 3 ? 0. 4 4 ?2?

f (1) ? ?6t 2 ? 4t ? 3 ? ?6t ? 4t ? 3 ? ?2t ? 3 ? 0.
?t ? 所以 f ( x)在 ? ,1? 内存在零点。 (11 分) ?2 ? 7 7 ?t? 若 t ? (1, 2), f ? ? ? ? t 3 ? ? t ? 1? ? ? t 3 ? 1 ? 0. f (0) ? t ? 1 ? 0 4 4 ?2? ? t? 所以 f ( x)在 ? 0, ? 内存在零点。 (13 分) ? 2?
8

所以,对任意 t ? (0, 2), f ( x) 在区间(0,1)内均存在零点。 综上,对任意 t ? (0, ??), f ( x) 在区间(0,1)内均存在(14 分)

9



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