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高二数学湘教版选修1-1同步练习:3.4 生活中的优化问题举例 含解析

1.甲工厂八年来某产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示,现 有四种说法: ①前三年该产品产量的增长速度越来越快; ②前三年该产品产量的增长速度越来越慢; ③第三年后该产品停止生产; ④第三年后该产品的产量保持不变. 其中说法正确的有( ). A.①④ B.②④ C.①③ D.②③ 2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则其高为 ( ). 20 3 3 20 cm 3 A. cm B.100 cm C.20 cm D. 3.设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边 长为( 3 ). 3 3 3 A. V B. 2V C. 4V D.2 V 4.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成 本增加 100 元,已知总收益 R 与年产量 x 的关系是 R(x)= 1 ? ?400x- x2,0≤x≤400, 2 ? ? ?80 000,x>400, 则总利润最大时,每年生产的产量是( ). A.100 B.150 C.200 D.300 5.用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的 底面一边比另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?此时的高和它的 最大容积分别是( A.1.2 m,1.8 m3 m,2.1 m3 6.某厂生产某种商品 x 单位的利润是 L(x)=500+x-0.001x2,生产 __________单位这种商品时利润最大,最大利润是__________. 7.做一个无盖的圆柱形水桶,若要求体积是 27π,且用料最省,则圆柱的 底面半径为__________. 8.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小 时 10 海里时, 燃料费是每小时 6 元, 而其他与速度无关的费用是每小时 96 元, 问:轮船的速度是多少时,航行 1 海里所需的费用总和最小?此时的速度为 __________,般行 1 海里所需的费用总和为__________. ). B.1.1 m,1.8 m3 C.1.8 m,1.2 m3 D.1.2 参考答案 1.B 2.A r 如图,设底面半径为 r,高为 h,则有 h =sin θ, =cos θ, 20 20 ∴V(θ)=πr2· h=8 000πsin2θcos θ. ∴V′(θ)=16 000πsin θcos2θ-8 000πsin3θ. 令 V′(θ)=0,解得 tan θ= 3 3 20 3 3 2,得唯一极值点. ∴cos θ= .∴h = . 3 4 3V x2+ (x>0), 2 x 3.C 设底面边长为 x,则表面积 S= 3 (x3-4V). 2 3 所以 S′= x 令 S′=0,得唯一极值点 x= 4V. 4.D 设总利润为 y,则 y=f(x)= 1 ? ?- x2+300x-20 000,0≤x≤400, ? 2 ? ?60 000-100x,x>400. 当 x∈(400,+∞)时,f′(x)=-100≠0,此时 y 无最值. 当 x∈[0,400]时,f′(x)=-x+300. 令 f′(x)=0,得 x=300. 由 f′(x)在 x=300 处由正变负, 故 y 在 x=300 处有唯一极值点. 又 f(0)<0,f(400)<0,∴f(300)为最大值. 5.A 设容器底面短边长为 x m,则另一边长为(x+0.5) m,高为 14.8-4x-4(x+0.5) =3.2-2x. 4 由 3.2-2x>0 和 x>0,得 0<x<1.6. 设容器的容积为 y m3,则有 y=f(x)=x(0.5+x)· (3.2-2x)=-2x3+2.2x2+ 1.6x(0<x<1.6). ∴f′(x)=-6x2+4.4x+1.6. 令 f′(x)=0,有-6x2+4.4x+1.6=0, 解得 x1=1,x2=- (不合题意,舍去). 15 4 当 x=1 时,y 取最大值,y 最大=-2+2.2+1.6=1.8(m3),这时高为 3.2- 2×1=1.2(m). ∴当高为 1.2 m 时容器的容积最大为 1.8 m3. 6. 500 750 L′(x)=1-0.002x.令 L′(x)=0, 得 x=500, 此时 L(500)=750. 由已知,L(x)在其定义域[0,+∞)上只有一个极值点,所以生产 500 单位这 种商品时利润最大,最大利润为 750. 7.3 设底面半径为 R,母线长为 l, 则 V=πR2l=27π. ∴l= 27 .要使用料最省,只需使圆柱的表面积最小. R2 27 , R ∴S 表=πR2+2πRl=πR2+2π· ∴由 S 表′=2πR- S 表最小. 54π =0,得 R=3.因为 S 表有唯一极值点,故当 R=3 时, R2 8. 20 海里/小时 4.92 元 设速度为每小时 v 海里时燃料费是每小时 p 元, 那么由题设的比例关系,得 p=k· v3,其中 k 为比例常数,它可以由 v=10,p =6 求得,即 k= =0.006.于是有 p=0.006v3. 103 6 又设当船的速度为每小时 v 海里时,航行 1 海里所需的总费用为 q 元,那 1 么因每小时所需的总费用是 0.006v3+96(元),而航行 1 海里所需时间为 小时, v 所以航行 1 海里的总费用 1 96 q= (0.006v3+96)=0.006v2+ . v v 96 0.012 所以 q′=0.012v- 2 = 2 (v3-8 000). v v 令 q′=0,解得 v=20. 又当 v<20 时,q′<0;当 v>20 时,q′>0, 所以当 v=20 时 q 取得最小值, 即当速度为 20 海里/小时时, 航行 1 海里所需费用的总和最小, qmin=0.006×20


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