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求椭圆离心率的范围

圆锥曲线中(椭圆离心率)的基本范围问题 1. 已 知点 P 在 椭 圆
x2 ? y 2 ? 1 内 , F1 , F2 是 椭圆 的两 个焦 点, 求 2

PF1 ? PF2 的范围.

P F' F F'

P F

Q

PF ' ? PF ? QF ' ? PF ? PQ QF ' ? PF ? PQ ? QF ' ? QF ? 2a
故 2 ? PF1 ? PF2 ? 2 2 2.
x2 y2 已知点 P 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,F1 , F2 是椭圆的两个焦点, a b

求点 P 位于何处时 ?F1PF2 最大?(焦点三角形两个基本关系?)
PF1 ? PF2 ? 4c 2 解:设 ?F1PF2 ? ? ,在 ?F1PF2 中, cos ? ? , 2 PF1 PF2
2 2

因为 PF1 ? PF2 ? 2a ,所以 cos ? ?

4a 2 ? 2 PF1 ?PF2 ? 4c 2 2 PF1 PF2
2



? PF ? PF2 ? 2b2 2 即 cos ? ? ? 1 ,而 PF1 ? PF2 ? ? 1 ? ? a ,所以 cos ? 2 PF1 PF2 ? ?

的最小值是在 PF1 ? PF2 ? a 时取得( cos ? 在 ? 0, ? ? 上是减函数) ,即点 P 为椭圆短轴上的顶点.

1

3.

x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若在 a b

椭圆上存在点 P 使 ?F1PF2 ? 1200 ,求椭圆离心率的范围.

2b2 2b2 解法一: 解 ?F1PF2 ,由上题 cos ? ? ?1 ? 2 ?1, PF1 PF2 a
? 3 ? 1 2b2 a 2 ? 2c 2 3 , 1? 所以 cos1200 ? ? ? 2 ? 1 ? ,e ? . 故 e?? 2 ? 2 2 a a 2 ? ?

解 法 二 : 设 P ? x0 , y0 ?

,则

PF1 ? a ? e x0 , PF2 ? a ? e x0 , 则
2 2 0

PF1 PF2 ? a ? e x0 ;
2 2 2

PF1 ? PF2 ? 4c 2 在 ?F1PF2 中, cos120 ? ,即 2 PF1 PF2

3 因为 ?a ? x0 ? a , 所以 4b2 ? a 2 , a 2 ? 4c2 , ? e 4b2 ? PF1 PF2 ,

3 , 2

又0 ? e ?1

? 3 ? , 1? . 故 e?? ? 2 ? ?

4.

已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴两端点为 A 、 B ,如果椭圆上 a2 b2

存 在 点 Q , 使 ?AQB ? 120? , 求 椭 圆 离 心 率 的 范 围 。

tan ? ?

a ? b

3

? 6 ? ,1? ? 3 ? ? ?

2

5.

x2 y2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若在 a b

椭圆上存在点 P 使 PF1 ? 4 PF2 ,求椭圆离心率的范围. 解法一:设 P ? x0 , y0 ? ,则 PF1 ? a ? e x0 , PF2 ? a ? e x0 , 由 PF1 ? 4 PF2 得 x0 ?
a a 3 ?3 ? . 而 x0 ? ? a ,所以 e ? ,故 e ? ? , 1? 5e 5e 5 ?5 ?

x2 y 2 解法二:由 2 ? 2 ? 1 及 a b

? x ? c?

2

? y 2 ? 16 ?? x ? c ? ? y 2 ? ? ?
2

即 b2 x2 ? a2 y 2 ? a2b2 ? 0 及 x2 ? 2cx ? y 2 ? c2 ? 0 即 a2 x2 ? 2ca2 x ? a2 y 2 ? a2c2 ? 0 联立解得 x ? 6. 已知椭圆
a ,余同上. 5e

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与 x 轴正向交于点 A ,若这个椭圆上总 a2 b2

???? ???? ? ? 存在点 P ,使 AP ? OP ? 0 ( O 为原点) ,求离心率 e 的范围。

P A

P A

O

c

F'

O

F

???? ???? ? ? 设 P ? x, y ? , AP ? OP ? 0 , 由 得
又因为 所以

? x, y ? ? ? x ? a, y ? ? 0

, : 2 ? ax ? y 2 ? 0 . 即 x

x2 y 2 a 2 ? b2 2 x ? ax ? b 2 ? 0 , ? 2 ? 1 ,所以 2 2 a a b

?a

2

? b 2 ? x 2 ? a 3 x ? a 2b 2 ? 0

分解因式,得

3

ab 2 ab 2 ?? a 2 ? b2 ? x ? ab 2 ? ? 0 , 所以 x ? a 或 x ? 2 ? 2 ? x ? a? ? ? a ? b2 c

因为 xP ? a ,所以 b 2 ? c 2 ,即 a 2 ? 2c 2 变式:垂直关系改为 600 或 1200 7. 设双曲线

所以 1 ? e ?

2 . 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A , x 轴上 有一点 Q(2a, 0) , a 2 b2

若双曲线上存在点 P ,使 AP ? PQ ,则双 曲线的离心率的取值范围是
? 6? ?1 , ? ? 2 ? ? ?

解 : 以 AQ 为 直 径 的 圆 与 双 曲 线 还 有 除 A 外 的 公 共 点 , 联 立
x2 y 2 a? a2 ? 、 2 ? 2 ? 1 ,联立解得 x ? ? ? y2 ? ? a b 2? 4 ?
2

?a

2

? b 2 ? x 2 ? 3a 2 x ? 2a 4 ? a 2b 2 ? 0 此方程一根为 a (对应点 A 的横坐标) ,

由韦达定理另一根为 x ?

2a 3 ? ab 2 ? a ,所以 a 2 ? 2b 2 ? 2 ? c 2 ? a 2 ? 2 2 a ?b

8.

已知点 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 E 是该双曲 a2 b2

线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若
?ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是(



A.(1,+∞)

B. (1, 2) ;

C. (1, 1 ? 2 )

D. (2, 1 ? 2 )

4

解:因为△ABE 是等腰三角形,故只要

?F1EA ? 450 即可. 所以 AF1 ? F1E ,

b2 ? a ? c ,得 1 ? e ? 2 a

另解: 因为 e ? 1 , 考察结论考虑取 e ? 2 时△ABE 的形状,再根据 e 的变化与双 曲线的形状间的关联做出选择.

9.

设点 P ? x, y ? 是双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与圆 x2 ? y 2 ? a2 ? b2 在 2 a b

第一象限的交点, F1 , F2 是双曲线的左、右焦点,且 PF1 ? 3 PF2 , 则双曲线的离心率为
10 2

x2 y 2 10. 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) ,作圆 a b x2 ? y 2 ? a2 的切线,切点为 E,延长 FE 交曲线右支于点 P,若 4

??? 1 ??? ??? ? ? ? OE ? OF ? OP ,则双曲线的离心率为 2

?

?

10 ; 2

PF2 ? PF1 ? 2a , PF2 ? 3a

5



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