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更高更妙的物理冲刺全国高中物理竞赛-专题8-功与能


? 方法 A
利用图象求功之方法适用于当力对位移的关 系为线性时;或在表示力对位移关系的F-s示功图 中F(s)图线与s轴围成的图形“面积”有公式可 依时;因为在F-s示功图中,这种“面积”的物理 意义就是功的大小. F

W 0

s x

锤子打木桩,锤每次从同一高度落下,每次均有80%的能 量传给木桩,且木桩所受阻力f与插入深度x成正比,试求木桩每次打入的深度 比.若第一次打击使木桩插入了全长的1/3,全部插入须锤击多少次?

专题8-例1

本题中的阻力f为一与位移x成正比的变力,即f=kx

图中各阴影“面积” 表示第1、2、F 3……次锤击中,木桩克服阻力做 的功,数值上等于锤传给木桩的 能量,设为W0.
由图

示功图

0

W0

W0 W0

……
x l

2 2 2 2 x1 : x 2 : x 3 :? : x n ? W0 : 2W0 : 3W0 ? : nW0

x1 x2 x3

x1 : x2 : x3 :? : xn ? 1 : 2 : 3 ? : n
? x1 : ? x 2 : ? x 3 : ? : ? x n ? 1 :
当xn=l时,由

?

x1 : xn ? 1 : n

2 - 1 : 3 ? 2 ?: n ? n ? 1 l 3 ? 1 n?9 次 l n

??

? ?

?

? ?

某质点受到F=6x2的力的作用,从x=0处移 专题8-例2 到x=2.0 m处,试求力F做了多少功?
本题中的变力力F与位移x成F=6x2关系,F-x图线为抛物线

图中 “面积” 表示F力做的功 “面积” 由阿基米德公式 2 S弓 ? ? 底 ? 高 3 由示功图得F力做的功 1 W ? S 矩 ? S弓 2
1 2 ? ? ? ? 2 ? 24 ? ? ? 4 ? 24 ? J 2 3 ? ?

示功图
F/N
24

W 0
2

x/m

? 16 J

如图所示,一质量为m,长为l的柔软绳索,一部分平直地放在 桌面上,另一部分跨过桌面边缘的光滑定滑轮下垂,柔绳与桌面间的摩擦因数为 μ.⑴柔绳能由静止开始下滑,求下垂部分长度至少多长?⑵由这一位置开始运动, 柔绳刚离开桌面时的速度多大?

x0

⑴设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x0,则由 ? m m x

⑵柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面,由动能定理

l

g ? ? ? l ? x0 ? 1

l

g x0min ?

1? ?

l

WG ? W f ?

其中,重力功等于绳重力势能减少 WG m 摩擦力为线性变力: F f ? ? xg

2

mv

2

mg x0 m ll ? lg ? x0 g 2 l 2l l 2
Ff
?

?
l

2

2 ? m0 x

?

Wf ?

? mg
2 l2

v ?
2

g l 2 ? x0 l

?

? ? ? g ?l ? x
gl 1? ?
l

? l ? x0 ?

2

l

示功图
m

0

?

2

? l ? x0 ? g
Wf

v ?

0

x l-x0

一质点的质量为m,被固定中心排斥,斥力的大小 F=μmr,其中r为质点离开此中心的距离.在开始时,r0=a,v=0,求 质点经过位移a时所达到的速度大小. 斥力为线性变化力!

2 ? ma

F

示功图

对示功图求梯形阴影“面积” ? ma
W ? 1 2 2 对质点经过位移a的过程,由动能定理

? m ? a ? 2a ? ? a ?

3

? ma

2

WF 0 r a a

3 2

? ma ?
2

1 2

mv

2

v ? a 3?

跳水运动员从高于水面H=10 m的跳台自由落下,运动员的质 量m=60 kg,其体形可等效为长度l=1.0 m、直径d=0.30 m的圆柱体,略去空气 阻力,运动员入水后水的等效阻力F作用于圆柱体下端面,F量值随入水深度y变化 如图,该曲线近似为椭圆的一部分,长轴和短轴分别与OY和OF重合,为了确保运 动员绝对安全,试计算水池中水的h至少应等于多少?

对全过程运用动能定理:

F

mg ? H ? h ? ? W浮 ? W阻 ? 0 ? 0 5mg/2 其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆 1 5mg “面积” : W阻 ? ? ? ?h 0

示功图
W阻

入水过程中,浮力随入水深度y作线性变化 F浮 ? ? g

4

2

?d2
4

Y
h

y

? W浮 ? ? gl ? ? ? h?l? ? g? ld 2 4 ?2 ? 2 4 ?d ? 1 ? 5? m ? 10 ? h ? ? ? l mh ? 0 ?h? ?? 4 ? 2? 8

?d2 ? l

F浮

示功图
1 ? gl? d 2 ? W浮 ? ? ?l 2 4

h?

160 ? 3?

16 ? ? ? 1 ?

m

? 4.9 m

0

Y

l

? 方法 B
如果在某一位移区间,力随位移变化的关系 为F=f(s) ,求该变力的功通常用微元法,即将位 移区间分成n(n→∞)个小区间s/n,在每个小 区间内将力视为恒定,求其元功Fi· ,由于功 s/n 是标量,具有“可加性”,那么总功等于每个 小区间内元功之代数和的极限,即变力在这段 n 位移中所做的功为: W ? lim ? W i
n? ? i ?1

在数学上,确定元功相当于给出数列通项 式,求总功即求数列n项和当n→∞时的极限.

半径等于r的半球形水池,其中充满了水,把池内 的水完全吸尽,至少要做多少功? 沿着容器的竖直直径,我们将水池内的水均匀细分成n 层,每一元层水的高度 ?h ? r

专题8-例3

每一层水均可看作一个薄圆柱,水面下第i层 2 水柱底面的半径 ? r? 2
ri ? r ??i ? ? n?

n

1 2

i

?

r

r ri

这层水的质量

将这层水吸出至少应做的元功是 Wi 将池水吸尽至少要做的功是
? i i3 ? W ? lim ? W i ? ? g? r 4 ? 2 ? 4 ? n? ? n ? ?n i ?1 ? ?
n

2 ? ? r? ? r m i ? ?? ? r 2 ? ? i ? ? ? ? n? ? n ? ? ?

2 ? r ? ? r r ? 2 ? ?? ? r ? ? i ? ? ? g ? i n ? n? ? n ? ? ?

? ? g? r

1 3 3 3 ?1 ? ? g? r lim ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? 4 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 3 n ?? ? n n 2 2 1 ? 1 n ? n ? 1? 1 n ? n ? 1? ? 4 ? ?
4

?

?

n? ?

lim

?n ?

2

?

2

?

n

4

?

4

? ?

?

4

? g? r

? ? ?

4

一个质量为m的机动小车,以恒定速度v在半径为 R的竖直圆轨道绕“死圈”运动.已知动摩擦因数为μ,问在小车从 最低点运动到最高点过程中,摩擦力做了多少功? y 小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最 高点的过程中,由于轨道支持力是变力, B ? NB 故而摩擦力为一随位置变化的力! ? NA n ? 2 当小车运动在A处元圆弧段时 x v ? O? N ? mg sin ? ? m

专题8-例4

B

B

A

?v R ? f A ? ? N A ? ? m ? ? g sin ? A ? ? ? R ? ? 摩擦力在A处元功为
2

A

A

n

mg A
?A

当小车运动在与A关于x轴对称的B处元圆弧段时

? v2 ? ? R W A ? ? m ? g sin ? A ? ?? ? R? n ? ?

mg

?i ? i ?

?
n

N B ? mg sin ? B ? m

v2 R

续解

? v2 ? f B ? ? N B ? ? m ? ? g sin ? B ? ? ? R ? ? 摩擦力在B处元功为 2

查阅

v2 ? R Wi ? W A ? W B ? 2 ? ? m ? R n 摩擦力在半圆周轨道上的总功 n / 2 1 W ? lim ? ? 2 ?? mv 2 ? n? ? i ?1 n
计算水平直径以下段摩擦力的功:
n/2

小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为

?v ? ?R WB ? ? m ? ? g sin ? B ? ? ? R ? n ? ?

?? mv

2

? v2 ? ? ?R W 下 ? lim ? ? m ? ? g sin i ? ? ? R n? ? n? n i ?1 ? ? 2 n/2 n/2 v ?R ? ? ?R ? ? ? ?m ? ? lim ? ? ? mg sin i ? ? n? ? R n n? n i ?1 i ?1 ?

续解

n/2 v2 ? R ? ? ?R ? W下 ? ? ? m ? ? lim ? ? ? mg sin i ? ? n ?? R n n? n i ?1 i ?1 ? 2 n ?? mv 2 ? ? n ? ? n ?? mv ? mgR lim ? sinn / 2? sin 2 ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? mgR lim ? ? sin i n ? ? n ?? ? 2 n 2 n? n n ?? n ? ? 2 n n ?? 2 ? n n i ?1 sin ? ? sin ? 2 n ?? mv ? 4 n 4 n ? ? ? ? mgR lim ? ? n? ? n 2 n n/2

W下 ?

2n n ? n?2 ? 2 sin ? ? sin ? n ?? mv 2 4 n 4 n ? ? ? ? mgR lim ? n? ? 2 n sin 三角 数 列 a ? sin n? 前 n项 和 2 n 2n

sin

?? mv
2

? ? mgR

水平直径以上段摩擦力的功:

? n n?1 sin ? sin ? 2 2 2 nS ? 2 n

W上 ?

?? mv sin ?
2

2 ? ? mgR

将木板在水平地面上绕其一端转动角α,求所需要 做的功.木板长度为L,质量为M,木板与地面之间的动摩擦因数 为μ.

F fi ? ? g n L 元摩擦力做功的位移为 xi ? i ? ? n 摩擦力对i段做的元功为

将板沿板长均分为n(n→∞)等份 M 各元段摩擦力为
i
1 2

L n

?

Wi ? ?

M n

g?i

L n

?

i

?

xi

n 则对木板的功 n 1 M L W ? lim ? ? ? g ? i ? ? ? MgL? lim ? i 2 n? ? n ?? n n i ?1 i ?1 n 1 1 n ? n ? 1? ? ?? MgL ? ? MgL? lim 2 ? n ?? n 2

从一个容器里向外抽空气,直到压强为p.容器上 有一小孔,用塞子塞着.现把塞子拔掉,问空气最初以多大速率冲 进容器?设外界大气压强为p0,大气密度为ρ.

设小孔截面积为s,打开塞子 后孔外侧厚度为Δx的一薄层空气 在内、外压强差作用下冲入容器, 获得速度v0,由动能定理:

p0
p

s
Δx

1 2 ? P0 ? P ? S ? ? x ? ? S ? ? x ? v 2
v0 ? 2 ? p0 ? p ?

?

? 方法 C

这种求功方法依据功对能量变化的量度关系, 只须了解初、未能量状态,得到能量的增量便 是相应的功量.

W ? ?E

专题8-例5

如图所示,一质量分布均匀的粗绳长2a,质量为2m, 两端悬于水平天花板上相距为a的两点而悬垂静止,其重心位于 天花板下方b处.现施一力于绳之最低点C并将绳拉直至D点,求拉 力所做的功.

由于拉力做功,使绳之重心高度变化因而重力势 能变化,重力势能的增量即为所求拉力功量.
由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花

h?

a 2

? cos 30 ?

?

3 4

a
h C h D

? 3 ? ? E p ? 2 mg ? b ? h ? ? 2 mg ? b ? a? ? 4 ? ? ? 由功能原理,拉力功为

重力势能增加了

? 3 W ? ? E p ? 2 mg ? b ? ? 4 ?

? a? ? ?

专题8-例6 一质量为m的皮球,从高为h处自由下落(不计空气
阻力),反弹起来的高度为原来的3/4,要皮球反弹回h高处,求 每次拍球需对球做的功 在球与地面接触期间,地面对球的弹力对球做负功, 使球的动能减少.地面对球的弹力功是变力功! 3 1 从h高度自由下落再反弹 W1 ? mgh ? mgh ? mgh 的全过程,地面弹力功W1: 4 4 从h高度拍下再反弹原高 W2 ? W拍 ? mgh ? mg h ? W拍 的全过程,地面弹力功W2:

牛顿碰撞定律:若两球碰撞前速度依次为v10、v20,碰 撞后速度为v1、v2,则碰撞后两者的分离速度v2- v1与 碰撞前两者的接近速度v20- v10成正比,比值e称恢复 系数(或反弹系数),比值由两者的质料决定,即

e?

v 2 ? v1

v 20 ? v10

续解

从h高下落未速度即与地接近速度:

由 mgh ?

1 2

2 mv自接近

v自接近 ?
v拍接近 ?

2 gh
2W拍 m
3 gh 2

由W拍 ? mgh ?

1 2

2 mv拍接近

? 2 gh

从地面反弹的起跳速度即与地分离速度: 3h 1 2 由 mg ? mv自分离 v自分离 ? 4 2

由 mgh ?

1 2

2 mv拍分离 v拍分离 ?

2 gh

同一球与同一地面碰撞,恢复系数相同:

e?

v自分离 v自接近

?

v拍分离 v拍接近

3 gh 2 ? 2 gh

2 gh 2W拍 m ? 2 gh

W拍 ? mgh 3

1

如图所示,有两个薄壁圆筒.半径为R的圆筒绕自己的轴以角速 度ω转动,而另一个圆筒静止.使两圆筒相接触并且它们的转轴平行,过一会儿, 由于摩擦两圆筒开始做无滑动的转动.问有多少机械能转换成内能?(两圆筒的 质量分别为m1、m2)

这种变化是因为两者间有大小 相等的一对力作用,这对力做功使 系统机械能(动能)转换成内能 !
对系统,由动能定理:

根据题意,一段时间内m1线速度从 ωR→ ω1R,而m2线速度从0 → ω2r= ω1 R

ω R

ω1

m1

m2

Q?

1 2

m1 ? R? ? ?
2

1 2

? m1 ? m2 ?? R?1 ? ?
2

又,由牛顿第二、三定律,一对力大小相等:

2 ? m1 ? m 2 ?

m1 m 2

R?

2 2

F21 ? m1 ?

? ? R ? ?1 R ?
t

?1 R ? ? m1 ? ? F12 ? m 2 1 m1 ? m 2 t

功能关系基本认识 ?功是力的空间积累作用,能是对物体运动的一种量
度.功的作用效应是使物体的能量状态发生变化,做功 的过程就是物体能量转化的过程,转化了的能量都可以 由做功的多少来量度,这是我们对功与能之间关系的基 本认识,是我们从能量角度解决运动问题的依据.

功能关系的具体认识 ?借助功与能的具体对应关系,对运
⑴选定研究的对象与过程;

功能对应 规律

动的功的量度问题作出正确的操作.
⑵确定有哪些力对研究对象做了正功或负功,以代数 和的形式完成定理中等号左边对合外力的功的表述; ⑶分析所研究过程的初、未两状态的动能,完 示例 成等号右边对动能变化的表述 ;

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※外力(可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其它 力)做的总功量度动能的变化: ? W ? Ekt ? Ek 0 动能定理

※重力功量度重力势能的变化:W g ? E pg 0 ? E pgt
※弹力功量度弹性势能的变化:WQ ? E pq 0 ? E pqt ※引力功量度引力势能的变化: WG ? E pG 0 ? E pGt ※电场力功量度电势能的变化: WQ ? E pe 0 ? E pet ※非重力弹力功量度机械能的变化:

势能定理

W非 ? Et ? E0
(W非可以是摩擦力功、电场力功、安培 力功或其它非重力、弹簧弹力的功)

功能原理

如图示,一水塔的蓄水箱底离地面的高度H0=20 m, 其横断面是半径R=2 m的圆.储水深h=1 m,如果用装在高H1=5 m 处、截面积为2 cm2的水龙头放水,问需要多久才能将水放完? 根据题意,水箱中的水从底部截面积为s的 n 小孔流出,若流速为vi,则时间ti内的水流 量Qi= vi ti S;总储水全部流尽的时间应为 ? n n Q i i t ? ? ti ? ? v ? i ?1 i ? 1 Sv i 2 1 2 h h? ?2 小孔流gh ??R ? ? ?2 g ? H 0 ?i h ? H 1 ? i ? n hi 速? n? ? R2h 每层水放出时间的通项式为 n

专题8-例7

h? ? 2 g ? H 0 ? h ? H1 ? i ? ? S n? ? 2 全部水箱储水放尽的总需时为

t ? lim

n? ?

?

n

?R h n

i ?1

h? ? 2 g ? H 0 ? h ? H1 ? i ? ? ? S n? ?

续解

?

? R2h
S

?n? 2 g n? ?
lim
i ?1

n

1

1 h? ? ? H 0 ? h ? H1 ? i ? ? n? ? n
1 1
i ?1

?

? R2h
S 2 g ? H 0 ? h ? H1 ?

?n? n? ?
lim
? 1 2

1 ? 1 ? ? lim ? ? ? 1 ? i ? ? n? ? n ? 16 n ? S 2g i ?1
n

?

? ? h ?1? i ? ? ? n ? H 0 ? h ? H1 ? ? ? ?

1 ? 1 1 ? ? lim ? ? ? 1 ? i ? ? 2 16 n ? S 2 g n? ? i ?1 n ? n ? ? ? 1 1 n ?1 ? n ? ? lim ? 2 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ? ? ?1 ? 32 n ? ? i ? 1 n 2 S 2g ? ?
n

?

?1 ? x ? ? 1 ? ? x ? ?1 ? x ? 1?
3

?

? 65 1 ? ? ? ? ? 1? ? ?4 ? 20 64 64 ? 2 ? 10 S 2g ?
?

? 3.6 ? 10 s
示例

返回

1 2 P水 S ? ? x ? ? 水 S ? ? x ? v 2 P水 ? ? 水 gH

设小孔处一小片厚Δx、面积S的液 片,在内外压力之合力作用下获得 速度v而离开小孔,由动能定理:

PP 0

P+P+P水 P0 水

P0

1 2 ? P ? P0 ? S ? ? x ? ? 水 gH ? S ? ? x ? ? 水 S ? ? x ? v 2 ? P ? P0 ? 1 2 v? 2 ? gH ? ? P ? P0 ? ? 水 gH ? ? 水 v ? ? ? 2 ? 水 ?

v ? 2 gH

质量为m的小球以某一初速度竖直上抛,若运动中所 受阻力Ff=kv ,最大阻力为重力的0.44倍,试求小球上升的最大高度 H及落回抛出点时的速度vt.

专题8-例8 2

本题通过元过程的动能定理,用微元法求得终解! 本题研究过程中有重力功与阻力功,其中阻力功 为耗散功,且为一按指数规律变化的力!
取上升过程中的某一元过程:该过程小球上升了高度H/n(n→ ∞),速度 从vi减少为vi+1,各元过程中的阻力可视为丌变为 合外力

根据动能定理,对该元过程有

Fi ? mg ? kv i2 ?

F fi ? kv i2

?

mg ?

kv i2

?

?

H

即 对该式变形有

v i2

n 2 2 ? vi ?1

?

1

m v i2 ? v i2? 1

?

?

1? ? lim ? 1 ? ? ? e x ? ?? ? x?
1? mg ? kv i2? 1 mg ? kv i2 mg ? kv i2? 1 ? 2 mg ? kv i ? 2 kH nm

x

mg ? kv i2 ? ?mg ? kv i ?? 1 ? mg ? kv i21 ?
2

mg ?

kv i2

?

2H nm

mg ? kv 2

?

2 kH nm

1?

2 kH nm 续解



mg ? kv i2? 1 mg ? kv i2

? 1?

2 kH

知 在各相同的上升高度H/n微元中,合外 nm 力大小成等比数列递减、因而动能的增 量是成等比数列递减的,其公比为
2 kH ? ? 2 kH ? ? ?1? ? ? ?1? ? nm ? ? nm ? ?
? ? ? ?
n

? 则? ? ?

m g ? kv i2? 1 m g ? kv i2
? lim ? n? ? ? ?
2 kH m

? ? ? ?

n

n

? nm ?? ? ? 2 kH

? ? 2 kH ? ? ?? ? ? m ? ??

对上式两边取极限:

0 m g ? kv i2? 1 m g ? kv i2

2 kH ? ? lim ? 1 ? ? n? ? ? nm ?

? nm ?? ? ? 2 kH

? ? 2 kH ? ? ?? ? ? m ? ??

?

e

?

ln 1.44 ? ln 0.44mg H ? 2k k 5 1.44
1

m

m

6

同理,对下落过程由 mg ? kv 2 ? i 对此式两边取n次方当n→∞极限:

?

?

H n

?

1

mg ? kv i ? 1 ?nkv i2

22

m v i2 ? v i2?1

?

?

nm nm 2 kH mg ? 2 ? mg ? kv0? 1 ? 2 kH m 2 kH ? ? i lim ? ? ? lim ? 1 ? ? 2 ? mg ? kv 2 ? 续解 n? ? n? ? ? nm ? kv t

? 1?

2 kH

mg mg ? kv t2

?

2 kH e m

查阅
H ? m 2k ln mg mg ? kv t2

mg mg ?
vt ?
由题给条件
2 kv t

? 1.44

0.44 mg 1.44 k

2 kv 0

? 0.44 m g
vt ? 5 6 v0

小球落回抛出点时的速度是抛出时速度的六分之五

一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H的任意 点P,在重力作用下由静止开始往下滑,从Q点离开球面,求PQ两 点的高度差h.

专题8-例9

本题除重力外无非保守力的功,机械能守恒! 设球半径为R P
由机械能守恒:
h

2 Q点动力学方程为:
由几何关系: sin ? ?

mgh ?

1

R

mv

2

H?

Q v
?

mg sin ? ? m

v2

mg

H?R R

?

2mgh R

mg

R H ?h

R

h?

H 3

若质点从球顶部无初速滑下,则可沿球面滑下R/3的高度,释放高 度H越小,沿球面滑下的高度越短.这是一个有趣又有用的模型.

如图甲所示,把质量均为m的两个小钢球用长为2L的线连接, 放在光滑的水平面上.在线的中央O作用一个恒定的拉力,其大小为F,其方向沿 水平方向且与开始时连线的方向垂直,连线是非常柔软且不会伸缩的,质量可忽 略不计.试求:⑴当两连线的张角为2θ时,如图乙所示,在与力F垂直的方向上 钢球所受的作用力是多少?⑵钢球第一次碰撞时,在与力F垂直的方向上,钢球 ⑴在如示坐标中分解力F 的对地速度为多少?⑶经过若干次碰撞,最后两个钢球一直处于接触状态下运动, 试求由于碰撞而失去的总能量为多少? 在与F垂直方向上线对钢球的力大小为

F F y ? tan ? 2 ⑵设钢球第一次碰撞时沿F方向速度为vx, O 垂直于F方向速度为vy,设力F的位移为x, 由动能定理

y F

θ θ

O F F x

Fx ? 2 ?
在x方向上:

1

FL vy ? ? 2 ? x ? L? m m ⑶达到终态时,两球vy=0,F总位移X,有 FX ? 2 ? 1 mv 2 ? ?E X 2 F
F ? 2 ma ? 2 m

2

m v 2 ? v 2 ? mv 2 ? mv 2 x y x y
v2 x

?

?

Fy




v2 x

F ? x ? L?

FX ? m ? 2

2m

? X ? L ? ? ?E

?E ? FL

军训中,战士距墙S0以速度v0起跳,如图所示,再用脚蹬墙面一 次使身体变为竖直向上的运动以继续升高,墙面与鞋底之间的静摩擦因数为μ.求 能使人体重心有最大总升高Hmax的起跳角θ.

设抵达墙时战士速度为v,蹬墙后速 度为v′,各矢量间关系如示, 从起跳至上升至最高H处,由机械能守恒:

v?

mgh1 ?

由矢量图所示关系: ? ? v ? ? ? v0 cos ? ? ? v0 sin ? ? gt ? s0 ? 其中 t ? v 0 cos ? 1 ? v 2 ? sin ? ? ? cos ? ? 2 ? 2 ? gs ? H ? 0 0
? 1 ? 2 2 2 ? ?1 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? v0 cos ? ? ? tan ? ? 2 ? gs0 ? 2g ? ?? ? ? 2 2

2 2 2 m v0 ? v 2 ?2 v0 ? v ? v θ 2 1 H? 2g mgh2 ? mv ? 2 2 ? v 2 ? ? v cos ? ? 2 ? ? v sin ? ? gt ? 2 ? 0 0

1

?

?

v0

v

S0

v0
gt v θ

2g ?

?

当 ? ? tan

?1

1

?

时 H max ?

?1 ? ? ? v
2g

tan ?1 ?

v?

0

? ? s0

质量为M、长为l的板放在冰面上,在板的一端坐着质量为m的 小猫它要跳到板的另一端,问小猫对冰面的最小速度v0min 应为多少?小猫为使跳 到板的另一端所消耗的能量最少, 问它的初速度v0应该与水平面成多大角α?

猫消耗能量E,使猫及木板获得初动能: 耗 ? E
m v 0 cos ? t V ?M t m cos ? ?V ? v0 M

起跳时间Δt内m不M间水平方向相互作用力大小相等,故有

1 1 2 mv 0 ? MV 2 2 2

猫从跳离板一端到落至板另一端历时由竖直方向分运动得 t ?
这段时间内猫对板的位移应满足 l ? ? v0 cos ? ? V ? t

2 v 0 sin ? g

M g 2 2 Mgl 2 m cos ? Mgl 2 v0 ? ? M ? m ? 2sin ? cos ? V ? M 2 ? ? M ? m ? 2 sin ? cos ? mgl E耗 ? ? ?? M ? m ? cot ? ? M tan ? ? ? 2? M ? m? ?

?

? M ? m ? cos ?

v0 ?

2v0 sin ?

利用基本不 当 tan ? ? 等式性质 :

M?m 时 M

E 耗 min ?

mgl 4

M M ?m

如图所示,厚度不计的圆环套在粗细均匀、长度为L的棒的上端 两者质量均为m,圆环与棒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,大小为一常数,为 kmg(k>1).棒能沿光滑的竖直细杆AB上下滑动,棒与地碰撞时触地时间极短, 且无动能损失.设棒从其下端距地高度为H处由静止自由下落,与地经n次碰撞后 圆环从棒上脱落⑴分析棒第二次碰地以前的过程中,环与棒的运动情况,求出棒 ⑴由机械能守恒,棒第一次碰地以前速度 2gH 与环刚达到相对静止时,棒下端距地高度h;⑵求出n、k、L、H四个量应满足的 关系. 棒与地相碰后瞬时速度大小不变、方向向上,加速度为 ? k ? 1? g 向下 环速度 2gH 环加速度 ? k ? 1? g 向上

棒不环相对初速度 v相 ? 2 2 gH

向下 相对加速度 a相 ? 2kg 向上
2 v相

A

棒与环相对静止时相对位移x1 ?
环与棒的共同速度

从棒从地面向上到与环相对静止的过程中,一对摩擦 力做负功,重力分别对环、棒做负功,由动能定理:
2H 2H ? ? kmg ? ? mgh ? mg ? h ? k k ?

v相 2H 历时 t ? ? 2a 相 k a相 2 gH V1 ? 2 gH ? ? k ? 1? gt ? k ?

2H k2g

kmg

L

1 1 2 ? kmg ? x1 ? mgh ? mg ? h ? x1 ? ? ? 2 mV1 ? ? 2 m 2 2 2

?

2 gH

?

2

mg
2 gH

H B 2gH

h?

k ?1 k
2

? 2 gH ? 1 ? ? ? 2m ? ? k ? 2 ?

? 1 ? ? ? 2m ? 2 ?

?

?

2

H

? k ? 1? mg 2gH 续解

查阅 ⑵棒与环一起以V1自由下落h至第二次落地时速度仍由机械能守恒

1 2

2 mV12

? 2 mg

k ?1 k
2
2

H ?

1 2

2 2mv 2
2

? v2 ?

2 gH k

此后棒不环相对滑动
x2 ?

? 2v 2 ?
2a 相

? 2 gH ? ?2 ? ? ? k ? 2H ?? ? 2 2 ? 2 kg k

? 2H x ?
i

则若在碰n次后环脱离棒,n、k、L、H四个量应满足的关系:

ki

1 1 1 ?1 2 H ? ? 2 ? 3 ? ?? n ? 1 k k ?k k

1 1 1 ? ? ?1 ? < L < 2 H ? ? 2 ? 3 ? ?? n ? k k ? ? ?k k

k n ?1 ? 1 k ?k
n n ?1

?

L 2H

<

kn ? 1 k n?1 ? k n

钢球沿着光滑的长梯弹跳,在每一级台阶上仅跳一次,如图所 示.每次与台阶碰撞时,球要损失η=50%的机械能.试求小球抛出时的初速度v 及其与竖直线的夹角φ.(梯子台阶的高度h=10cm,宽l=20cm) 根据题意,第一次不平台碰撞前后有

每次跳起到落到下一台阶的过程中,有

1 1 2 2 2 mv ? 50% ? mv 起 ? v起 ? v 2 2 2

v
?

φ ? v起

v起 v起
h

l 由水平方向的匀速运动得钢球每一次飞行时间 t ? ? v落 sin ? v起 cos ? ? v落 cos ? ? gt v落 gt 2 ? 2v落 t cos ? ? 2h ? 0 说明起跳速度 1 2 变为水平,除 ? h ? v 起 t cos ? ? gt ?1 钢球落在拐点 2 ?1 1 另 ? ? tan 1 代入数据整理后得 ? ? tan 情况外,应舍 2 3 tan ? ? 4 tan ? ? 1 ? 0 3 去此解

1 2 2 mgh ? m ? v 落 ? v 起 ? 2 1 1 2 2 mv 落 ? 50% ? mv 起 2 2 v ? 4 gh ? 2 m/s

v ? 2 gh
2 起

v落 l

? 元功法

取元功作微元,以功能原理为基本依据求 得一类物理问题解答的方法,我们称之为“元 功法”.这种解法所循基本原理是分析力学中 的“虚功原理”,由伯努利首先提出的.用元 功法可以处理某些平衡问题,且颇为简单.

? 元功法处理平衡问题基本思路

取与原平衡状态逼近的另一平衡状态,从 而虚设一个元过程,此过程中所有元功之和为 零,以此为基本关系列出方程,通过极限处理, 求得终解.

如图所示,质量为m、长度为l的均匀柔软粗绳, 穿过半径R的滑轮,绳的两端吊在天花板上的两个钉子上,两钩间 距离为2R,滑轮轴上挂一重物,重物与滑轮总质量为M,且相互间 无摩擦,求绳上最低点C处的张力.

专题8-例10

分析粗绳、滑轮和重物构成的系统的受力情况 分析绳之一半的受力情况 设想在A处以力TA将ABC段绳竖直向上拉过一极小距离Δx

本题用元功法求解!

TA A

1 TA ? ? m ? M ? g 2

Δx O

?W A ? TA ? ?x

?WC ? ?TC ? ?x

l ??R 2

1 m l ??R? ? ? m ? M ? g ? ? x ? Tc ? ? x ? ? ? xg ? R ? ? 2 l 2 ? ?

m l ??R? ? ?E ? ?x ? g ? ? R ? ? l 2 ? ?

由功能原理

B

R
TC

C

Tc ?

Ml ? m ? ? ? 2 ? R 2l

g

(M+m)g

三足置于一光滑水平面上,且恒成一正三角形,现用一绳圈套在三足支架的三足上, 使其不能改变与竖直线间的夹角,设三足支架负重为G,试求绳中张力FT.

专题8-例11如图示,一轻三足支架每边长度均为l,每边与竖直线成同一角度,
本题用元功法求解!
分析支架的受力情况 a? 设想支架各边足部在绳合力作用下向正 Δy a?? 三角形中心移动一极小位移 Δx: a 支架每个足部绳合力元功 θ

?WT ? 3 FT ? ?x

负重重力势能增量 ?E p ? G ? ?y Δx与Δy几何关系如示 : 当Δx→0, Δθ →0, a??b? ? ab??
??

FN
??

G Δy
3 FT

FT
b?

?x sin? ? ?y cos? ?y ? ?x ? tan ? b b 由功能原理 Δx

3 FT

3 ? 3 FT ? ?x ? G ? ?x ? tan ?

FT ?

G 3 3

tan ?

如图,所示的曲柄连杆机构中,设曲柄端A上所受的 竖直力为Q,由活塞D上所受的水平力P维持平衡,试用元功法求P与 Q的比值.图中α、β为已知. 设想设活塞D(即连杆的B端) 以速度v通过一微小位移Δx, 与此同时,连杆A端以速度vAΔyA 绕C点通过一小段弧 Q α
C

D

vA v cos ? 由 ? 得v A ? v sin ? 90? ? ? ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ?

vA 与v杆约束相关关系如示

β

v

P

Δx
90 ? ?
?

B

?cos ? cos ? ? cos ? y ?y ? v A ?t ? cos ? ? ? v ? x ? cos ? ? ?t si?x ? ?sin ?? ? ? ? n ?? ? 由元功法得 P cos ? ? cos ?

在力P发生水平位移Δx的时间内,力Q发生的竖 直位移为 A

vn

v

α -β
α

vA方向与曲柄 CA垂直,且是与B 相同的水平速度v 及对B点的转动速 度vn的矢量和

P ? ?x ? Q ? ?y Q ? sin ? ? ? ? ? ? tan ? ? tan ?

C1

β

v
B

如图所示,均匀杆OA重G1,能在竖直面内绕固定轴O转动, 此杆的A端用铰链连住另一重G2的均匀杆AB,在AB杆的B端施一水平力F,试用元 功法求二杆平衡时各杆与水平所成的角度α及β. O x

分析连杆的受力情况 l1 cos ? l1 sin ? x1 ? y1 ? 2 2 l2 cos ? l2 sin ? x2 ? l1 cos ? ? y2 ? l1 sin ? ? 2 2 x3 ? l1 cos ? ? l2 cos ? y3 ? l1 sin ? ? l2 sin ?

?

? x1 , y1 ?
A

?

? x2 , y2 ?
Bx , y ? 3 3?

G1 G2

F

设想水平力使AB杆的B端移动极小位移Δx3

y 则 ? x 3 ? l1 ? cos ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? l 2 ? cos ? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? l1 sin ? ? ?? ? l2 sin ? ? ?? l l 同时,G1、 ?y ? 1 ? sin ? ? sin ? ? ? ?? ? ? ? 1 cos ? ? ?? 1 ? 2 2 ? G2力沿力方 l2 向的极小位 ?y2 ? l1 ? sin ? ? sin ? ? ? ?? ? ? ? ?sin ? ? sin ? ? ? ?? ? ? ? ? 2? ? l2 移各为: ? l1 cos ? ? ?? ? cos ? ? ?? 续解

由元功法得

查阅

F ? ?x3 ? G1 ? ?y1 ? G2 ? ?y2
F ? ? l1 sin ? ? ?? ? l2 sin ? ? ?? ? ?
l2 ? ? G1 ? cos ? ? ? ? ? G2 ? ? l1 cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 2 2 ? ? l1
将各力的微小位移代入:

l1 ? ? ? l2 ? ? Fl1 sin ? ? G1 2 cos ? ? G2 l1 cos ? ? ? ? ? ? ?G2 2 cos ? ? Fl 2 sin ? ? ? ? ? ? ? ? ?

该等式成立须
Fl1 sin ? ? G1
G2 l2 2

l1 2

cos ? ? G2 l1 cos ? ? 0

cos ? ? Fl 2 sin ? ? 0

G1 ? 2G2 ? ? tan ? ? 2 F ? ? ? tan ? ? G2 ? ? 2F

谢谢



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