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人教A版选修【2-1】《2.3.2双曲线的简单几何性质(1)》学案


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2.3.2 双曲线的简单几何性质(一)
【学习目标】
掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质. 【自主学习】 双曲线的简单几何性质: 1.范围、对称性 2.顶点 顶 点 : A1 (a,0), A2 ?? a,0? 特殊点: a 叫
A1 O B1 y Q B2 A2

N M x

B1 (0, b), B2 ?0,?b?


实 轴 : A1 A2 长 为 2a,

. 虚轴: B1 B2 长为 2b, b 叫

y
C' A' O 13 12


C A



(1) 渐近线

x2 y2 过双曲线 2 ? 2 ? 1 的两顶 a b
B'

x
B



A1 , A2 ,作 Y 轴的平行线 x ? ?a ,经过 B1 , B2
线 y ? ?b , 四 条 直 线 围 成 一 个 矩 形 (
王新敞
奎屯 新疆

25

作 X 轴的平行

矩形的两条对角线所在直线方程是

x y ? ? 0) ,这两条直线就是双曲线的渐近线. a b
,这样的双曲线叫做等轴双曲线.

4.等轴双曲线 结合图形说明: a=b 时,双曲线方程变成 x ? y ? a ( 或 b ) ,它的实轴和虚轴都等于
2 2 2
2

2a(2b),这时直线围成正方形,渐近线方程为 y ? ? x 轴和虚轴所成的角. 5.双曲线的草图画法: 6.离心率 概念:双曲线的焦距与实轴长的比 e ? 双曲线形状与 e 的关系: k ?

王新敞
奎屯

新疆

它们互相垂直且平分双曲线的实

,叫做双曲线的离心率. 离心率的范围:

b c2 ? a2 c2 ? ? ?1 ? e2 ?1 , 2 a a a
, 这时双曲线的形状就从 逐渐变得 .

因此 e 越大, 即渐近线的斜率的绝对值就 【典型例题】
2 2

例 1 求双曲线 9 y ? 16x ? 144 的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和 渐近线方程,并作出草图. 例 2 双曲线型自然通风塔的外形, 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面, 它的最小半 径为 12 m,上口半径为 13 m,下口半径为 25 m,高 55m.选择适当的坐标系,求出此双曲 线的方程(精确到 1m).

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【课堂检测】 1.下列方程中,以 x±2y=0 为渐近线的双曲线方程是( )

( A)

x2 y 2 ? ?1 16 4

( B)

x2 y 2 ? ?1 4 16

(C )

x2 ? y2 ? 1 2

( D) x 2 ?

y2 ?1 2

2. 下列各对曲线中,即有相同的离心率又有相同渐近线的是( ) (A)

y2 x2 x2 2 -y =1 和 =1 9 3 3
2

(B)

x x2 2 2 -y =1 和 y =1 3 3
2

2

x2 y2 2 (C)y =1 和 x =1 3 3
2 2

x x2 2 y2 (D) -y =1 和 =1 9 3 3

3.双曲线 kx +4y =4k 的离心率小于 2,则 k 的取值范围是( ) (A) (-∞,0) (B)(-3,0) (C)(-12,0) (D)(-12,1) 4.求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; (2)离心率 e ?

2 ,经过点 M(-5,3); x y2 ? ? 1 的顶点为焦点的等轴双曲线的方程. (3)求以椭圆 12 8
2

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