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高中数学北师大版必修4第1章5《正弦函数的图像与性质》ppt课件_图文

第一章
三角函数

第一章
§5 正弦函数的图像与性质

1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课 时 作 业

课前自主预习

将塑料布扎一个小孔,做成一个漏
斗,再挂在架子上,就做成一个简易的单 摆,在漏斗下方放一块纸板,板的中间画

一条直线作为坐标系的横轴,把漏斗灌上
细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同 时匀速拉动纸板,看到纸板上形成一条曲 线,本节我们就学习与此曲线有关的正弦 函数曲线.

1.正弦线及五点法 (1)正弦线 设任意角α的终边与单位圆交于点P, 过点P作x轴的垂线,垂足为M,我们称

MP 为角α的正弦线.P叫正弦线的 ________ 终点 . ________

(2)五点法 用“五点法”作正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像的五个 3π π ( 2 ,-、 1) ________. (π,0)、________ (2π,0) 它 (2,1)、________ (0,0) 、________ 点是________ 们是正弦曲线与x轴的交点和函数取最大值、最小值的点.

2.正弦函数的图像和性质
函数 y=sinx

图像

定义域 值域 最值

R ________
π x=2kπ+2(k∈Z) 当_________________________ 时,ymax=1; π x=2kπ-2(k∈Z) 当________________________ 时,ymin=-1;
________ [-1,1]

函数 周期性 奇偶性
单调性

y=sinx 2π 最小正周期为________ 奇 ________ 函数 π π [2kπ-2,2kπ+2](k∈Z) 在_________________________上是增加的 π 3π [2kπ+2,2kπ+ 2 ](k∈Z) 在_________________________ 上是减少的

1.正弦函数 y=sinx(x∈R)的图像关于______对称( A.y 轴 C.x=π π B.x=2 D.x 轴

)

[答案] B

π π [解析] 在对称轴处y取得最值,x= 2 时,sin 2 =1,故选 B.

2.用五点法画y=sinx,x∈[0,2π]的图像时,下列哪个点 不是关键点( π 1 A.(6,2) C.(π,0) ) π B.(2,1) D.(2π,0)

[答案] A
π [解析] 由五点法画图可知五个关键点分别是(0,0), (2, 1), 3 (π,0),(2π,-1),(2π,0),只有 A 选项不是.

3.已知a∈R,函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数,则a等 于( ) A.0 C.-1 B.1 D.±1

[答案] A
[解析] 由sin(-x)-|a|=-sinx+|a|,得|a|=0,故a=0.

4.函数y=-2sin3x的最小正周期为________.
[答案] 2π 3

2π [解析] 由正弦函数的周期公式可得 T= 3 .

5. 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数. 若 f(x) π 5π 的最小正周期是 π,且当 x∈[0,2]时,f(x)=sinx,则 f( 3 )的值 为________.

3 [答案] 2 5π 2π [解析] 由f(x)的最小正周期是π,知f( 3 )=f( 3 )=f(-
π π π 3).由f(x)是偶函数知f(-3)=f(3). π 5π π π π 又当x∈[0, 2 ]时,f(x)=sinx,∴f( 3 )=f(- 3 )=f( 3 )=sin 3 3 =2.

课堂典例讲练

正弦函数的图像 利用“五点法”画函数y=-sinx-1(0≤x≤2π)的 图像.

[思路分析]
即可.

按取值、列表、描点、连线的步骤依次完成

[规范解答] 取值列表: x sinx -sinx-1

利用“五点法”作图.

0 0 -1

π 2 1 -2

π 0 -1

3π 2 -1 0

2π 0 -1

描点连线,如图所示.

[规律总结]

“五点法”作图的实质是选取函数的一个周

期,将其四等分(即取5个点),分别找到函数图像的最高点、最 低点及“平衡点”.因为这五个点大致确定了函数图像的位置

与形状,因此就可以迅速地画出函数的简图.画图时,注意曲
线要平滑、具有对称美、凹凸方向要正确,即“平衡位置”上 方的上凸,“平衡位置”下方的下凸.

用五点法作出函数y=|sinx|在区间[0,2π]上的简图. [解析] 列表:

x y=sinx y=|sinx|

0 0 0

π 2 1 1

π 0 0

3π 2 -1 1

2π 0 0

π 3π 描点:A(0,0),B(2,1),C(π,0),D( 2 ,1),E(2π,0). 连线成图(如图).

正弦函数的定义域问题
求函数y=
[思路分析]

1 log2sinx-1的定义域.

由于所求函数的定义域的解析式中含有根

号,又含有对数,须保证真数大于0,解答本题时可采用不等 式组的形式由里向外把使函数有意义的式子罗列,然后求交 集.

[规范解答]

为使函数有意义,需满足

1 1 ? ? ?log2 ?sinx≤ , -1≥0, sin x 2 ? ,即? ? ? ?sinx>0, ?sinx>0, 由正弦函数的图像或单位圆可得,如图所示.

π 5π 所以函数的定义域为{x|2kπ<x≤2kπ+ 6 或2kπ+ 6 ≤x<2kπ+ π,k∈Z}.

[规律总结]

求函数的定义域通常是解不等式组,在求解

综合性强的含三角函数的复合函数的定义域时,则常利用数形 结合,在函数图像或单位圆中表示,然后取各部分的公共部分 (即交集).

求下列函数的定义域: (1)y= 1-2sinx; (2)y=log2sinx; 1 (3)y=log2 2sinx-1. ? ?1-2sinx≥0, 1 ? [解析] (1)由 得-1≤sinx≤2. ? ?-1≤sinx≤1,
由正弦函数图像可得,所求函数的定义域为 7π π {x|2kπ- 6 ≤x≤2kπ+6,k∈Z}.

(2)由sinx>0,得2kπ<x<2kπ+π,k∈Z. ∴所求函数的定义域是{x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}. (3)由 2sinx-1>0,得2sinx-1>0, 1 ∴sinx> 2 .由正弦函数的图像可得,所求函数的定义域是 π 5π {x|2kπ+6<x<2kπ+ 6 ,k∈Z}.

正弦函数的值域、最值 求下列函数的最值,并求取得最值时x的取值集

合:
(1)y=3-2sin2x; (2)y=sin2x-4sinx+5. [思路分析] y=sinx的最大值为1,最小值为-1.

[规范解答]

(1)∵-1≤sin2x≤1,

∴-2≤-2sin2x≤2. ∴y∈[1,5]. π ∴当 x=kπ+4(k∈Z)时,函数有最小值 1; 3π 当 x=kπ+ 4 (k∈Z)时,函数有最大值 5, π 即函数取得最小值 1 时,x 的取值集合为{x|x=kπ+4,k∈ 3π Z},当函数取最大值 5 时,x 的取值集合为{x|x=kπ+ 4 ,k∈ Z}.

(2)∵y=(sinx-2)2+1,sinx∈[-1,1], 3π ∴当sinx=-1,即x=2kπ+ 2 (k∈Z)时,ymax=10; π 当sinx=1,即x=2kπ+2(k∈Z)时,ymin=2, 即y取得最大值10时,x的取值集合是 3π {x|x=2kπ+ 2 ,k∈Z}; y取得最小值2时,x的取值集合是 π {x|x=2kπ+2,k∈Z}.

[规律总结]

(1)函数y=sinx的值域是研究其他复合函数的

值域和最值的重要依据. (2)形如y=asinx+b的函数最值或值域问题,一般利用正弦

函数的有界性(-1≤sinx≤1)求解.
(3) 形如 y =asin2x +bsinx +c 的最值或值域求法,一般用配 方法.

7 求函数 y=4+sinx-sin2x(x∈R)的值域.

[解析] 设 sinx=t,则 t∈[-1,1]. 7 12 ∴y=-t +t+4=-(t-2) +2.
2

1 ∴当 t=-1 时,ymin=-4; 1 当 t=2时,ymax=2. 1 ∴所求函数值域为[-4,2].

正弦函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性. 5 (1)f(x)= 2sin(x+2π); (2)f(x)= 2sinx-1.
? π π? ? π π? 1+sinx-cosx (3)f(x)= ,①x∈?-2,2?;②x∈?-2,2?. 1+sinx+cosx ? ? ? ?

[思路分析]
[规范解答] f ( x) =

判断奇偶性,要先看定义域是否关于原点对
(1)因为函数的定义域为 R,关于原点对称,
? ? π 2sin?x+2+2π?= ? ?

称,再找f(x)与f(-x)的关系.
? 5 ? 2sin?x+2π?= ? ?

2cosx.

显然有 f(-x)=f(x)恒成立, 所以函数 f(x)=
? 5π? 2sin?x+ 2 ?为偶函数. ? ?

1 (2)由 2sinx-1≥0,即 sinx≥2,
? π 5π? 得函数的定义域为?2kπ+6,2kπ+ 6 ?(k∈Z), ? ?

定义域不关于原点对称, 所以该函数不具有奇偶性,所以 f(x)为非奇非偶函数. 1+sinx-cosx ?1+sinx-cosx??1+cosx-sinx? (3)①f(x)= = 1+sinx+cosx ?1+cosx+sinx??1+cosx-sinx? 1-?cosx-sinx?2 2sinxcosx = = ?1+cosx?2-sin2x 1+2cosx+cos2x-sin2x 2sinxcosx sinx = = , 2cosx?1+cosx? 1+cosx

sin?-x? sinx ∴f(-x)= =- =-f(x), 1+cos?-x? 1+cosx ∴在 f ( x) , π π ∴此函数在(-2,2)内是奇函数.
? π? π ②由于x=2时,f(x)=1,而f?-2?无意义, ? ? ? π π? 因此在?-2,2?上,函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. ? ? ? π π? ?- , ? ? 2 2?

内,定义域关于原点对称,且f(-x)=-

[规律总结]

判断函数的奇偶性时,必须先看定义域是否

关于原点对称.若定义域关于原点对称,再验证f(-x)与f(x)的 关系.当f(-x)=f(x)时,f(x)为偶函数;当f(-x)=-f(x)时,f(x) 为奇函数;当 f( - x) 不等于 f(x),也不等于- f(x) 时, f(x) 为非奇

非偶函数.即三角函数的性质研究同一般函数性质研究方法相
同.

判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=
? 3 ? 2sin?2x+2π?; ? ?

(2)f(x)= 1-sinx+ sinx-1.

[解析] (1)函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 且 f(x)= - 2cos2x, ∴f(-x)=- 2cos(-2x)=- 2cos2x, 即 f(-x)=f(x)恒成立, ∴函数 f(x)=
? 3 ? 2sin?2x+2π?为偶函数. ? ? ? 3 ? 2sin ?2x+2π?= ? ? ?π ? π 2sin(2x-2 ) =- 2sin?2-2x? = ? ?

? ?1-sinx≥0, (2)由? ? ?sinx-1≥0,

得 sinx=1,

π 故 f(x)=0,x∈{x|x=2kπ+2,k∈Z}. ∴函数 f(x)= 1-sinx+ sinx-1是非奇非偶函数.

正弦函数单调性及应用
求函数y=log1 sinx的单调递增区间.
2

[思路分析]

解答时,可先分析sinx>0,得出相应的x的范
2

围,然后借助于y=log1 u的单调性分析.

[规范解答]

由 sinx>0 得 2kπ<x<2kπ+π(k∈Z),

1 ∵2<1, ∴函数 y=log1 sinx 的递增区间即为 u=sinx 的递减 2 区间. π 又∵u=sinx 的递减区间为 2kπ+2≤x<2kπ+π(k∈Z). π ∴函数 y=log1 sinx 的递增区间即为[2kπ+2,2kπ+π)(k∈ 2 Z).

[规律总结]

求复合函数的单调区间时,要先求定义域,

同时还要注意内层、外层函数的单调性.

下列关系式中正确的是(

)

A.sin11°<cos10°<sin168° B.sin168°<sin11°<cos10° C.sin11°<sin168°<cos10° D.sin168°<cos10°<sin11° [答案] C

[解析]

sin168°=sin(180°-12°)=sin12°,cos10°=

cos(90°-80°)=sin80°,由于正弦函数y=sinx在区间[0°, 90°] 上 为 增 函 数 , 所 以 sin11°<sin12°<sin80° , 即

sin11°<sin168°<cos10°.故选C.

易错疑难辨析

若 sin2θ-2msinθ+2m-1≥0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

[ 错解 ]

令 sinθ =t ,则原不等式变为 t2 - 2mt + 2m - 1≥0 恒

成立.由函数f(t)=t2-2mt+2m-1的图像知,只需满足Δ=4m2 -4(2m-1)≤0,即m2 -2m+1≤0,(m-1)2≤0.所以m=1.所以实 数m的取值为1. [ 辨析 ] 出现错误的原因是 sinθ 是有界的,而不是全体实

数,故不能用判断别式来判断.

[ 正解 ]

令 sinθ = t ,则- 1≤t≤1 ,原不等式变为 t2 - 2mt +

2m - 1≥0 恒成立,设 f(t) = t2 - 2mt + 2m - 1 ,则只要 f(t)≥0 在 [ - 1,1]上恒成立即可.由于f(t)=t2-2mt+2m-1=(t-m)2-m2 + 2m-1(-1≤t≤1),所以只要满足f(t)在[-1,1]上的最小值大于等 于0即可.

(1)若m<-1,则当t=-1时,f(t)取最小值f(-1)=4m,令
4m≥0,得m≥0与m<-1矛盾,舍去. (2)若-1≤m≤1,则当t=m时,f(t)取最小值-m2+2m-1.由 此可得m2-2m+1≤0,(m-1)2≤0,解得m=1.

(3) 若 m>1 ,则当 t = 1 时, f(t) 取最小值 f(1) = 0 ,它显然成 立,所以m>1. 综上所述,m≥1. [规律总结 ] 正弦函数y=sinx的值域是 [-1,1]是有界的,

但若出现在方程、不等式或函数中,常被忽略,导致错误.



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