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2019版高中(北师大版)数学必修4(45分钟课时作业与单元测试卷):18平面向量数量积习题课 Word版含解析

2019 版数学精品资料(北师大版)
18 平面向量数量积习题课 时间:45 分钟 满分:80 分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题:(每小题 5 分,共 5×6=30 分) 1.已知平面向量 a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b 与 a 垂直,则 λ=( A.-1 B.1 C.-2 D.2 答案:A )

解析:a=(1,-3),b=(4,-2),∴λa+b=λ(1,-3)+(4,-2)=(λ+4,-3λ-2),∵ λa+b 与 a 垂直,∴λ+4+(-3)(-3λ-2)=0,∴λ=-1,故选 A. 2.设向量 a,b 均为单位向量,且|a+b|=1,则 a 与 b 的夹角为( ) π π A. B. 3 2 2π 3π C. D. 3 4 答案:C 1 2π 解析:∵|a+b|=1,∴|a|2+2a· b+|b|2=1,∴cos〈a,b〉=- ,∴〈a· b〉= . 2 3 3. 已知向量 a=(3,4), b=(6, t), 若 a 与 b 的夹角为锐角, 则实数 t 的取值范围是( ) A.(8,+∞) 9 ? B.? ?-2,8? 9 ? C.? ?-2,+∞? 9 ? D.? ?-2,8?∪(8,+∞) 答案:D 9 解析:由题意,得 a· b>0,即 18+4t>0,解得 t>- .又当 t=8 时,两向量同向,应去掉, 2 故选 D. 4.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=120° ,∠C=150° ,且 AB=3,BC=1,CD=2, 则 AD 的长所在的区间为( )

A.(2,3) B.(3,4) C.(4,5) D.(5,6) 答案:C → → → → → → → → 解析:由向量的性质,知AD=AB+BC+CD,其中AB与BC的夹角为 60° ,BC与CD的夹 → → → → → → → → → → → 角为 30° , AB与CD的夹角为 90° , 于是|AD|2=|AB+BC+CD|2=|AB|2+|BC|2+|CD|2+2AB· BC 1 3 → → → → +2BC· CD+2AB· CD=9+1+4+2×3×1× +2×1×2× +0=17+2 3∈(16,25),所以 2 2 AD∈(4,5). → → 5. 在△ABC 中, AB=BC=4, ∠ABC=30° , AD 是边 BC 上的高, 则AD· AC的值等于( )

A.0 B.4 C.8 D.-4 答案:B → → → → 解析: 因为∠ABC=30° , AD 是边 BC 上的高, 所以∠BAD=60° , AD=2, 则AD· AC=AD· (BC → → → → → -BA)=AD· BC-AD· BA=-2×4×cos120° =4,所以选 B. 6.已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)· (b-c)=0,则|c| 的最大值是( ) A.1 B.2 2 C. 2 D. 2 答案:C 解析:由(a-c)· (b-c)=0 得 a· b-(a+b)· c+c2=0,即 c2=(a+b)· c,故|c|· |c|≤|a+b|· |c|, 即|c|≤|a+b|= 2,故选 C. 二、填空题:(每小题 5 分,共 5×3=15 分) 7.已知向量 a,b 满足 b=(1, 3),b· (a-b)=-3,则向量 a 在 b 方向上的投影为 __________. 1 答案: 2 12+? 3?2=2 且由 b· (a-b)=-3,解得 a· b=1,所以 a 在 b 方向上的投 a· b 1 影为:|a|cos<a,b>= = . |b| 2 → → 8.△ABO 三顶点坐标为 A(1,0),B(0,2), O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点, 满足AP· OA → → → → ≤0,BP· OB≥0,则OB· AB的最小值为 __________. 答案:3 → → 解析:∵AP· OA=(x-1,y)· (1,0)=x-1≤0,∴x≤1.∴-x≥-1, → → ∵BP· OB=(x,y-2)· (0,2)=2(y-2)≥0,∴y≥2. → → ∴OP· AB=(x,y)· (-1,2)=2y-x≥3. 9.已知向量 a=(1,1),b=(-1,1),设向量 c 满足(2a-c)· (3b-c)=0,则|c|的最大值为 __________. 答案: 26 1 5 解析:设 c=(x,y),则由题意得(2-x)· (-3-x)+(2-y)· (3-y)=0,即(x+ )2+(y- )2 2 2 13 = ,所以|c|的最大值为直径 26. 2 三、解答题:(共 35 分,11+12+12) → → → → 10.已知在四边形 ABCD 中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且 a· b=b· c=c· d=d· a, 判断四边形 ABCD 的形状. → → → → 解析:在四边形 ABCD 中,AB,BC,CD,DA四个向量顺次首尾相接,则其和向量为 零向量,故有 a+b+c+d=0, ∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2, 即|a|2+2a· b+|b|2=|c|2+2c· d=|d|2. 又 a· b=c· d,∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.① 解析:|b|=

同理有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2,② 由①②可得|a|=|c|,|b|=|d|,即此四边形两组对边分别相等. 故四边形 ABCD 为平行四边形. 另一方面,由 a· b=b· c,有 b· (a-c)=0,由平行四边形 ABCD 得 a=-c,代入上式得 b· (2a)=0,即 a· b=0,故有 a⊥b,即 AB⊥BC. 综上,四边形 ABCD 是矩形. → → 11.已知在△ABC 中,AB=(2,3),AC=(1,k),且△ABC 是直角三角形,求实数 k 的 值. → → 解析:(1)若∠BAC=90° ,即 AC⊥AB,即AC· AB=0, 2 从而 2+3k=0,解得 k=- ; 3 → → (2)若∠BCA=90° ,即 AC⊥BC,即AC· BC=0, → → → 而BC=AC-AB=(-1,k-3), 3± 13 故-1+k(k-3)=0,解得 k= ; 2 → → (3)若∠ABC=90° ,即 AB⊥BC,即AB· BC=0, → 而BC=(-1,k-3), 11 故-2+3(k-3)=0,解得 k= . 3 2 3± 13 11 综合可知,k=- 或 k= 或 k= . 3 2 3 12.已知 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a 与 b 满足|ka+b|= 3|a-kb|,其中 k>0. (1)用 k 表示 a· b; (2)求 a· b 的最小值,并求出此时 a,b 的夹角. 解析:(1)将|ka+b|= 3|a-kb|两边平方,得|ka+b|2=( 3|a-kb|)2, k2a2+b2+2ka· b=3(a2+k2b2-2ka· b), ∴8ka· b=(3-k2)a2+(3k2-1)b2, ?3-k2?a2+?3k2-1?b2 a· b= . 8k ∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), ∴a2=1,b2=1, 3-k2+3k2-1 k2+1 ∴a· b= = . 8k 4k k2+1 2k 1 (2)∵k +1≥2k(当且仅当 k=1 时等号成立),即 ≥ = , 4k 4k 2 1 ∴a· b 的最小值为 . 2
2

设 a,b 的夹角为 γ,则 a· b=|a||b|cosγ. 又|a|=|b|=1, 1 ∴ =1×1×cosγ, 2 ∴γ=60° ,即当 a· b 取最小值时,a 与 b 的夹角为 60° .



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