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浙江省湖州市2013届高三第二次教学质量测试数学(文)试题(word版)


2013 年湖州市高三第二次教学质量测试 数学(文科)试题卷
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答. 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 球的表面积公式
S ? 4?R 球的体积公式
2

棱柱的体积公式

V ? Sh
其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 棱台的体积公式

V ?

4 ? R3 3

其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式

1 V ? h ( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1,S2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高 如果事件 A、B 互斥,那么

V ?

1 Sh 3

其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5, 6} , M ? {2,3,5} , N ? {4,5} ,则集合 {1, 6} ? ( ▲ ) A. M ? N B. M ? N C. ? (M ? N ) U D. ? (M ? N ) U ( ▲ )

2.“ a ? 1 ”是“直线 x ? y ? 0 和直线 x ? ay ? 0 相互垂直”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3.复数 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2?i ( i 是虚数单位)表示复平面内的点位于 2?i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

( ▲ )

A.第一象限

4.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 ( ▲ ) A.若 m ⊥ ? ,n ? ? ,m ⊥ n ,则 ? ⊥ ? B.若 ? ⊥ ? ,? ? ? ? m ,m ⊥ n ,则 n ⊥ ?

C. 若 ? ⊥ ? , m ⊥ ? , n ∥ ? ,则 m ⊥ n D. 若 ? ∥ ? , m ⊥ ? , n ∥ ? ,则 m ⊥ n 5.在一个袋子中,装有 4 个白球和 2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,从袋中任意摸出 2 个球,则两球同色的概率是 A. ( ▲ ) C.

7 15

B.

8 15

4 9

D.

6.将函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向左平移 以是 A. y ? cos 2 x ? sin 2 x C. y ? sin 2 x ? cos 2 x

? 个单位长度, 所得图象对应的函数解析式可 4
( ▲ )

5 9

B. y ? cos 2 x ? sin 2 x D. y ? sin x cos x

7.把能够将圆 O : x2 ? y 2 ? 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“圆 梦函数” ,则下列函数不是圆 O 的“圆梦函数”的是 .. A. f ( x) ? x 8.定义
3

( ▲ ) D. f ( x) ? (e ? e ) x
x ?x

B. f ( x) ? tan

x 2

C. f ( x) ? ln[(4 ? x)(4 ? x)]

n 为 n 个正数 p1 , p2 ,..., pn 的 “均倒数” .若已知正数数列 {an } 的前 n p1 ? p2 ? ... ? pn
a ?1 1 1 1 1 ,又 bn ? n ,则 ? ? ... ? ? 2n ? 1 4 b1b2 b2b3 b10b11
B. ( ▲ )

项的“均倒数”为

A.

1 11

1 12

C.

10 11

D.

11 12

x2 y 2 9.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上的一点 P( x0 , y0 ) 到左焦点的距离与到右焦 a b
点的距离之差为 2 2 ,且到两条渐近线的距离之积为

2 ,则双曲线的离心率为 ( ▲ ) 3
D.

A.

5 2

B.

6 2

C. 5

6

10.设函数 f ( x) ?

1 2 , g ( x) ? ax ? bx(a, b ? R, a ? 0) ,若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的 x
( ▲ )

图象有且仅有两个不同的公共点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是 A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , y1 ? y2 ? 0 C. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , y1 ? y2 ? 0

B.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , y1 ? y2 ? 0 D. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , y1 ? y2 ? 0

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.某校对全校共 1800 名学生进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本, 已知女生比男生少抽了 20 人,则该校的女生人数应是 ▲ 人. 12.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的侧面积等于 ▲ . 13.某程序框图如图所示,则输出的 i ? ▲ .

14.若直线 l 是曲线 C : y ? 系为 ▲ .

1 3 1 2 2 x ? x ? 1 斜率最小的切线, 则直线 l 与圆 x ? y ? 的位置关 3 2

?2 x ? y ? 2 ? 0 y ?1 ? 15.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 s ? 的取值范围是 ▲ . x ?1 ? x ? y ?1 ? 0 ?
16.已知 x ? 0 , y ? 0 , x ? 3 y ? xy ? 9 ,则 x ? 3 y 的最小值为 ▲ .

17.正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长为 2 , MN 是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点 1 之间的线段称为球的弦), P 为正方体表面上的动点,当弦 MN 最长时. PM ? PN 的最大 值为 ▲ . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ? m 在区间 [0, (Ⅰ)求常数 m 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,若 f ( A) ? 1, sin B ? 3sin C ,

???? ??? ? ?

?
3

] 上的最大值为 2 .

?ABC 面积为

3 3 ,求边长 a . 4

19. (本小题满分 14 分)在等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 3 ,公比 q ? 1 ,等差数列 {bn } 满 足 b1 ? a1 , b4 ? a2 , b13 ? a3 (Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ? (?1)n bn ? an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn . 20. (本小题满分 14 分) 如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA ⊥ CD ,PA ? 1 ,PD ? 2 ,

E 为 PD 上一点, PE ? 2 ED . (Ⅰ) (ⅰ)求证: PA ⊥平面 ABCD ; (ⅱ)在侧棱 PC 上是否存在一点 F ,使得 BF ∥平面 AEC ?若存在,指出 F 点的位置,
并证明;若不存在,说明理由; (Ⅱ)求直线 CE 与平面 PAD 所成角的正弦值.

21. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2ax ?

1 ? (2 ? a) ln x(a ? R) . x

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) ?3 ? a ? ?2 时, 当 若存在 x1 , x2 ?[1,3] , 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (m ? ln3)a ? 2ln3 成 立,求实数 m 的取值范围.

22. (本小题满分 15 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) ,焦点 F 到准线的距离为
2

1 1 ,过点 A( x0 , 0)( x0 ? ) 作直 2 8

线 l 交抛物线 C 于点 P , Q (点 P 在第一象限). (Ⅰ)若点 A 与焦点 F 重合,且弦长 PQ ? 2 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)若点 Q 关于 x 轴的对称点为 M ,直线 PM 交 x 轴于点 B ,且 BP ⊥ BQ ,求证:点

B 的坐标是 (? x0 ,0) ,并求点 B 到直线 l 的距离 d 的取值范围.

2013 年湖州市高三教学质量检测 数学(文)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 题号 答案

1 C

2 C

3 A

4 D

5 A

6 B

7 C

8 C

9 B

10 D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. ) 11. 810 16. 6 12. 8 17. 2 13. 9 14.相切 15. ? 1 , ? ? 2 2? ? ?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
2 18. 解:(1) f ? x ? ? 2 3sin x ? cos x ? 2cos x ? m ? 2sin 2 x ? ? ? m ? 1 .-----2 分 6

?

?

? 5 因为 x ? ?0 , ? ,所以 2 x ? ? ? ? ? ,? ? . ----------------------------- 3 分 ? 3? 6 ?6 6 ? ? ? ? ?
? 5 因为函数 y ? sin t 在区间 ? ? , ? 上是增函数,在区间 ? ? ,? ? 上是减函数, ?6 2? ?2 6 ? ? ? ? ?

? 所以当 2 x ? ? ? ? 即 x ? ? 时,函数 f ? x ? 在区间 ?0 , ? 上取到最大值.---- 5 分 ? 3? 6 2 6 ? ?
此时, f ? x ? ? f ? ? m ? 3 ? 2 ,得 m ? ?1 .---------------------- 6 分 max 6 (2)因为 f ? A? ? 1 ,所以 2sin 2 A ? ? ? 1, 6 即 sin 2 A ? ? ? 1 6 2 因为 sin B ? 3sin C ,

? ?

?

?

?

?

? ,解得 A ? 0 (舍去)或 A ? 3 . --------------------8 分
a ? b ? c ,所以 b ? 3c .---------① -------10 分 sin A sin B sin C

因为 ?ABC 面积为 3 3 , 所以 S ? 1 bc sin A ? 1 bc sin ? ? 3 3 ,即 bc ? 3 .-----② 2 2 3 4 4 c 由① 和② 解得 b ? 3 , ? 1 . ------------------------------------------ 12 分 因为 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 32 ? 12 ? 2 ? 3 ? 1? cos ? ,所以 a ? 7 .---14 分 3 19. 解:(Ⅰ 设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,等差数列 ? bn ? 的公差为 d . )

b b 由已知得: a2 ? 3 q , 3 ? 3 q2 , b1 ? 3 ,4 ? 3 ? 2d ,13 ? 3 ? 12 d , a
故?

?3q ? 3 ? 3d ?q ? 1 ? d ? ? ?? 2 ? q ? 3 或 q ? 1 (舍去) 2 ?3q ? 3 ? 12d ?q ? 1 ? 4d ? ?

所以 d ? 2 ,所以 an ? 3n , bn ? 2n ? 1
n n

┈ ┈ ┈ ┈ ┈ ┈ 6分 ┈ ┈ ┈ ┈ ┈ ┈

(Ⅱ 由题意得: cn ? ? ?1? bn ? an ? ? ?1? ? 2n ? 1? ? 3n , )

Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn

? ? ?3 ? 5? ? ? ?7 ? 9? ? ?? ? ?1?
当 n 为偶数时, Sn ? n ? 3
n ?1

n?1

? 2n ?1? ? ? ?1?n ? 2n ? 1? ? 3 ? 32 ? ?? 3n .

n ?1 ? 3 ? 3 ?n? 3 ; 2 2 2 2 n ?1 n ?1 ? 3 ? 3 ?n? 7. 2 2 2 2

当 n 为奇数时, Sn ? ? n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? 3

? 3n ?1 ? n ? 3 ,为偶数 n ? 2 2 所以 S n ? ? n ?1 .----------------------------- 14 分 ? 3 ? n ? 7 ,为奇数 n 2 ? 2
PD 20. 解: )(ⅰ (Ⅰ )因为 PA ? PD ? 1 , ? 2 ,
所以 PA2 ? AD2 ? PD2 ,即 PA ? AD .------2 分
CD 又 PA ? CD , AD , 相交于 D ,

P E A

所以 PA ? 平面 ABCD .------------------4 分 (ⅱ )当点 F 为 PC 的中点时,满足 BF // 平面 AEC . C B 证明如下: 因为 F 为 PC 的中点,过点 F 在面 PCD 内作 CE 的平行线,交 PD 于点 G , FG 连结 BG ,设 AC 与 BD 相交于点 O ,则有 BG // OE , // CE ,

D

BG 因为 FG ? BG ? G ,且 FG , 不在平面 AEC 内,所以面 FBG // /面 AEC ,
因为 BF ? 面 FBG ,所以有 BF // 平面 AEC 成立;--------------------------------9 分 (Ⅱ )因为 CD ? 面 PAD ,所以 CE 在面 PAD 上的射影即为 ED , 即 ?CED 为直线 CE 与面 PAD 所成的角, 因为 ED ?

2 , ED ? 1,所以 tan ?CED ? 2 , 3 3

11 21. 解:由题可知函数 y ? f ? x ? 的定义域为 ? 0 , ? , +?

即直线 CE 与平面 PAD 所成角的正弦值为 3 11 .--------------------14 分

2 a ? 2 x ? 1? x ? 1 a . --------2 分 1 ? 2 ? a ? 2ax ? ? 2 ? a ? x ? 1 ? f ? ? x ? ? 2a ? 2 2 2 x x x x

?

?

(Ⅰ 当 a ? ?1 时, f ? ? x ? ? )

? ? 2 x ? 1?? x ? 1? x2



令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 或 x ? 1 ; 2

令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 1 ? x ? 1 , 2

1 +? 所以 f ? x ? 的单调递减区间是 0 , 和 ?1, ? ,单调递增区间是 1 , ;--5 分 1 2 2
所以当 x ? 1 时, f ? x ? 的极小值为 f 1 ? 1 ? 3ln 2 ; 2 2 当 x ? 1 时, f ? x ? 的极大值为 f ?1? ? ?1 . --------------------7 分

? ?

? ?

??

+ ? (Ⅱ ?3 ? a ? ?2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 0 , 1 , 1 , ? , )当
1 单调递增区间是 ? 1 , , a 2
所以 f ? x ? 在 ?1,? 上单调递减,-----------------------------------9 分 3 所以 f ? x ?max ? f ?1? ? 2a ? 1 , f ? x ?min ? f ? 3? ? ? 2 ? a ? ln 3 ? 1 ? 6a . 3 所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ?
max

?

?

?

a

? ?2 ?

? f ?1? ? f ? 3? ? ?1 ? 2a ? ? ?? 2 ? a ? ln3 ? 1 ? 6a ? ? ? 3 ? ?

? 2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 .------------------------------------------11 分 3
因为存在 x1 ,2 ??1,? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? m ? ln3? a ? 2ln3 成立, x 3 所以 2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 ? ? m ? ln 3? a ? 2ln 3 ,----------------------12 分 3 整理得 ma ? 2 ? 4a . 3 又 a ? 0 ,所以 m ? 2 ? 4 ,又因为 ?3 ? a ? ?2 ,得 ? 1 ? 2 ? ? 2 , 3a 3 3a 9 所以 ? 13 ? 2 ? 4 ? ? 38 ,所以 m ? ? 38 . ------------------------15 分 3 3a 9 9 22. 解:(Ⅰ )由题意可知, p ? 1 ,故抛物线方程为 y 2 ? x ,焦点 F 1 , . ----1 分 0 2 4 设直线 l 的方程为 x ? ny ? 1 , P ? x1,1 ? , Q ? x2,2 ? . y y 4

? ?

? y2 ? x ? 2 1 由? 1 消去 x ,得 y ? ny ? 4 ? 0 . x ? ny ? ? 4 ?
所以 ? ? n2 ? 1 ? 0 , y1 ? y2 ? n .------------------------------------3 分

x 因为 x1 ? ny1 ? 1 ,2 ? ny2 ? 1 , 4 4
所以 PQ =x1 ? 1 +x2 ? 1 =x1 +x2 ? 1 =n ? y1 +y2 ? ? 1 ? 2 . 4 4 2

所以 n2 ? 1, n ? ?1 .---------------------------------------------5 分 即 所以直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 , 4 4 即 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 或 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 .-----------------------------------6 分

(Ⅱ )设直线 l 的方程为 x ? my ? x0 ? m ? 0? , P ? x1,1 ? , Q ? x2,2 ? , y y
则 M ? x2, y2 ? . ?

? y2 ? x ? 由? 消去 x ,得 y 2 ? my ? x0 ? 0 , ? x ? my ? x0 ?
因为 x0 ? 1 ,所以 ? ? m2 ? 4 x0 ? 0 , 8

y1 ? y2 ? m ,1 y2 ? ? x0 .---------------------------------------------7 分 y

方法一: 设 B ? xB ,? ,则 BM ? ? x2 ? xB , y2 ? , ? ? x1 ? xB ,y1 ? . 0 ? BP 由题意知, BM // BP , 所以 x2 y1 ? y1 xB ? ? x1 y2 ? xB y2 , 即 ? y1 ? y2 ? xB ? x1 y2 ? x2 y1 ? y 2 y2 ? y22 y1 ? ? y1 ? y2 ? ? y1 y2 . 1 显然 y1 ? y2 ? m ? 0 , 所以 xB ? y1 y2 ? ? x0 ,即证 B ? x0 , .--------------------------9 分 0 由题意知, ?MBQ 为等腰直角三角形, 所以 kPB ? 1 ,即

???? ?

??? ?

???? ??? ? ?

?

?

y1 ? y2 y ? y2 ? 1 ,也即 1 ?1, x1 ? x2 y12 ? y22
2

所以 y1 ? y2 ? 1 ,所以 ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? 1, 即 m2 ? 4x0 ? 1 ,所以 m2 ? 1 ? 4x0 ? 0 ,即 x0 ? 1 4 又因为 x0 ? 1 ,所以 1 ? x0 ? 1 .-------------------------------------------------------12 分 8 8 4

d?

2 x0 m ?1
2

?

2 x0 2 ? 4 x0

?

2 ?1? ?1? ? x ? ? 2? x ? ? 0? ? 0?
2

?

2 ?1 ? ? x ? 1? ? 1 ? 0 ?
2

? 1? ?? 6 , ? , ? 12 2 ?

? 1? 所以 d 的取值范围是 ? 6 , ? .---------------------------------15 分 ? 12 2 ?
方法二:

y 因为直线 l : ? y1 ?

y1 ? y2 ? x ? x1 ? , x1 ? x2
2 2 y1 y1 ? y2 y1 ? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? ? x1 ? y1 ? y1 y2 ? ? x0 , y1 ? y2 y1 ? y2

所以令 y ? 0 ,则 x ? x1 ?

?

?

所以 B ? ? x0 ,? . --------------------------------------------------9 分 0 由题意知, ?MBQ 为等腰直角三角形,所以 kPB ? 1 ,即
2

y1 ? y2 ? 1, x1 ? x2

所以 y1 ? y2 ? 1 ,所以 ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? 1,即 m2 ? 4x0 ? 1 , 所以 m2 ? 1 ? 4x0 ? 0 . 因为 x0 ? 1 ,所以 0 ? m2 ? 1 . --------------------------------------12 分 8 2

d?

? 1? m ? 1 m ? 1 2 m2 ? 1 2 2 x0
2 2

?1 ? m ?
m2 ? 1

2 2

?1 2

?m

2

?1? 2

?

2

m2 ? 1

? 1? ? 1 m2 ? 1 ? 24 ? 4 ? ? 6 , ? 2 12 2 ? m ?1 ?
? 6 1? , ? . -----------------------------------15 分 所以 d 的取值范围是 ? ? 12 2 ?


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