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2010年全国高考文科数学试题及答案-北京


绝密 使用完毕前

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学( (北京卷) 数学(文) 北京卷) (北京卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页、第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考 试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后,将本试 卷和答题卡。 第Ⅰ卷(选择题 共 140 分) 一、 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项。 ⑴ 集合 P = {x ∈ Z 0 ≤ x < 3}, M = {x ∈ Z x ≤ 9} ,则 P I M =
2

(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3} ⑵在复平面内,复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应 的复数是 (A)4+8i (B)8+2i (C)2+4i (D)4+i ⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 b>a 的概率 是 (A)

4 5

(B)

3 5

(C)

2 5

(D)

1 5

⑷若 a,b 是非零向量,且 a ⊥ b , a ≠ b ,则函数 f ( x ) = ( xa + b) ? ( xb ? a ) 是 (A)一次函数且是奇函数 (B)一次函数但不是奇函数 (C)二次函数且是偶函数 (D)二次函数但不是偶函数 (5)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的 正视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该集合体 的俯视图为:

(6)给定函数① y = x 2 ,② y = log 1 ( x + 1) ,③ y =| x ? 1| ,④ y = 2 x +1 ,期中在区间(0,
2

1

1)上单调递减的函数序号是

1/8

(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④ (7)某班设计了一个八边形的班徽(如图) ,它由腰长为 1, 顶角为 α 的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成, 该八边形的面积为 (A) 2 sin α ? 2 cos α + 2 ; (C) 3sin α ? 3 cos α + 1 (B) sin α ? 3 cos α + 3 (D) 2 sin α ? cos α + 1

(8)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2, 动点 E、F 在棱 A1B1 上。点 Q 是 CD 的中点,动点 P 在棱 AD 上,若 EF=1,DP=x, A1 E=y(x,y 大于零), 则三棱锥 P-EFQ 的体积: (A)与 x,y 都有关; (C)与 x 有关,与 y 无关; (B)与 x,y 都无关; (D)与 y 有关,与 x 无关; 第Ⅱ卷(共 110 分)

二、

填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分

x≥ y = {logx2,xx,? 2.2, 右图表示的是给 (9)已知函数 2?
定 x 的值,求其对应的函数值 y 的程序框图, ①处应填写 ;②处应填写 。

(10)在 ?ABC 中。若 b = 1 , c =

3 , ∠c =

2π ,则 a= 3



(11)若点 p(m,3)到直线 4 x ? 3 y + 1 = 0 的距离为 4,且点 p 在不等式 2x + y <3 表示的平面区域内,则 m= 。 (12)从某小学随机抽取 100 名同学,将他们身高 (单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图) 。 由图中数据可知 a= 。若要从身高在 [120,130﹚,[130,140﹚,[140,150]三组内的 学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动 ,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数 应为 。

x2 y2 x2 y2 (13)已知双曲线 2 ? 2 = 1 的离心率为 2,焦点与椭圆 ? = 1 的焦点相同,那 a b 25 9
么双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 。

2/8

(14)如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。 设顶点 p(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系是

y = f ( x) ,则 f ( x) 的最小正周期为 y = f ( x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴



所围区域的面积为 。 说明: “正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方 向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转,当顶点 B 落在 x 轴上时,再以顶点 B 为中心顺 时针旋转,如此继续,类似地,正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。 三、 解答:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) = 2 cos 2 x + sin 2 x (Ⅰ)求 f ( ) 的值;

π

3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值 (16) (本小题共 13 分) 已知 | an | 为等差数列,且 a3 = ?6 , a6 = 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 = ?8 , b2 = a1 + a2 + a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式 (17) (本小题共 13 分) 如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。 EF//AC,AB= 2 ,CE=EF=1 (Ⅰ)求证:AF//平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDF; (18) (本小题共 14 分) 设定函数 f ( x ) = 1,4。 (Ⅰ)当 a=3 且曲线 y = f ( x) 过原点时,求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 无极值点,求 a 的取值范围。 (19) (本小题共 14 分) 离心率是 已知椭圆 C 的左、 右焦点坐标分别是 ( ? 2, 0) ,( 2, 0) ,
3/8

a 3 x + bx 2 + cx + d (a ? 0) ,且方程 f ' ( x) ? 9 x = 0 的两个根分别为 3

6 , 直线 3

椭圆 C 交与不同的两点 M,N,以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 (20) (本小题共 13 分) 已 知 集 合 变化时,求 y 的最大值。

S n = { X | X = ( x1 , x2 , …,xn ), x1 ∈ {0,1}, i = 1, 2, …, n}(n ≥ 2)





A = (a1 , a2 , …an , ) , B = (b1 , b2 , …bn , ) ∈ S n ,定义 A 与 B 的差为 A ? B = (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |, … | an ? b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B ) =


i ?1

| a1 ? b1 |

(Ⅰ)当 n=5 时,设 A = (0,1, 0, 0,1), B = (1,1,1, 0, 0) ,求 A ? B , d ( A, B ) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ∈ S n , 有A ? B ∈ S n ,且 d ( A ? C , B ? C ) = d ( A, B ) ; (Ⅲ) 证明: ?A, B, C ∈ S n , d ( A, B ), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数

4/8

绝密 使用完毕前 2010 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学( (北京卷) (北京卷 数学(文) 北京卷) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) ⑴ B ⑵ C ⑶ D ⑷ A ⑸ C ⑹ B ⑺ A ⑻ C 二、提空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) ⑼ x < 2 y = log 2 x ⑾ -3 ⒀ ( ±4, 0 ) ⑽ 1 ⑿ 0.030 3

3x + y = 0

⒁ 4

π +1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) ⒂(共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( ) = 2 cos

π

3

2π π 3 1 + sin 2 = ?1 + = ? 3 3 4 4

2 2 (Ⅱ) f ( x ) = 2(2 cos x ? 1) + (1 ? cos x)

= 3cos 2 x ? 1, x ∈ R
因为 cos x ∈ [ ?1,1] ,所以,当 cos x = ±1 时 f ( x ) 取最大值 2;当 cos x = 0 时,

f ( x) 去最小值-1。
⒃(共 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 = ?6, a6 = 0 所以 ?

?a1 + 2d = ?6 ?a1 + 5d = 0

解得 a1 = ?10, d = 2

所以 an = ?10 + ( n ? 1) ? 2 = 2n ? 12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 = a1 + a 2 + a3 = ?24, b = ?8 所以 ?8q = ?24 即 q =3

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 S n = ⒄(共 13 分)

b1 (1 ? q n ) = 4(1 ? 3n ) 1? q

5/8

证明: (Ⅰ)设 AC 于 BD 交于点 G。因为 EF∥AG,且 EF=1,AG= 所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以 AF∥EG 因为 EG ? 平面 BDE,AF ? 平面 BDE, 所以 AF∥平面 BDE

1 AG=1 2

(Ⅱ)连接 FG。因为 EF∥CG,EF=CG=1,且 CE=1,所以平行四边形 CEFG 为菱形。所以 CF⊥EG. 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 BD⊥AC.又因为平面 ACEF⊥平面 ABCD,且平面 ACEF∩平面 ABCD=AC,所以 BD⊥平面 ACEF.所以 CF⊥BD.又 BD∩EG=G,所以 CF⊥平面 BDE. (18)(共 14 分) 解:由 f ( x ) =

a 3 x + bx 2 + cx + d 得 f ′( x) = ax 2 + 2bx + c 3

因为 f ′( x) ? 9 x = ax 2 + 2bx + c ? 9 x = 0 的两个根分别为 1,4,所以 ? (*) (Ⅰ)当 a = 3 时,又由(*)式得 ? 解得 b = ?3, c = 12 又因为曲线 y = f ( x) 过原点,所以 d = 0 故 f ( x ) = x 3 ? 3 x 2 + 12 x (Ⅱ)由于 a>0,所以“ f ( x ) =

?a + 2b + c ? 9 = 0 ?16a + 8b + c ? 36 = 0

?2b + c ? 6 = 0 ?8b + c + 12 = 0

a 3 x + bx 2 + cx + d 在(-∞,+∞)内无极值点”等价于 3

“ f ′( x ) = ax 2 + 2bx + c ≥ 0 在(-∞,+∞)内恒成立” 。 由(*)式得 2b = 9 ? 5a, c = 4a 。
2 又 ? = (2b) ? 4ac = 9( a ? 1)( a ? 9)

6/8

解?

?a > 0 ?? = 9(a ? 1)(a ? 9) ≤ 0

得 a ∈ [1,9]

即 a 的取值范围 [1,9] (19) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为

c 6 = ,且 c = 2 ,所以 a = 3, b = a 2 ? c 2 = 1 a 3

x2 所以椭圆 C 的方程为 + y2 = 1 3
(Ⅱ)由题意知 p (0, t )( ?1 < t < 1)

?y = t ? 2 由 ? x2 得 x = ± 3(1 ? t ) 2 ? + y =1 ?3
所以圆 P 的半径为 3(1 ? t )
2

解得 t = ±

3 2

所以点 P 的坐标是(0, ±

3 ) 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆 P 的方程 x 2 + ( y ? t ) 2 = 3(1 ? t 2 ) 。因为点 Q ( x, y ) 在圆 P 上。所以

y = t ± 3(1 ? t 2 ) ? x 2 ≤ t + 3(1 ? t 2 )
设 t = cos θ , θ ∈ (0, π ) ,则 t + 3(1 ? t ) = cos θ + 3 sin θ = 2sin(θ +
2

π
6

)

当θ =

π
3

,即 t =

1 ,且 x = 0 , y 取最大值 2. 2

(20)(共 13 分) (Ⅰ)解: A ? B = ( 0 ? 1 , 1 ? 1 , 0 ? 1 , 0 ? 0 , 1 ? 0 ) =(1,0,1,0,1)

d ( A, B) = 0 ? 1 + 1 ? 1 + 0 ? 1 + 0 ? 0 + 1 ? 0 =3
(Ⅱ)证明:设 A = ( a1 , a2 , ???, an ), B = (b1 , b2 , ???, bn ), C = (c1 , c2 , ???, cn ) ∈ S n 因为 a1 , b1 ∈ {0,1} ,所以 a1 ? b1 ∈ {0,1}(i = 1, 2, ???, n) 从而 A ? B = ( a1 ? b1 , a2 ? b2 , ??? an ? bn ) ∈ S n 由题意知 ai , bi , ci ∈ {0,1}(i = 1, 2, ???, n)

7/8

当 ci = 0 时, ai ? ci ? bi ? ci = ai ? bi 当 ci = 1 时, ai ? ci ? bi ? ci = (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) = ai ? bi 所以 d ( A ? C , B ? C ) =

∑ a ?b
i =1 i

n

i

= d ( A, B )

(Ⅲ)证明:设 A = ( a1 , a2 , ???, an ), B = (b1 , b2 , ???, bn ), C = (c1 , c2 , ???, cn ) ∈ S n

d ( A, B ) = k , d ( A, C ) = l , d ( B, C ) = h
记 0 = (0, 0, ???0) ∈ S n 由(Ⅱ)可知

d ( A, B) = d ( A ? A, B ? A) = d (0, B ? A) = k d ( A, C ) = d ( A ? A, C ? A) = d (0, C ? A) = l d ( B, C ) = d ( B ? A, C ? A) = h
所以 bi ? ai (i = 1, 2, ???, n) 中 1 的个数为 k, ci ? ai (i = 1, 2, ???, n) 中 1 的个数为 l 设 t 是使 bi ? ai = ci ? ai = 1 成立的 i 的个数。则 h = l + k ? 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数 即 d ( A, B ), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数。

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