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2017版高考数学人教版(鲁、京、津专版理)一轮复习课件第三章 导数及其应用 3.1_图文

第三章 导数及其应用 §3.1 导数的概念及运算 内容 索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分 基础知识 自主学习 1 知识梳理 f?x0+Δx?-f?x0? Δy , (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是Δ lim = lim , → → x 0Δx Δx 0 Δx 我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y? |x=x0 , f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim Δx→0 Δx 即 f′(x0)= lim = . → Δx 0 Δx (2)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在 (a , b)内构成一个新函数,这个函数称为函数 y=f(x) 在开区间内的导函 1.导数与导函数的概念 数.记作f′(x)或y′. 答案 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处的切线的斜率k,即k= f′(x0) . 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x 导函数 f′(x)= 0 f′(x)= αxα-1 f′(x)= cos x 答案 f(x)=cos x f(x)=ex f(x)=ax(a>0,a≠1) f(x)=ln x f′(x)= -sin x f′(x)= ex f′(x)= axln a f′(x)= 1 x f(x)=logax(a>0,a≠1) 1 f′(x)= xln a ____________________ 答案 4.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) ; (2)[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ; f′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? 2 [ g ? x ? ] (3)[ ]′=____________(g(x)≠0). g?x? 5. 复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x)) 的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′ ux′ = yu′· ,即y对x的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的乘积. 答案 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( × ) (2)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (5)函数f(x)=sin(-x)的导数是f′(x)=cos x.( × ) 答案 2 考点自测 1 3 1. f′(x)是函数 f(x)= x +2x+1 的导函数,则 f′(-1)的值为( B ) 3 7 A.0 B.3 C.4 D.- 3 1 3 解析 ∵f(x)=3x +2x+1,∴f′(x)=x2+2. ∴f′(-1)=3. 1 2 3 4 5 解析答案 2. 如图所示为函数 y = f(x) , y = g(x) 的导函数的图象, 那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( ) 1 2 3 4 5 解析答案 3 3.有一机器人的运动方程为 s=t + t (t 是时间,s 是位移),则该机器人在 2 时刻 t=2 时的瞬时速度为( D ) 19 A. 4 17 B. 4 15 C. 4 13 D. 4 1 2 3 4 5 答案 π π 4.设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′(2)sin x+cos x,则 f′(4)= - 2 ________. π 解析 因为 f(x)=f′( )sin x+cos x, 2 π 所以 f′(x)=f′( )cos x-sin x, 2 π π π π 所以 f′( )=f′( )cos -sin , 2 2 2 2 π 即 f′(2)=-1,所以 f(x)=-sin x+cos x. f′(x)=-cos x-sin x. π π π 故 f′(4)=-cos4-sin4=- 2. 1 2 3 4 5 解析答案 1 5.(2015· 陕西)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y=x (x>0)上点 P 处 x (1,1) 的切线垂直,则 P 的坐标为________. 解析 y′=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1, 1 1 设 P(m,n),y=x(x>0)的导数为 y′=-x2 (x>0), 1 1 曲线 y= (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2=- 2 (m>0), x m 因为两切线垂直,所以k1k2=-1,所以m=1,n=1, 则点P的坐标为(1,1). 1 2 3 4 5 解析答案 返回 题型分类 深度剖析 题型一 导数的运算 例1 求下列函数的导数: (1) y=(3x2-4x)(2x+1); 解 ∵y=(3x2-4x)(2x+1) =6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x, ∴y′=18x2-10x-4. (2) y=x2sin x; 解 y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. 解析答案 (3)y=3xex-2x+e; 解 y′=(3xex)′-(2x)′+e′ =(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xexln 3+3xex-2xln 2 =(ln 3+1)· (3e)x-2xln 2. 解析答案 ln x (4)y= 2 ; x +1 ?ln x?′?x2+1?-ln x?x2+1?′ 解 y′= ?x2+1?


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