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高二数学湘教版选修1-1同步练习:3.4 生活中的优化问题举例 含解析


1.甲工厂八年来某产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示,现 有四种说法: ①前三年该产品产量的增长速度越来越快; ②前三年该产品产量的增长速度越来越慢; ③第三年后该产品停止生产; ④第三年后该产品的产量保持不变. 其中说法正确的有( ). A.①④ B.②④ C.①③ D.②③ 2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则其高为 ( ). 20 3 3 20 cm 3 A. cm B.100 cm C.20 cm D. 3.设底为等边三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边 长为( 3 ). 3 3 3 A. V B. 2V C. 4V D.2 V 4.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成 本增加 100 元,已知总收益 R 与年产量 x 的关系是 R(x)= 1 ? ?400x- x2,0≤x≤400, 2 ? ? ?80 000,x>400, 则总利润最大时,每年生产的产量是( ). A.100 B.150 C.200 D.300 5.用总长 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的 底面一边比另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?此时的高和它的 最大容积分别是( A.1.2 m,1.8 m3 m,2.1 m3 6.某厂生产某种商品 x 单位的利润是 L(x)=500+x-0.001x2,生产 __________单位这种商品时利润最大,最大利润是__________. 7.做一个无盖的圆柱形水桶,若要求体积是 27π,且用料最省,则圆柱的 底面半径为__________. 8.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小 时 10 海里时, 燃料费是每小时 6 元, 而其他与速度无关的费用是每小时 96 元, 问:轮船的速度是多少时,航行 1 海里所需的费用总和最小?此时的速度为 __________,般行 1 海里所需的费用总和为__________. ). B.1.1 m,1.8 m3 C.1.8 m,1.2 m3 D.1.2 参考答案 1.B 2.A r 如图,设底面半径为 r,高为 h,则有 h =sin θ, =cos θ, 20 20 ∴V(θ)=πr2· h=8 000πsin2θcos θ. ∴V′(θ)=16 000πsin θcos2θ-8 000πsin3θ. 令 V′(θ)=0,解得 tan θ= 3 3 20 3 3 2,得唯一极值点. ∴cos θ= .∴h = . 3 4 3V x2+ (x>0), 2 x 3.C 设底面边长为 x,则表面积 S= 3 (x3-4V). 2 3 所以 S′= x 令 S′=0,得唯一极值点 x= 4V. 4.D 设总利润为 y,则 y=f(x)= 1 ? ?- x2+300x-20 000,0≤x≤400, ? 2 ? ?60 000-100x,x>400. 当 x∈(400,+∞)时,f′(x)=-100≠0,此时 y 无最值. 当 x∈[0,400]时,f′(x)=-x+300. 令 f′(x)=0,得 x=300. 由 f′(x)在 x=300 处由正变负, 故 y 在 x=300 处有唯一极值点. 又 f(0)<0,f(400)<0,∴f(300)为最大值. 5.A 设容器底面短边长为 x m,则另一边长为(x+0.5) m,高为 14.8-4


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