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2013年全国高等学校招生统一考试理科数学试题(一)


2013 年全国高等学校招生统一考试理科数学试题(一) 2013 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、 选择题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项。 1、已知集合 A={x|x -2x>0} ,B={x|- 5<x< 5},则 A、A∩B=? B、A∪B=R C、B?A D、A?B 2、若复数 z 满足 (3-4i)z=|4+3i |,则 z 的虚部为 A、-4 4 (B)- 5 (C)4 4 (D) 5
2

(

) ( )

3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生 视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 4、已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 1 A、y=± x 4 1 (B)y=± x 3

x2 y2 a b

5 ,则 C 的渐近线方程为 2 (D)y=±x ( )

(

)

1 (C)y=± x 2

5、执行右面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于 A、[-3,4] B、[-5,2] C、[-4,3] D、[-2,5]

开始 输入 t 是 t<1 否

s=3t

s = 4t-t2

输出 s 结束 6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口, 再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球 的体积为 ( ) 500π 3 A、 cm 3 866π 3 B、 cm 3 1372π 3 C、 cm 3 2048π 3 D、 cm 3

7、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m= ( A、3 B、4 C、5 D、6 8、某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为( ) A、18+8π B、8+8π C、16+16π D、8+16π

)

2 2 4 2 4 主视图 侧视图

4

4 2

俯视图 2m 2m+1 9、设 m 为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y) 展开式的二项式 系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m= ( ) A、5 B、6 C、7 D、8 10、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为 A、 + =1 45 36 11、已知函数 f(x)=? A、 (-∞,0] ( )

x2 y2 a b

x

2

y

2

B、 + =1 36 27
?-x +2x ? ? ?ln(x+1)
2

x

2

y

2

C、 + =1 27 18

x

2

y2

D、 + =1 18 9

x2

y2

x≤0 x>0

,若| f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( ) C、[-2,1] D、[-2,0]

B、 (-∞,1]

12、设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,? 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=

cn+an
2

,cn+1=

bn+an
2

,则(

)

A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13、已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b,若b?c=0,则t=_____. 2 1 14、若数列{an}的前 n 项和为 Sn= an+ ,则数列{an}的通项公式是 an=______. 3 3 15、设当x=θ 时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ =______ 2 2 16、 若函数f(x)=(1-x )(x +ax+b)的图像关于直线x=-2对称, 则f(x)的最大值是______. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、(本小题满分12分)

如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA C

P A B

18、 (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。 C C1

B A

B1

A1

19、 (本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件 产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质 品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品, 则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是 否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品 作质量检验所需的费用记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。 (20)(本小题满分 12 分) 2 2 2 2 已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长 时,求|AB|. (21)(本小题满分共 12 分) 已知函数 f(x)=x +ax+b,g(x)=e (cx+d),若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0, 2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2
2

x

(Ⅰ)求 a,b,c,d 的值 (Ⅱ)若 x≥-2 时,f(x)≤kgf(x),求 k 的取值范围。 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框 涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点 为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 D。

(Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径。 (23) (本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为?
? ?x=4+5cost ?y=5+5sint ?

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sinθ 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集;

a 1 (Ⅱ)设 a>-1,且当 x∈[- , )时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. 2 2

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷) 数学(理科)
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自己的姓名 \ 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、 选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的。 2 (1)已知集合 M={x|(x-1) < 4,x∈R} ,N={-1,0,1,2,3} ,则 M∩N=( ) (A) {0,1,2} (B) {-1,0,1,2} (C){-1,0,2,3} (D){0,1,2,3} (2)设复数 z 满足(1-i)z=2 i,则 z= ( ) (A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i (3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则 a1=( ) (A)

1 3

(B) ?

1 3

(C)

1 9

(D) ?

1 9

l ? ?,l ? ? , (4) 已知 m, n 为异面直线, m⊥平面 α , n⊥平面 β 。 直线 l 满足 l⊥m, l⊥n,
则( ) (A)α ∥β 且 l∥α (B)α ⊥β 且 l⊥β (C)α 与 β 相交,且交线垂直于 l (D)α 与 β 相交,且交线平行于 l 5 2 (5)已知(1+ɑx)(1+x) 的展开式中 x 的系数为 5,则 ɑ=( ) (A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1 (6)执行右面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S=

1 1 1 ? ?? ? 2 3 10 1 1 1 (C) 1 ? ? ? ? ? 2 3 11
(A) 1 ?

1 1 1 ? ?? ? 2! 3! 10! 1 1 1 (D) 1 ? ? ? ? ? 2! 3! 11!
(B) 1 ?

(7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分 别是(1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) , (0,0,0) ,画该四 面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视 图可以为

(C) (D) (8)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 (A)c>b>a (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c

(A)

(B)

? x ?1 ? (9)已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? y ? a ? x ? 3? ? 1 1 (A) (B) (C)1 4 2
3 2

,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=

(D)2

(10)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,下列结论中错误的是 (A) ? xα ∈R,f(xα )=0 (B)函数 y=f(x)的图像是中心对称图形

(C)若 xα 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,xα )单调递减 (D)若 x0 是 f(x)的极值点,则 f ' ? x0 ? ? 0 (11) 设抛物线 y =3px(p>0)的焦点为 F, 点 M 在 C 上, |MF|=5, 若以 MF 为直径的圆过点 ( 0, 2) ,则 C 的方程为 2 2 (A)y =4x 或 y =8x (B)y2=2x 或 y2=8x 2 2 2 2 (C)y =4x 或 y =16x (D)y =2x 或 y =16x (12)已知点 A(-1,0) ;B(1,0) ;C(0,1) ,直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相 等的两部分,则 b 的取值范围是 (A) (0,1)(B) ? 1 ?
2

? ? ?

? 2 1? 2 1? ?1 1 ? , ? , ( C) ? 1 ? (D) ? , ? ? ? 2 2? 2 3? ?3 2 ? ? ?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考 生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 =_______.

(14)从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概 率为

1 ,则 n=________. 14

(15)设 θ 为第二象限角,若 tan ? ? ?

? ?

??

1 ?? 4? 2

,则 sin ? ? cos ? =_________.

(16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,已知 S10=0,S15 =25,则 nSn 的最小值为________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) △ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB。 A1 (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积的最大值。 (18)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点, AA1=AC=CB= B1

C1

2 AB。 2
E

(Ⅰ)证明:BC1//平面 A1CD1 (Ⅱ)求二面角 D-A1C-E 的正弦值 (19)(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售 出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频 A D

C

B

率分布直方图,如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品。以 x(单位:

t,100≤x≤150)表示市场需求量。T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的
利润。

(Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数 (Ⅱ)根据直方图估计利润 T,不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值, 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x ??100,110? )则 取 x=105,且 x=105 的概率等于需求量落入 ?100,110? 的利润 T 的数学期望。 (20)(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)右焦点的直线 x+ya 2 b2
1 2

=0 交 M 于 A,

B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

(Ι )求 M 的方程 (Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值 (21) (本小题满分 12 分) x 已知函数 f(x)=e -ln(x+m) (Ι )设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明 f(x)>0 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请 写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 C 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC?AE=DC?AF,B、E、F、C 四点共圆。 F (1) 证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2) 若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆 D 的面积与△ABC 外接圆面积的比值。 B E (23) (本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程

A

已知动点 P,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2cos ? ? y ? 2sin ?

? ? 为参数?

上,对应参数分别为 β =α

与α =2π 为(0<α <2π )M 为 PQ 的中点。 (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程 (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。 (24) (本小题满分 10 分)选修 4——5;不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ?

1 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ?1 b c a

2013 年普通高等学校统一考试试题学科网大纲全国理科
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
5} , 1. ( 2013 学 科 网 大 纲 全 国 , 理 1 ) 设 集 合 A={1,2,3} , B={4, M ={x|x=a+b,a ? A,b ? B},则 M 中元素的个数为(
A.3 B.4 C.5 D.6 ) )

2. (2013 学科网大纲全国,理 2) (1 ? 3i)3 =( A.-8 B.8 C. ? 8i D. 8i

3. ( 2013 学 科 网 大 纲 全 国 , 理 3 ) 已 知 向 量 m ? (? ? 1,1) , n ? (? ? 2,2) , 若

??

?

?? ? ?? ? (m ? n) ? (m ? n,则 ) ? =(
A.-4 B.-3 C.-2

) D.-1

4. (2013 学科网大纲全国,理 4)已知函数 f(x)的定义域为 (?1, 0) ,则函数 f (2 x ? 1) 的 定义域( A. (?1,1) ) B. ( ?1, ? )

1 2

C. (?1, 0)

D. ( ,1)

1 2

?1 5. (2013 学科网大纲全国,理 5)函数 f ( x) ? log 2 (1 ? ) (x>0)的反函数 f ( x) =(

1 x



A.

1 ( x ? 0) 2 ?1
x

B.

1 ( x ? 0) 2 ?1
x

C. 2 ? 1( x ? R)
x

D. 2 ? 1( x ? 0)
x

6. (2013 学科网大纲全国,理 6)已知数列 {an } 满足 3an?1 ? an ? 0 ,a2 ? ?

4 ,则 {an } 的 3

前 10 项和等于( A. ?6(1 ? 3?10 )

) B. (1 ? 3 )
10

1 9

C. 3(1 ? 3?10 )

D. 3(1 ? 3?10 ) )

7. (2013 学科网大纲全国,理 7) (1 ? x)8 (1 ? y)4 的展开式中 x 2 y 2 的系数是( A.56 B.84 C.112 D.168

8. (2013 学科网大纲全国,理 8)椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 的左右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 在 4 3


C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是 [?2, ?1] ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A. [ , ]

1 3 2 4

B. [ , ]

3 3 8 4

C. [ ,1]

1 2

D. [ ,1]
2

3 4

9. (2013 学科网大纲全国,理 9)若函数 f ( x) ? x ? ax ? 的取值范围是( A. [?1, 0] ) C. [0,3] D. [3, ??)

1 1 在 ( , ??) 是增函数,则 a x 2

B. [?1, ??)

10. (2013 学科网大纲全国,理 10)已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB , 则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( )

A.

2 3

B.

3 3

C.
2

2 3

D.

1 3

11.已知抛物线 C: y ? 8x 与点 M(-2,2) ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B 两 点,若 MA ? MB ? 0 ,则 k=(

???? ????
2 2



A.

1 2

B.

C. 2

D.2

12. (2013 学科网大纲全国,理 12)已知函数 f ( x) ? cos x sin 2 x ,下列结论中错误的是 ( ) B. y ? f ( x) 的图像关于直线 x ?

A. y ? f ( x) 的图像关于点 (? ,0) 中心对称

?
2

对称

C. f ( x ) 的最大值为

3 2

D. f ( x ) 既是奇函数,又是周期函数

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.已知 ? 是第三象限角, sin ? ? ?

1 ,则 cot ? ? 3
种.(用数字作答)

14. 6 个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有

? x?0 ? 15.记不等式组 ? x ? 3 y ? 4 ,所表示的平面区域为 D.若直线 y ? a( x ? 1) 与 ?3 x ? y ? 4 ?
D 有公共点,则 a 的取值范围是 16.已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, OK ? 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60 ,则球 O 的表面积等于
0

3 ,且圆 O 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (2013 学科网大纲全国,理 17) (本小题满分 10 分)
2 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .已知 S3 ? a2 , 且 S1 , S 求 {an } 的通项公式. 2 ,4S 成等比数列,

18. (2013 学科网大纲全国,理 18) (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac . (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C. 4

19. (2013 学科网大纲全国,理 19) (本小题满分 12 分)
0 如图,四棱锥 P-ABCD 中,?ABC ? ?BAD ? 90 , BC ? 2 AD ,?PAB 和

?PAD 都是等边三角形.
(Ⅰ)证明: PB ? CD ; (Ⅱ)求二面角 A-PD-C 的大小. 20. (2013 学科网大纲全国,理 20) (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时, 负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 1 局甲当裁判. (Ⅰ)求第 4 局甲当裁判的概率; (Ⅱ)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望. 21. (2013 学科网大纲全国,理 21) (本小题满分 12 分)

1 ,各局比赛的结束相互独立,第 2

已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,离心率为 3,直线 a 2 b2

y=2 与 C 的两个交点间的距离为 6 . (Ⅰ)求 a,b; (Ⅱ) 设过 F2 的直线 l 与 C 的左、 右两支分别交于 A、 B 两点, 且 | AF1 |?| BF1 | , 证明: | AF2 | 、

| AB | 、 | BF2 | 成等比数列.
22. (2013 学科网大纲全国,理 22) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

x(1 ? ? x) . 1? x

(Ⅰ)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 ? 的最小值; (Ⅱ)设数列 {an } 的通项 an ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ? ,证明: a2 n ? an ? ? ln 2 . 2 3 n 4n

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理) (北京卷)
第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分,共 40 分。在每个小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。 1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B= ( ) A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 2 2.在复平面内,复数(2-i) 对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.“φ =π ”是“曲线 y=sin(2x+φ )过坐标原点”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.1

2 3 13 C. 21 610 D. 987
B. 5.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)= A. e
x ?1

B. e

x ?1

C. e

? x ?1

D. e

? x ?1

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 6.若双曲线 a 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为
A.y=±2x B.y= ? 2 x

1 y?? x 2 C.
2

y??
D.

2 x 2

7.直线 l 过抛物线 C:x =4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于

4 A. 3

B.2

8 C. 3

16 2 D. 3
? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? ? x ? m ? 0, ?y ? m ? 0 ?

8.设关于 x,y 的不等式组

表示的平面区域内存在点

P(x0,y0)满足 x0-2y0=2.求得 m 的取值范围是

A.

B. ? ??, ?

? ?

1? 3?
5? 3?

C. ? ??, ?

? ?

2? ? 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在极坐标系中,点(2,

? )到直线 ρ sinθ =2 的距离等于 6

10.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q= ;前 n 项和 Sn= . 11.如图,AB 为圆 O 的直径,PA 为圆 O 的切线,PB 与圆 O 相交于 D,若 PA=3,PD:DB=9:16, 则 PD= ,AB= . 12.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少一张,如果分给同 一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 13. 向量 a , b , c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λ a + μ b(λ , μ ∈ R) ,则

? = ?

.

14.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 .

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. (I)求 cosA 的值, (II)求 c 的值 16.( 本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量 优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的 某一天到达该市,并停留 2 天

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率 (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望。 (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 17. (本小题共 14 分) 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AA1C1C 是边长为 4 的正方形, 平面 ABC⊥平面 AA1C1C, AB=3, BC=5. (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求

BD 的值. BC1

18. (本小题共 13 分) 设 L 为曲线 C: y ?

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(I)求 L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方 19. (本小题共 14 分) 已知 A、B、C 是椭圆 W:

x2 ? y 2 ? 1上的三个点,O 是坐标原点. 4

(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积. (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 20. (本小题共 13 分) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An,第 n 项之后各 项 an ?1 , an?2 ?的最小值记为 Bn,dn=An-Bn (I)若{an}为 2, 1, 4, 3, 2, 1, 4, 3?, 是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N ,an? 4 ? an ),
*

写出 d1,d2,d3,d4 的值; (II)设 d 为非负整数, 证明: dn=-d(n=1,2,3?)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数 列; (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3?),则{an}的项只能是 1 或 2,且有无穷多项为 1

2013 年 上海 高考理科数学
一、填空题 1.计算: lim

n ? 20 ? ______ n ?? 3n ? 13
2 2

2.设 m ? R , m ? m ? 2 ? (m ? 1)i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ? ________ 3.若

x2 ?1

y2 1

?

x

x

y ?y

,则 x ? y ? ______

4.已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、c,若 3a ? 2ab ? 3b ? 3c ? 0 ,则
2 2 2

角 C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示) 5.设常数 a ? R ,若 ? x 2 ?

? ?

a? 7 ? 的二项展开式中 x 项的系数为 ?10 ,则 a ? ______ . x?

5

6.方程

3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为________ 3 ?1 3
x

7.在极坐标系中,曲线 ? ? cos ? ? 1与 ? cos ? ? 1的公共点到极点的距离为_________. 8.盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中任意取出两个,则这两 个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示) 9.设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? 个焦点之间的距离为________ 10 . 设 非 零 常 数 d 是 等 差 数 列 x1 , x2 , x3 ,?, x19 的 公 差 , 随 机 变 量 ? 等 可 能 地 取 值 ,则方差 D? ? _______ x1 , x2 , x3 , ? , x1 9 11.若 cos x cos y ? sin x sin y ?

?
4

,若 AB=4, BC ? 2 ,则 ? 的两

1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? ,则 sin( x ? y) ? ________ . 2 3

12.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 若 f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________ 13.在 xOy 平面上,将两个半圆弧 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1( x ? 1) 和

a2 ?7 , x

( x ? 3)2 ? y 2 ? 1( x ? 3) 、两条直线 y ? 1 和 y ? ?1 围成的封
闭图形记为 D,如图中阴影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成 的几何体为 ? ,过 (0, y )(| y |? 1) 作 ? 的水平截面,所得截
2 面面积为 4? 1 ? y ? 8? ,试利用祖暅原理、一个平放的圆

柱和一个长方体,得出 ? 的体积值为__________

{ y| y ? g (x), x ? I} 14. 对区间 I 上有定义的函数 g ( x) ,记 g (I ) ?

,已知定义域为 [0,3] 的

?1 ?1 ?1 函 数 y ? f ( x) 有 反 函 数 y ? f ( x) , 且 f ([0,1)) ? [1, 2), f ((2, 4]) ? [0,1) , 若 方 程

f ( x) ? x ? 0 有解 x0 ,则 x0 ? _____
二、选择题 15.设常数 a ? R ,集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? a) ? 0}, B ? {x | x ? a ?1} ,若 A ? B ? R ,则

a 的取值范围为(
(A) (??, 2)

) (B) (??, 2] (C) (2, ??) (D) [2, ??)

16.钱大姐常说“便宜没好货” ,她这句话的意思是: “不便宜”是“好货”的() (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件

17 .在数列 {an } 中, an ? 2n ? 1 ,若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 (i ? ,2 ,1 ; 7 , ,2 ,1 2 ? , ai, j ? ai ? a j ? ai ? a j ,

j?

?

)则该矩阵元素能取到的不同数值的个

数为( ) (A)18 (B)28 (C)48 (D)63 18.在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为

?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? a1, a2 , a3 , a4 , a5 ;以 D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 d1, d2 , d3 , d4 , d5 .若 m, M 分
别 为

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 最 小 值 、 最 大 值 , 其 中 (ai ? a j ? ) ak ? ( dr ? d的 s ? ) dt
). (D) m ? 0, M ? 0

{i, j, k} ? {1, 2,3, 4,5} , {r, s, t} ? {1, 2,3, 4,5} ,则 m, M 满足(
(A) m ? 0, M ? 0 三、解答题 19. (本题满分 12 分)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线 BC1 平行于平面 DA1C,并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离. 20. (6 分+8 分) 甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品 ( 生 产 条 件 要 求 1 ? x ? 10 ) ,每小时可获得利润是 (B) m ? 0, M ? 0 (C) m ? 0, M ? 0

D A D1 B

C C1 B1

3 100(5 x ? 1 ? ) 元. x

A1

(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大 利润. 21. (6 分+8 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ; (1)若 y ? f ( x) 在 [ ?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函 6

数 y ? g ( x) 的图像,区间 [ a, b ] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的 [ a, b] 中,求 b ? a 的最小值.

22 . ( 3 分 +5 分 +8 分 ) 如 图 , 已 知 曲 线 C1 :

x2 ? y2 ? 1 , 曲 线 2

C2 :| y |?| x | ?1,P 是平面上一点,若存在过点 P 的直线与 C1 , C2 都有公
共点,则称 P 为“C1—C2 型点” .

(1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条 这样的直线的方程(不要求验证) ; (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“C1—C2 型点” ; (3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“C1—C2 型点” . 2

23 . (3

分 +6 分 +9 分)给定常数 c ? 0 ,定义函数 f ( x) ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c | ,数列

a1 , a2 , a3 ,?满足 an?1 ? f (an ), n ? N * .
(1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a2 及 a3 ; (2)求证:对任意 n ? N * , an?1 ? an ? c , ; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 ,?an ,? 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ,若不存 在,说明理由.

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用 条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将 本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项: 1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用 橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式: ? 如 果 事 件 A, B 互 斥 , 那 么 P( A ? B) ? P( A? ) P B( ) ?棱柱的体积公式 V=Sh, 其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱 柱的高. ?如果事件 A, B 相互独立, 那么 P( AB) ? P( A) P( B)
4 ?球的体积公式 V ? ? R3 . 3

其中 R 表示球的半径.

一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 A ? B ? (A) (??, 2] (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1]
?3 x ? y ? 6 ? 0, ? (2) 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z = y-2x 的最小值为 ? y ? 3 ? 0, ?

(A) -7 (B) -4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 x 的值为 1, 则输 出 S 的值为 (A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的
1 1 , 则其体积缩小到原来的 ; 2 8 1 相切. 2

②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线 x + y + 1 = 0 与圆 x2 ? y 2 ? 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (C) ②③ (5) 已知双曲线

(B) ①② (D) ②③

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别 a 2 b2

交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p = (A) 1 (B)
3 2

(C) 2

(D) 3

(6) 在△ABC 中, ?ABC ? (A)
10 10

?
4

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC =
10 5

(B)

(C)

3 10 10

(D)

5 5

(7) 函数 f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (8) 已知函 数 f ( x) ? x(1 ? a | x |) . 设关 于 x 的 不等式 f ( x ? a) ? f ( x) 的解集 为 A, 若
? 1 1? ? ? 2 , 2 ? ? A , 则实数 a 的取值范围是 ? ?

?1? 5 ? (A) ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ?1? 5 ? ? 1? 3 ? (C) ? ? 2 ,0 ? ??? ? 0, 2 ? ? ? ? ? ?

?1? 3 ? (B) ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ? 1? 5 ? (D) ? ? ? ??, 2 ? ? ?

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理 科 数 学 第Ⅱ卷
注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分. 二.填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. (9) 已知 a, b∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi =
1 ? ? (10) ? x ? ? x? ?
6

.

的二项展开式中的常数项为

.

? ?? (11) 已知圆的极坐标方程为 ? ? 4 cos? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4, ? , 则 |CP| ? 3? = .

(12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. ???? ??? ? BE ? 1 , 则 AB 的长为 若 AD· . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且 BD//AC. 过 点 A 做圆的切线与 DB 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F. 若 AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段 CF 的长为 . 1 |a| ? (14) 设 a + b = 2, b>0, 则当 a = 时, 取得最 2| a| b 小值. 三.解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??

2 ? ? 6sin x cos x ? 2cos x ? 1, x ? R . 4?

(Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2? (16) (本小题满分 13 分) 一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别 为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号分别为 2, 3, 4. 从盒 子中任取 4 张卡片 ( 假设取到任何一张卡片的可能性相 同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期望. (17) (本小题满分 13 分)

如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ) 证明 B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角 B1-CE-C1 的正弦值. (Ⅲ) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 (18) (本小题满分 13 分)
3 x2 y 2 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 2 3 a b 4 3 圆截得的线段长为 . 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 2 , 求线段 AM 的长. 6

设椭圆

???? ??? ? ???? ??? ? AC· DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值.

(19) (本小题满分 14 分) 已知首项为
3 的等比数列 {an } 不是递减数列, 其前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 S3 + a3, S5 + a5, 2

S4 + a4 成等差数列.
(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ?
1 (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn

(20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e 2 时, 有

2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题卷(理工农医类)
特别提醒:zhangwlx (14) 、 (15) 、 (16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.zhangwlx 1、已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A={1,2} , B ={2,3} ,则 ? U ( A ? B) ? (A) {1,3, 4} (B) {3, 4} (C) {3} (D) {4}

2、命题“对任意 x ? R ,都有 x 2 ? 0 ”的否定为 (A)对任意 x ? R ,使得 x 2 ? 0
2 (C)存在 x0 ? R ,都有 x0 ?0

(B)不存在 x ? R ,使得 x 2 ? 0
2 (D)存在 x0 ? R ,都有 x0 ?0

3、

(3 ? a)(a ? 6) ( ?6 ? a ? 3 )的最大值为
(A)9 (B)

9 2

(C)3

(D)

3 2 2

4、以下茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分). 甲组 乙组 9 0 9 y x 2 1 5 8 7 4 2 4 已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x 、 y 的值分别为 (A)2、5 (B)5、5 (C)5,8 (D)8,8zhangwlx 5、某几何体的三视图如题(5)图所示,则该几何体的体积为

560 3 580 (B) 3
(A) (C)200 (D)240 6 、若 a ? b ? c ,则函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? c)( x ? a) 两个零点分 别位于区间 (A) ( a, b) 和 (b, c ) 内 (C) (b, c ) 和 (c, ??) 内
2 2

(B) (??, a) 和 ( a, b) 内 (D) (??, a) 和 (c, ??) 内
2 2

开始
k ? 2, S ? 1

7、已知圆 C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 ,圆 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 9 , M 、 N 分 别是圆 C1 、 C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为 (A) 5 2 ? 4 (B) 17 ?1 (C) 6 ? 2 2 (D) 17

S ? S ? logk (k ? 1)

k ? k ?1

是 否 输出 S 结束

8、执行如题(8)图所示的程序框图,如果输出 s ? 3 ,那么判断框内应填入的条件 是 (A) k ? 6 (B) k ? 7 (C) k ? 8 (D) k ? 9 9、 4cos50 ? tan 40 ? zhangwlx
0 0

2? 3 (C) 3 (D) 2 2 ?1 2 ???? ???? ? ???? ???? ??? ? ???? ???? ? ? ??? ? ??? ? 1 10、在平面上, AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 .若 OP ? ,则 OA 2
(A) 2 (B) 的取值范围是 (A)(0,

5 ] 2

(B)(

5 7 , ] 2 2

(C)(

5 , 2] 2

(D)(

7 , 2] 2

二.填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答 题卡相应位置上. 11、已知复数 z ?

5i ( i 是虚数单位) ,则 z ? 1 ? 2i

.zhangwlx

12、已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , Sn 为其前 n 项和,若 a1 、 a2 、 a5 称等比 数列,则 S8 ? .

13、从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨 科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 (用数字作答) . 考生注意: (14) 、 (15) 、 (16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若 三题全做,则按前两题给分. 14、如题(14)图,在△ ABC 中, ?C ? 900 , ?A ? 600 , AB ? 20 , 过 C 作△ ABC 的外接圆的切线 CD , BD ⊥ CD , BD 与外接圆交于点 E ,则 DE 的长为 .zhangwlx 15、在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系.若极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线 ? 点,则 AB ? 16 、 若 关 于 实 数 .

?x ? t2 ?y ? t
3

( t 为参数)相交于 A 、 B 两

x 的 不 等 式 x ?5 ? x ?3 ? a 无 解 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

是 .zhangwlx 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 设 f ( x) ? a( x ? 5) ? 6ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线
2

与 y 轴相较于点(0,6) . (Ⅰ)确定 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.

18、 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球 与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个篮球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球,根据摸出 4 个球中红球与篮球的个数,设一、二、三等奖如下:zhangwlx 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红、蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 获奖金额 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (Ⅰ)求一次摸球恰好摸到 1 个红球的概率; (Ⅱ)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望

E( X ) .
19、 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 如题( 19 )图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD ,

BC ? CD ? 2 ,AC ? 4 ,?ACB ? ?ACD ?

?
3

,F 为 PC 的

中点, AF ⊥ PB . (Ⅰ)求 PA 的长; (Ⅱ)求二面角 B ? AF ? D 的正弦值.zhangwlx 20、 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? 2ab ? c .
2 2 2

(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)设 cos A cos B ?

3 2 cos(? ? A) cos(? ? B) 2 , ,求 tan ? 的值. ? 2 5 cos ? 5

21、 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分)zhangwlx 如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ?

2 ,过左焦点 F1 作 2

x 轴的垂线交椭圆于 A 、 A? 两点, AA? ? 4 .
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、 P? , 过 P 、 P? 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外. 若 PQ ⊥ P?Q ,求圆 Q 的标准方程. 22、 (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 对正整数 n ,记 I n ? {1, 2, ?, n} , P n ?{ (Ⅰ)求集合 P 7 中元素的个数;

m m ? In , k ? In} . k

A 中任意两个元素之和不是 (Ⅱ)若 P 整数的平方,则称 A 为“稀疏集” .求 n n 的子集 ..
的最大值,使 P n 能分成两个不相交的稀疏集的并.

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷和第 II 卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 参考公式: 如果事件 A 与 B 互斥,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 与 B 相互独立,那么

P( AB) ? P( A) P( B)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1) 设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若 z ?zi +2=2z , 则z= (A) 1+ i (B) 1 ? i (C) ?1+i (D) ?1-i (2) 如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 (A)
_

1 6 3 (C) 4

(B)

25 24 11 (D) 12

(3)在下列命题中,不是 公理的是 .. (A)平行于同一个平面的两个平面相互平行 (B)过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 (C)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 (D)如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 (4) "a ? 0" “是函数 f (x)= (ax-1)x 在区间 (0,+?) 内单调递增”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩 分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 (A)这种抽样方法是一种分层抽样 (B)这种抽样方法是一种系统抽样

(C)这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 (D)该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 (6)已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 ? x |x <-1或x > (A) ?x |x<-1或x>lg2 (C)

1 2

? ,则 f (10x )>0 的解集为

?

(B) ?x |-1<x<lg2 (D) ?x |x<-lg2

?

?x |x>-lg2 ?

?
?
2

(7)在极坐标系中,圆 p =2cos ? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 (A) ? =0(? ? R)和?cos=2 (C) ? = (B) ? =

(? ? R)和? cos=2

?
2

(? ? R)和? cos=1

(D) ? =0(? ? R)和?cos=1

(8)函数 y =f (x) 的图像如图所示,在区间 ? a,b? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的数 x1 ,x2 ...,xn , 使得 (A) ?3,4? (C)

f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) = = , 则 n 的取值范围是 x1 x2 xn

(B) ?2,3,4? (D) ?2,3?

?3,4,5?
??? ? ??? ?

OB ? 2, 则 (9)在平面直角坐标系中, o 是坐标原点,两定点 A, B 满足 OA ? OB ? OA?
点集 P ? OP ? ? OA ? ? OB, ? ? ? ? 1, ? , ? ? R | 所表示的区域的面积是 (A) 2 2 (B) 2 3
3

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

(C) 4 2

(D) 4 3

(10)若函数 f (x)=x +ax+bx+c 有极值点 x1 , x2 ,且 f (x1 )=x1 ,则关于 x 的方程

3(f (x1 ))2 +2af (x)+b=0 的不同实根个数是
(A)3 (B)4 (C) 5 (D)6

2013 普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(理科)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
考生注意事项:
请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 作答,在试题卷上答题无效 。 ..... ......... 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。

a ? ? 4 (11)若 ? x ? 3 ? 的展开式中 x 的系数为 7,则实数 a ? _________。 x? ?
c ?a2 , n i s (12) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c 。 若b ? 则3
则角 C ? _________. (13)已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x2 于 A, B 两点。若该抛物线上存 在点 C ,使得 ?ABC 为直角,则 a 的取值范围为___________。 (14)如图,互不相同的点 A 1 , A2 ?, X n ,? 和 B 1 , B2 ?, Bn ,? 分别在 角 O 的两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有梯形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面 积均相等。设 OAn ? an . 若 a1 ? 1, a2 ? 2, 则数列 ?an ? 的通项公式是 ____________。 (15)如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点, Q 为线段 CC1 上的动点, 过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S。则下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) 。 ①当 0 ? CQ ? ②当 CQ ?

8

5 n A i s? ,

B

1 时,S 为四边形 2

1 时,S 为等腰梯形 2 3 1 ③当 CQ ? 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1 R1 ? 4 3 3 ④当 ? CQ ? 1 时,S 为六边形 4
⑤当 CQ ? 1 时,S 的面积为

6 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解 答写在答题卡上的指定区域内。 (16) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? (Ⅰ)求? 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在区间 ? 0, (17) (本小题满分 12 分)
2 2 设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a ) x ,其中 a ? 0 ,区间 I ?| x f (x)>0

? ?

??

? (? ? 0) 的最小正周期为 ? 。 4?

? ?? 上的单调性。 ? 2? ?

(Ⅰ)求的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ) ; (Ⅱ)给定常数 k ? (0,1) ,当时,求 l 长度的最小值。 (18) (本小题满分 12 分) 设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1的焦点在 x 轴上 a2 1 ? a2

(Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆 E 上的第一象限内的点,直线 F2 P 交 y 轴与点 Q ,并且 F1P ? FQ 1 ,证明:当 a 变化时,点 p 在某定直线上。 (19) (本小题满分 13 分) 如图, 圆锥顶点为 p 。 底面圆心为 o , 其母线与底面所成的角为 22.5°。

AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的
角为 60°, (Ⅰ)证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求 cos ?COD 。 (20) (本小题满分 13 分) 设函数 f n ( x) ? ?1 ? x ?

x2 x2 xn ? ? ? ? ( x ? R, n ? N n ) ,证明: 2 2 2 2 3 n
2 3

n (Ⅰ)对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;

n (Ⅱ)对任意 p ? N ,由(Ⅰ)中 xn 构成的数列 ?xn ? 满足 0 ? xn ? xn ? p ?

1 。 n

(21) (本小题满分 13 分) 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动, 分别由李老师和张老 k 师负责,已知该系共有 n 位学生,每次活动均需该系 位学生参加( n 和 k 都是固定的正整 数) 。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学生,且 所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 x (Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使 P( X ? m) 取得最大值的整数 m

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数学试题(理工农医类)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目的要求的.

1.已知复数 z 的共轭复数 z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



2.已知集合 A ? ? 是 的() “A ? B” “a ? 3” 1, a? , B ? ? 1,2,3? ,则 A.充分而不必要条件 也不必要条件 3.双曲线 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分

x2 ? y 2 ? 1 的顶点到渐进线的距离等于( 4
4 B. 5
C.



2 A. 5

2 5 5

D.

4 5 5

4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩 分成 6 组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计, 得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生 600 名, 据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为( A.588 B.480 C.450 D.120 )

2 5.满足 a, b ? ?? 1,0,1,2? ,且关于 x 的方程 ax ? 2 x ? b ? 0 有实

数解的有序数对的个数为( A. 14 B. 13 C. 12

) D. 10 )

6.阅读如图所示的程序框图,若编入的 k ? 10 ,则该算法的功能是( A. 计算数列 2n?1 的前 10 项和 C. 计算数列 2n - 1 的前 10 项和

? ?

B.计算数列 2n?1 的前 9 项和 D. 计算数列 2n - 1 的前 9 项和

? ?

? ?

? ?

7. 在四边形 ABCD 中, AC ? (1,2) , BD ? (?4,2) ,则该四边形的面积为 ( A. 5 ) B. 2 5 C.5 D.10

8. 设函数 f ( x) 的定义域为 R, x0 ?x0 ? 0 ? 是 f ( x) 的极大值点,以下结论 一定正确的是() A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) B. ? x0 是 f (- x) 的极小值点 D. ? x0 是 - f (- x) 的极小值点

C. ? x0 是 - f ( x) 的极小值点

9. 已 知 等 比 数 列 ?an ? 的 公 比 为 q , 记 bn ? am ( n?1)?1 ? am ( n?1)? 2 ? ? ? ? ? am ( n?1)? m ,

bn ? am ( n?1)?1 ? am ( n?1)? 2 ? ? ? ? ? am ( n?1)? m , ?m, n ? N *? ,则以下结论一定正确的是(
A. 数列 ?bn ? 为等差数列,公差为 q m C. 数列 ?cn ? 为等比数列,公比为 q m 10.
2



B. 数列 ?bn ? 为等比数列,公比为 q 2 m D. 数列 ?cn ? 为等比数列,公比为 q m
m

设 S , T 是 R 的 两 个 非 空 子 集 , 如 果 存 在 一 个 从 S 到 T 的 函 数 y ? f ( x) 满 足 :

(i ) T ? ?f ( x) x ? S ? ; (ii ) 对任意 x1 , x2 ? S ,当 x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么称这两
个集合“保序同构” ,以下集合对不是“保序同构”的是( A. ) B.

A ? N *, B ? N

A ? ?x ? 1 ? x ? 3?, B ? ?x x ? ?8或0 ? x ? 10?
C. A ? ?x 0 ? x ? 1?, B ? R D. A ? Z , B ? Q 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 11. 利用计算机产生 0 ~ 1 之间的均匀随机数 a , 则事件 ‘3a-1>0 ’发生的概率为_________
3a ? 1 ? 0

12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、 俯视图、均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该 球 的表面积是 13. 如图,在 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, AD ? AC , sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2 , 3

AD ? 3 , 则 BD 的长为
14. 椭 圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 焦 距 为 2c , 若 直 线 a 2 b2

y ? 3 ? x ? c ? 与椭圆 ? 的一个交点满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 , 则该椭圆的离心率等于
_____ 15. 当 x ? R, x ? 1 时,有如下表达式:

1 ? x ? x2 ? ? ? ? ? xn ? ? ? ? ?

1 1? x

两边同时积分得:

?

1 1 2 1dx ? 2 0 0

?

xdx ?

?

1 2 0

x dx ? ? ? ?
2

?

1 2 0

x dx ? ? ?? ?
n

?

1 2 1 0 1? x

dx

从而得到如下等式:

1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ( ) 2 ? ? ( )3 ? ? ? ? ? ? ( ) n?1 ? ? ? ? ? ln 2. 2 2 2 3 2 n ?1 2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:

1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 1 0 n Cn ? ? Cn ? ( ) ? Cn ? ( ) ? ? ? ? ? Cn ? ( ) n?1 ? 2 2 2 3 2 n ?1 2
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤 . 16.(本小题满分 13 分) 某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方 案甲的中奖率为

2 2 ,中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中 3 5

奖可以获得 3 分;未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影 响,晚会结束后凭分数兑换奖品。 (1)若小明选择方案甲抽奖, 小红选择方案乙抽奖, 记他们的累计得分为 X ,求 X ? 3 的概 率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽 奖,累计得分的数学期望较大? 17.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) 2.当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; 3.求函数 f ( x) 的极值 18.(本小题满分 13 分) 如图,在正方形 OABC 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ?10,0 ? , 点 C 的坐标为 ?0,10? ,分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为

A1 , A2 ,? ? ?, A9 和 B1 , B2 ,? ? ?, B9 ,连接 OBi ,过 Ai 作 x 轴的垂线与 OBi
交于点 Pi ?i ? N *,1 ? i ? 9 ? 。 (1)求证:点 Pi ?i ? N *,1 ? i ? 9 ? 都在同一条抛物线上,并求抛物线 E 的方程;

(2)过点 C 作直线 l 与抛物线 E 交于不同的两点 M , N , 若 ?OCM 与 ?OCN 的面积之比为 4:1,求直线 l 的方程。 19.(本小题满分 13 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABCD ,

AB // DC , AA1 ? 1, AB ? 3k , AD ? 4k , BC ? 5k , DC ? 6k , (k ? 0)
(1)求证: CD ? 平面 ADD1 A1 (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为

6 ,求 k 的值 7

(3)现将与四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱 柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不 同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 f (k ) ,写出 f (k ) 的解 析式。 (直接写出答案,不必说明理由) 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin( wx ? ? )( w ? 0,0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? , 图象

?? ? 的一个对称中心为 ? ,0 ? ,将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐 ?4 ?
标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将得到的图象向右平 移个

?
2

单位长度后得到函数 g ( x) 的图象。

(1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式

?? ? ? (2)是否存在 x0 ? ? , ? ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存 ?6 4?
在,请确定 x0 的个数,若不存在,说明理由; (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 ?0, n? ? 内恰有 2013 个零点 21. 本小题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分. 如果多做,则按所做的前两题计分. (1). (本小题满分 7 分) 选修 4-2:矩阵与变换 已知直线 l : ax ? y ? 1 在矩阵 A ? (

1 2 ) 对应的变换作用下变为直线 l ': x ? by ? 1 0 1

(I)求实数 a, b 的值

? x0 ? ? x0 ? (II)若点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上,且 A? ?y ? ??? ? ? ? ,求点 P 的坐标 ? 0 ? ? y0 ?
(2).(本小题满分 7 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

?? ? ? 已知点 A 的极坐标为 ? 2 , ? , 直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a , 且点 A 在直线 l 上。 4 4 ? ?
(Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;

? x ? 1 ? cos a, (Ⅱ)圆 C 的参数方程为 ? (a为参数) ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ? y ? sin a
(3).(本小题满分 7 分) 选修 4-5:不等式选讲

3 1 设不等式 x ? 2 ? a (a ? N *) 的解集为 A,且 ? A, ? A 2 2
(Ⅰ)求 a 的值 (Ⅱ)求函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场 号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔讲试卷类型(A)填涂在答题卡相应 的位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试 卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题 目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点, 再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试题与答题卡一并交回。 参考公式: 台体的体积公式 V= (S1+S2+ )h,其中 S1, S2 分别表示台体的上、 下底面积,

h 表示台体的高。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的. 2 2 1.设集合 M=∣x∣x +2x=0,x∈R},N={x∣x -2x=0,x∈R},则 M∪N= A. {0} B. {0,2} C. {-2,0} D {-2,0,2} 3 x 2 2.定义域为 R 的四个函数 y=x ,y=2 ,y=x +1,y=2sinx 中,奇函数的个数是 A. 4 B.3 C. 2 D.1 3.若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是 A. (2,4) B.(2,-4) C. (4,-2) D(4,2) 4.已知离散型随机变量 X 的分布列为 X P

X

1

2

3

P 则 X 的数学期望 E(X)= A. B. 2 C. D 3

5.某四棱太的三视图如图 1 所示,则该四棱台的体积是

A.4

B.

C.

D.6

6.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 B.若α ∥β ,m α ,n β ,则 m∥n D.若 m α ,m∥n,n∥β ,则α ⊥β 3 7.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0) ,离心率等于 ,则 C 的方程是 2 A. =1 B. = 1 C. =1 D. =1 A.若α ⊥β ,m α ,n β ,则 m⊥ n C.若 m⊥ n,m α ,n β ,则α ⊥β

8.设整数 n≥4,集合 X={1,2,3??,n} 。令集合 S={ (x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立} ,若(x,y,z)和(z,w,x)都在 s 中,则下列选项 正确的是 A.(y,z,w)∈s, (x,y,w) C. (y,z,w) S B.(y,z,w)∈s, (x,y,w)∈S D. (y,z,w) s, (x,y,w) S

s, (x,y,w)∈S

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。

(一)必做题(9~13 题) 2 9.不等式 x +x-2<0 的解集为 。 10.若曲线 y=kx+lnx 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k= 11.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 4,则输出 s 的值为

。 。

12,在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=___

13.给定区域:

.令点集 T=|(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是 z=x+y 在 D 上

取得最大值或最小值的点,则 T 中的点共确定____条不同的直线。 (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14 (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为

(t 为参数) ,C 在点(1,1)处的切线为 L,一 座标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标,则 L 的极 坐标方程为_______. 15.(几何证明选讲选做题)如图 3,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 是 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E。若 AB=6,ED=2,则 BC=______. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答需写出文字说明。证明过程和演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2 cos( x ?

?
12

),x?R

(1)求 f(- )的值;

(2)若 cosθ = ,θ E(

,2π ) ,求 f(2θ +

) 。

17. (本小题满分 12 分) 某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图 4 所示, 其中茎为十位数,叶为个位数。 (1) 根据茎叶图计算样本均值; (2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。根据茎叶图 推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人? (3) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率 18(本小题满分 4 分) 如图 5,在等腰直角三角形 ABC 中,∠A =90 BC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,CD=BE= ,O 为 BC 的中点.将△ADE 沿 DE 折起,得到如图 6 所示的四棱椎 A’-BCDE,其中 A’O=√3
0

(1) 证明:A’O⊥平面 BCDE; (2) 求二面角 A’-CD-B 的平面角的余弦值 19.(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 , (1)求 a2 的值 (2)求数列{an}的通项公式 a1

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(3) 证明:对一切正整数 n ,有 20.(本小题满分 14 分)

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

已知抛物线 c 的顶点为原点,其焦点 F(0,c) (c>0)到直线 L:x-y-2=0 的距离为 P 为直线 L 上的点,过点 P 做抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点。 (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P(x0,y0)为直线 L 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 L 上移动时,求|AF|?|BF|的最小值 21.(本小题满分 14 分) x 2 设函数f(x)=(x-1)e -kx (k∈R). (1) 当k=1时,求函数f(x)的单调区间; (2) 当k∈(

. 设

1 ,1]时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M. 2

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数
一. 有一项是符合题目要求的。

学(理科)

选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中只

1.在复平面内,复数z ? A.第一象限

2i (i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 1? i B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

? 1 ? 2.已知全集为R,集合 A= ?X ( ) ' ? 1? , B ? X X 2 ? 6X+8 ? 0 ,则A ? d x B ? ? 2 ?

?

?

A.? X X ? 0? B.? X 2 ? X ? 4? C.? X 0 ? X ? 2或X>4? D.? X 0 ? X ? 2或X ? 4?
3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次。设命题 p 是“甲降落在指定范围”,q 是 “乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为

A.(-p) ? (-q)

B.p ? (-q) C.(-p) ? (-q) D.p ? q

4.将函数 y ? 3 cos x ? sin x( x ? R) 的图像向左平移 m(m ? 0) 个单位长度后,所得到的 图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是

A.

? ? ? 5? B. C. D. 12 6 6 3

5.已知 0 ? ? ?

?
4

,则双曲线 C1 :

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 与 C : ? ? 1的 2 cos 2 ? sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ?
D.离心率相等

A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等

6.已知点 A(-1,1) 、B(1,2) 、C(-2,1) 、D(3,4) ,则向量 AB 和 CD 方向上的投影为

??? ?

??? ?

A.

3 2 2

B.

3 15 2

C.

3 2 2

D.

3 15 2

7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度

v(t ) ? 7 ? 3t ?

25 (t的单位:s, v的单位:m / s) 行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的 1? t

距离(单位: m )是 A. 1+25 ln 5 B. 8+25ln

11 3

C. 4+25ln 5

D. 4+50 ln 2

8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别 为 V1,V2,V3,V4, 下面两个简单几何体均为多面体,则有

AV . 1 ? V2 ? V4 ? V3

BV . 1 ? V3 ? V2 ? V4

CV . 2 ? V1 ? V3 ? V4

DV . 2 ? V3 ? V1 ? V4

9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌 后,从中抽取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)= A.

126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

10. 已知a为常数,函数f(X)=X(Inx-ax)有两个极值点x1, x2 (x1 ? x2 ), z则

1 2 1 B.f(x1 )<0,f(x 2 )<=2 1 C.f(x1 )>0,f(x 2 )<=2 1 D.f(x1 )<0,f(x 2 )>=2 A.f(x1 )>0,f(x 2 )>=11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频 率分布直方图如图所示。 (1)直方图中 x 的值为___________; (2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为___________。 12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i=___________。

13.设 x, y, z ? R ,且满足: x2 +y2 +z2 =1 则 x+y+z= ___________。 ,x+2 y+3z = 14, 14.古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三 角形数为

n(n +1) 1 2 1 = n + n ,记第 n 个 k 边形数为 N (n, k )(k ? 3) ,以下列出了部分 k 边 2 2 2 1 1 N (n,3)= n 2 + n 2 2

形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数

N (n, 4)=n2
3 1 N (n,5)= n 2 - n 2 2

N (n,6)=2n2 -n

???????????????????????.. 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=_________________。 二.填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填

在答题卡的 对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ..... (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请现在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框图用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(选修 4-1:几何证明选讲) O 如 图 , 圆 上 一 点

C在直径AB上的射影为D, 点D在半径OC上的射影为E. 若
AB ? 3 AD, CE 的值为 EO
.

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直线坐标系 xoy 中,椭圆 C 的参数方程为

?

x ? a cos ? y ?b sin ?

??为参数, a ? b ? 0 ? . 在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴为正半轴 为极轴)中,直 线 l 与圆 O 的极坐标分别为 ? sin ?? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数? 与? =b. 若直线 l 经过椭 ?? 4? 2
.

圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆的离心率为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC中,角A、B、C对应的边分别为a, b, c. 已知cos 2 A ? 3cos( B ? C) ? 1. (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC的面积S ? 5 3, b ? 5, 求sin B sin C的值 . 18.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 10, a1a2a3 ? 125. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; ( II )是否存在正整数 m, 使得 在,说明理由. 19.(本小题满分 12 分) 如图, AB 是圆 O 的直径,点 C是圆 O 上异于 A、B 的点,直线 PC ? 平面ABC,

1 1 1 若不存 ? ? ?????? ? ? 1? 若存在,求m的最小值; a1 a2 an

E, F分别为PA, PC的中点.
(I)记平面 BEF与平面ABC的交线为l,试判断l与平面PAC的位置关系, 并 加以说明;

(II)设(I)中的直线 l与圆O的另一个交点为D, 且点Q满足DQ ?

?

1 ? CP. 记直线 2

PQ与平面ABC所成的角为? , 异面直线所成的锐角为 ? ,二面角 E ? l ? C的大小为?,求证: sin ? ? sin ? sin ? .
20.(本小题满分 12 分)
2 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布N 800,50 的随机变量,

?

?

记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 Pn . 求P n 的值;
2 (I) (参考数据:若 X ? N ? , ? , 有P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826, )

?

?

P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544, P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974.
(II)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每年每天往 返一次, A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队, 并要求 B 型车不多于

A 型车 7 辆。若每天要以不小于 P 0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙
地的营运成本最小,那么应配备 A型车、B型车各多少辆? 21.(本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆 C1与C2的中心原点坐标O, 长轴均为

MN 且在x轴上,短轴长分别为 2m、 过原点 2n ? m ? n?,
且 不 与

x











线

l



C1、C2的四个交点按纵坐标 从 大 到 小 依 次 为
A、B、C、D. m ? ? , ?BDM 和?ABN的面积分别为S1、S 2 . n
(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 =? S2 , 求?的值; (II)当 ? 变化时,是否存在于坐标轴不重合的直线 l , 使得 S1 =? S2 , 并说明理由 . 22.(本小题满分 14 分) 设 n 为正整数, r 为正有理数. (I)求函数 f ? x ? ? ?1 ? x ?
r ?1



? ? r ? 1? x ? 1? x ? ?1?的最小值;

nr ?1 ? ? n ? 1? (II)证明: r ?1

r ?2

?n

r

? n ? 1? ?

? nr ?1 ; r ?1
? 3? ? ?

r ?1

(III)设 x ? R, 记 ? x?为 不小于 ?? ? =4,?? ? =-1. ...x 的最小整数,例如 ? 2? =2, 2 令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ?????? ? 3 125, 求? S ?的值. (参考数据: 80 ? 344.7,81 ? 350.5,124 ? 618.3,126 ? 631.7. )
4 3 4 3 4 3 4 3



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