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广东省惠阳高级中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理

广东惠阳高级中学 2015-2016 学年度高二年级第一学期期中考试数学 (理)试题
参考公式:锥体的体积公式为 V =

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高。 3

一:选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.某工厂生产 A 、 B 、 C 三种不同型号的产品,产品的数量之比为 2 : 3 : 5 ,现用分层抽样 的的方法抽出样本容量为 n 的样本,样本中 A 型产品有 16 件,那么 n ? ( ) A.100 B.80 C.60 D.20 频率 /组距 2.海南岛购物免税在十一期间异常火爆,现对某商场 10 月 2 日 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图 1 所示,已知 9 时至 11 时的销售额为 5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为( A.12 万元 B。10 万元 C。8 万元 ) D。6 万元
0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05

9 10 11 12 13 14
图1

时间

3.如左下图是 2014 年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的 茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的众数和中 位数分别为( ) 7 9 A.84,,84 B.84,85 C.85,84 8 4 5 6 4 7

D.85

9

3

4.某程序框图如右图所示,该程序运行 后,输出的 x 值为 39 , 则 a =( ) A.19 D.3 5.以 (1, 0) 为圆心的圆与直线 y ? x ? m 相切于点 (0, m) ,则圆的方 程是(
2

B.9

C.4


2

A . ( x ? 1) ? y ? 1 D. ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

B . ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

C . ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

6.在空间直角坐标系中,点 A(0, 2,1), B(2,0, 2) ,点 A 关于平面 xoy

-1-

对称的点为 A ,则 A , B 两点间的距离 | A' B | 为(

'

'



A. 3

B。 4

C。 17

D。 3 2 )

7.直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等于( A. 2 3 B。 3 C。 2 ) C。 D。 1

8.抛 2 颗骰子,则向上点数不同的概率为( A.

1 4

B。

1 2

3 4

D。

5 6


9.从原点向圆 x2 ? 12 x ? y 2 ? 27 ? 0 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( A. ? B。 2? C。 4? D。 6?

10.一组数据中每个数据都减去 10 构成一组新数据,这组新数据的平均数是 2,方差是 4, 则原来这组数的平均数和标准差分别是( A.12,12 B.12,2 ) C.8,12 D.8,2 )

(1,?2)距离为 1 ,且与点 B(?2,2)距离为 2 的直线共有( 11.在坐标平面内,与点 A A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

12.记集合 A ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 16} ,集合 B ? {( x, y) | x ? y ? 4 ? 0,( x, y) ? A} 表示的平 面区域分别为 ?1 , ? 2 。若在区域 ?1 内任取一点 P ( x, y ) ,则点 P 落在区域 ? 2 中的概率为 ( )

A.

? ?2 4?

B。

3? ? 2 4?

C。

1 2?

D。

3 4

二:填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.某班有学生 48 人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为 6 的样 本 , 已 知 座 位 号 分 别 为 6, x,22, y,38,46 的 同 学 都 在 样 本 中 , 则

x ? y=

.
2

14. 设 m 在区间 [0,10] 上随机地取值, 则方程 4 x ? 4mx ? m ? 6 ? 0 有 实根的概率是_____________ 15 . 若 圆 x ? y ? 2 x ? 8 y ? 0 上 存 在 两 点 关 于 直 线
2 2

x y ? ?1 a (? a b

b 0?,

0 ) a ? b 的最小值为________________ 对称,则

16.对一位运动员的心脏跳动检测了 8 次,得到如下表所示的数据:
-2-

检测次数 检测数据 a i (次/分钟)

1 39

2

3

4

5 43

6[ 45

7 46

8 47

40 42k.C 42 o m ]

上述数据的统计分析中,一部分计算见如右图所示的程序框图(其中 a 是这 8 个数据的平均数) ,则输出的 S 的值是________ 三:解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分) 17.(本小题满分12分) 已知△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a ? 2, cos B ? (1) 若 b ? 4 , 求 sin A 的值; (2) 若△ ABC 的面积 S ?ABC ? 4, 求 b, c 的值。

3 . 5

18.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n ? k 。 (1)求 k 的值及数列 {an } 的通项公式 an ; (2)求数列 {

n } 的前 n 项和 Tn 。 an

19. (本小题满分 12 分) 分成六段 ?40,50? ,?50,60? … ?90,100? 后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回 答下列问题: (1)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全这个频率分布 直方图; (2)根据频率分布直方图,估计本次数学成绩的平均数; (3)用分层抽样的方法在分数段为 ?60,80? 的学生中抽 取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中 任取 2 人,求至多有 1 人分数在 ?70,80? 的概率。
-3-

某校从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)

20.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 600 , AB ? 2,

PD ? AD ? 1 , PD ? 底面 ABCD 。
(1)证明: PA ? BD ; (2)求三棱锥 D ? PBC 的高。
A

P

D B

C

21. (本小题满分 12 分) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将对该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据: 单价 x(元) 8 销售 y(件) 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

? ?a ?; (1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx

?? 其中( b

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nx y
i ?1 i i

n

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

i ?1 n

i

i

?x
i ?1

2

i

? nx

2

? ) ? ? y ? bx ,a

(2)预计在今后的销售中,销售与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是 4 元/ 件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)

22. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 y ? x ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都在圆 C 上。
2

(1)求圆 C 的方程;
-4-

(2)若线段 AB 为圆 C 的直径,点 P 为直线 l : 4 x ? 3 y ? 21 ? 0 上的动点,求 PA ? PB 的最小 值。 姓名____________________________试室___________________________考试座位号_____________________

??? ? ??? ?

广东惠阳高级中学 2015-2016 学年度 高二年级第一学期期中考试数学(理)试题(答卷) 题号 得分 一 选择题 二 填空题 三 17 18 19 解答题 20 21 22 总分

一:选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二:填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13____________, 14___________, 15____________,16_____________ 三:解答题(共 70 分,解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明) 17(本小题满分 12 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

原班级_____________________________

-5-

18(本小题满分 12 分)

19(本小题满分 12 分)

-6-

20(本小题满分 12 分)

P

D A B

C

21(本小题满分 12 分)

-7-

22(本小题满分 10 分)

-8-

广东惠阳高级中学 2015-2016 学年度 高二年级第一学期期中考试数学(理)试题(答案) 一:选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 D 6 C 7 A 8 D 9 B 10 B 11 D 12 B

二:填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13: 44 14:

7 10

15: 9

16: 7

三:解答题(共 70 分) 17(本小题满分12分)

3 4 , 0 ? B ? ? ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? ……………2 分 5 5 a b ? 依正弦定理 有 …………………………………3分 sin A sin B 4 2? a sin B 5 ?2 …………………………………6分 sin A ? ? b 4 5 1 1 4 4 (2) S ?ABC ? ac sin B ? ? 2c ? ? c ? 4 ……………………8分 2 2 5 5
解(1)∵ cos B ? 得c ? 5
2 2 2

……………………………………9分

∴ b ? a ? c ? 2ac cos B ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 ? ∴ b ? 17 18(本小题满分 12 分) 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? k

3 ? 17 ……………………11分 5

……………………………………12分

……………………………………1分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n ? k ) ? (2n?1 ? k ) ? 2n?1 ……………………3分 又 {an } 为等比数列,∴ a1 ? 2 ? k 适合上式 ∴ 2 ? k ? 1 ,得 k ? ?1 此时 an ? 2 (2)
n?1

……………………………………5分 ……………………………………6分

(n ? N ? )

n n ? n?1 an 2
………7分 ………8分

Tn ? 1 ?

2 3 n ?1 n ? 2 ? ... ? n ? 2 ? n ?1 ………………………………① 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n Tn ? ? 2 ? .............. ? n ?1 ? n ………………………② 2 2 2 2 2

-9-

①-②得

1 1? n 1 1 1 1 n 2 ? n ? 2 ? n ? 2 ………11分 Tn ? 1 ? ? 2 ? .............. ? n ?1 ? n ? 1 2n 2 2 2 2 2 2n 1? 2 n?2 ∴ Tn ? ? 4 ? n ?1 ………………………………………………………12分 2
19(本小题 l2 分) 解(1)分数在 ?70,80? 内的频率为

1 ? 10 ? (0.010 ? 0.015 ? 0.015 ? 0.025 ? 0.005) ? 0.3 ………………………2分
∴分数在 ?70,80? 对应矩形的高为 补全这个频率分布直方图如右图 (2)本次数学成绩的平均数为

0.3 ? 0.030 10
………4分

0.1? 45 ? 0.15 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.30 ? 75 ?0.25 ? 85 ? 0.05 ? 95 ? 71 ……………………7 分
(3) ?60,70? 内抽取 6 ?

0.15 ? 2 人,记为 a , b 0.15 ? 0.30

?70,80? 内抽取 6 ? 2 ? 4 人,记为1, 2,3, 4 …………………………………9分
从 6 人中任取 2 人共有 15 种结果:

ab, a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4,12,13,14, 23, 24,34

……………………10分

记 A ? { 至多有 1 人分数在 ?70,80? } ,则 A 包含 9 种结果:

ab, a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4
∴ P ( A) ?

……………………11分

9 3 ? 15 5

…………………12分

20(本小题 12 分) (1) 证明:∵ PD ? 底面 ABCD ,∴ PD ? BD ……1分 在 ?ABD 中, BD ? AD ? AB ? 2 AD ? AB cos60
2 2 2 0

? 1 ? 4 ? 2 ? 1? 2 ?

1 ? 3, 2

∴ BD ? 3

…………………3分

- 10 -

又 AD ? BD ? 4 ? AB ,
2 2 2

∴ AD ? BD …………………4 分

又 PD ? AD ? D , ∴ BD ? 平面 PAD ……………5 分 又 PA ? 平面 PAD , ∴ BD ? PA …………………6 分 (2)解:由(1)知: AD ? BD , ∴ BC ? BD ,且 BC ? 1 在 Rt ?BCD 中, S ?BCD ?

1 3 BC ? BD ? 2 2

……………7 分

∵ PD ? 底面 ABCD ,∴ PD ? BC 又 PD ? BD ? D , 在 Rt ?PBD 中, PB ? 在 Rt ?PBC 中, S ?PBC ? ∴ BC ? 平面 PBD ,∴ BC ? PB

PD2 ? BD2 ? 2
1 BC ? PB ? 1 2
…………………9 分

设三棱锥 D ? PBC 的高为 h ,由 VD? PBC ? VP? BCD 得

1 1 S PBC ? h ? S BCD ? PD …10 分 3 3

3 ?1 S ?BCD ? PD 3 3 ∴h ? ,∴三棱锥 D ? PBC 的高为 ………………12 分 ? 2 ? 2 S ?PBC 1 2
21(本小题 12 分) 解: (1) x ? 8.5, y ? 80
n

…………………………………2分

? ( x ? x)( y ? y) ? (?0.5) ?10 ? (?0.3) ? 4 ? (?0.1) ? 3 ? 0.1? 0 ? 0.3? (?5) ? 0.5 ? (?12) ? ?14
i ?1
n

i

i

? ( x ? x)
i ?1 i

2

? (?0.5)2 ? (?0.3)2 ? (?0.1)2 ? 0.12 ? 0.32 ? 0.52 ? 0.7 ……………4分

?? ∴b

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

?14 ? ?20 0.7

……………5分

? ? 80 ? (?20) ? 8.5 ? 250 ? ? y ? bx ∴a
∴ y 关于 x 的线性回归方程 y ? ?20 x ? 250

…………………………………6分 …………………………………7分

(2) 设产品的单价为 x 元时,销售利润为 z 元,则

z ? y( x ? 4) ? (?20x ? 250)( x ? 4) ? ?20 x2 ? 330 x ?1000(4 ? x ? 12.5) …10 分
二次函数开口向下,对称轴 x ?

33 ? 8.25 ? (4,12.5) , 4
- 11 -

∴当 x ? 8.25 时, z 取得最大值 答:为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为 8.25 元……………………12分 22. (本小题满分 10 分) 解(1)法一:曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与 x 轴的交点为 (3 ? 2 2 ,0) , 与 y 轴的交点为 (0,1) 故可设圆的圆心 C 坐标为 C (3, t ) ,则有 …………………………………1分

(3 ? 0) 2 ? (t ? 1) 2 ? [3 ? (3 ? 2 2 ) 2 ? (t ? 0) 2 ,得 t ? 1 ……………………3分
∴圆的半径为 r ?

3 2 ? (t ? 1) 2 ? 3

…………………………………4分 …………………………………5分

∴圆 C 的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9

法二:曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1与与 y 轴的交点为 (0,1) , 令 y ? 0 ,得 x ? 6 x ? 1 ? 0
2

…………………………………1分 …………………………………2分

设圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

令 y ? 0 ,得 x ? Dx ? F ? 0 ,这与 x ? 6 x ? 1 ? 0 是同一方程,∴ D ? ?6, F ? 1
2 令 x ? 0 ,得 y ? Ey ? 1 ? 0 , y ? 1 是方程其中一个根,∴ 1 ? E ? 1 ? 0 ,∴ E ? ?2

…………………………………………………………………4分 ∴圆 C 的方程为 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 …………5分
2 2 2 2

(2)圆 C 的圆心为 C (3,1) ,半径 r ? 3 ∵线段 AB 为圆 C 的直径,∴ | AC |?| BC |? r ? 3 ………………………………6分

∴ PA ? PB ? (PC ? CA) ? (PC ? CB) ? (PC ? CA) ? (PC ? CA)

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ?| PC |2 ? | CA |2 ?| PC |2 ?9 ……………………………………………8分 ??? ? | PC | 的最小值就是点 C (3,1) 到直线 l : 4 x ? 3 y ? 21 ? 0 的距离
即 | PC |min ? d ? 6

??? ?

………………………………………9分

∴ PA ? PB 的最小值为 | PC |2 min ?9 ? 6 ? 9 ? 27 ………………………………10 分
2

??? ? ??? ?

??? ?

- 12 -



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