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广东省2012届高三全真模拟卷数学理2.




广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 2
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知 a , b 是实数,则“ a > 0 且 b > 0 ”是“ a + b > 0 且 ab > 0 ”的 ( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知全集 U = R , 集合 M = {x ?2 ≤ x ? 1 ≤ 2} 和 N = {x x = 2k ? 1, k = 1, 2,L} 的关系的 韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3 个 C. 1 个 B. 2 个 D. 无穷多

3. 若复数 z 满足方程 z 2 + 2 = 0 ,则 z 3 = A. ±2 2 B. ?2 2 C. ?2 2i D. ±2 2i

4. 设 a > 0 ,对于函数 f ( x ) = A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值

sin x + a (0 < x < π ) ,下列结论正确的是 sin x
B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值

AA 则异面直线 BE 与 CD1 5. 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 1 = 2 AB , 为 AA1 重点, E
所形成角的余弦值为

(A)

10 10 1 x

(B)

1 5

(C)

3 10 10
)

(D)

3 5

6. 在二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中,含 x 4 的项的系数是( A. ?10 C. ?5 B. 10 D. 5

7.如图所示,fi(x) i=1,2,3,4)是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质: ( “对 [0,1]中任意的 x1 和 x2,任意λ∈[0,1] f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ) , f(x2)恒成立”的只有( )

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A.f1(x) f3(x) , , C.f2(x) f3(x)

B.f2(x) D.f4(x)

8. 若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 3 ,则 2a+b+c 的最小值为 (A) 3 -1 (B)

3 +1

(C) 2 3 +2

(D) 2 3 -2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~12题) 9.在正方体上任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 10.若三点 A(2, 2), B ( a , 0), C (0, b )( ab ≠ 0) 共线,则

1 1 + 的值等于__________. a b

11. 在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=_________. 12. 执行下边的程序框图,输出的 T= .

(二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题) 13. (不等式选讲选做题)函数 y = log a ( x + 3) ? 1( a > 0, a ≠ 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx + ny + 1 = 0 上,其中 mn > 0 ,则

1 2 + 的最小值为_______. m n 14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 设 M 、 N 分 别 是 曲 线 ρ + 2 sin θ = 0 和

π 2 上的动点,则 M 、 N 的最小距离是 ρ s in(θ + ) =
4 2

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15. (几何证明选讲选做题)如图,在正三角形 ABC 中,E、F 依次是 AB、AC 的中点,AD⊥ BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D、H、G 为垂足,若将正三角形 ABC 绕 AD 旋转一周所得的圆锥的体 . 积为 V,则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与 V 的比值是

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤, 16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = a ? ,其中向量 a = (2 cos x,1), b = (cos x, 3 sin 2 x ), x ∈ R b (1) 若函数 f ( x ) = 1 ? 3, 且x ∈ ? ?

r r

r

r

? π π? , , 求x; ? 3 3? ?
r

(2) 若函数 y = 2 sin 2 x 的图象按向量 c = ( m, n)( m < 图象,求实数 m,n 的值。

π
3

) 平移后得到函数 y = f ( x ) 的

17. . 本小题满分 12 分) ( 某班有学生 45 人,其中 O 型血的人有 10 人,A 型血的人有 12 人, B 型血的人有 8 人,AB 型 血的人有 15 人,现抽取两人进行检验, (1) 求这两人血型相同的概率; (2) 求这两人血型相同的分布列.

18. (本小题满分 14 分)已知长方体 AC1 中,棱

AB = BC = 1, 棱 BB1 = 2 ,连结 B1C ,过 B

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点作 B1C 的垂线交 CC1 于 E ,交 B1C 于 F . (1)求证: A1C ⊥ 平面 EBD ; (2)求点 A 到平面 A1 B1C 的距离; (3)求平面 A1 B1C 与直线 DE 所成角的正弦值.

19、 本题满分 14 分) ( 已知双曲线 x 2 ? y 2 = 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交于

A,B 两点.
(I)若动点 M 满足 F1M = F1 A + F1 B + F1O (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程;

uuuur

uuur uuur uuur

uuu r
在,请说明理由.

uuu r

(II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA · CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存

) ( 1 数列 {an } 是公差为 d 的等差数列, {bn } 是 20、 本小题满分 14 分)已知函数 f(x = x?) , (
2

公比为 q( q ∈ R, q ≠ 1 )的等比数列.若 a1 = f (d ? 1), a3 = f (d + 1), b1 = f (q ? 1), b3 = f (q + 1). (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

第4页



(Ⅱ)若 {cn } 对 n ∈ N ? ,恒有

c1 c2 c c + + 3 + ??? + n = an +1 ,求 c1 + c3 + c5 + ??? + c2 n ?1 的 b1 2b2 3b3 nbn

值;

(Ⅲ)试比较

3bn ? 1 an +1 与 的大小. 3bn + 1 an + 2

21、 本小题满分 14 分)已知函数 f (x)= (

1? x + ln x 。 ax

(1)若函数 f (x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (2)当 a =1 时,求 f (x)在[

1 ,2]上的最大值和最小值。 2 n 1 > 。 n ?1 n

(3)求证:对于大于 1 的正整数 n, ln

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参考答案
答案:1—8 CBDBCBAD

9.

3 7

10.

1 2

11. an = 2

n+1

? 3 . 12.30 13.8 14.

2 ?1

15.

5 8

一、选择题 1.答案:C 【解析】对于“ a > 0 且 b > 0 ”可以推出“ a + b > 0 且 ab > 0 ”,反之也是成立的 2.答案:B 【解析】由 M = {x ?2 ≤ x ? 1 ≤ 2} 得 ? 1 ≤ x ≤ 3 ,则 M ∩ N = { ,3},有 2 个,选 B. 1 3.答案:D 【解析】由 z + 2 = 0 ? z = ± 2i ? z = ±2 2i ,故选 D.
2 3

4. 答案:B 【解析】令 t = sin x, t ∈ (0,1] ,则函数 f ( x ) =

sin x + a (0 < x < π ) 的值域为函数 sin x a a y = 1 + , t ∈ (0,1] 的值域,又 a > 0 ,所以 y = 1 + , t ∈ (0,1] 是一个减函减,故选 B。 t t

5. 答案:C 【解析】本题考查异面直线夹角求法,方法一:利用平移,CD’∥BA' ,因此求△EBA'中∠

A'BE 即可,易知 EB= 2 ,A'E=1,A'B= 5 ,故由余弦定理求 cos∠A'BE=

3 10 ,或由向量法 10

可求。 6. 答案:B
r r 【解析】对于 Tr +1 = C5 ( x 2 )5? r (? ) r = ( ?1) C5 x10?3r ,对于 10 ? 3r = 4,∴ r = 2 ,则 x 4 的 r
2 项的系数是 C5 ( ?1) 2 = 10

1 x

7. 答案:A

【解析】利用特殊值法,因为λ∈[0,1] λ= ,令

1 ,则不等式变为: 2

f(

x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) x + x2 x + x2 )≤ 。 f( 1 )为自变量 x1、x2 中点, 1 对应的 2 2 2 2

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函数值即“中点的纵坐标” ,

1 [f(x1)+f(x2) ]为 x1、x2 对应的函数值所对应的点的中 2

点,即“纵坐标的中点” ,再结合 f(x)函数图象的凹凸性,可得到答案 A 8. 答案:D 【解析】若 a , b, c > 0 且 a ( a + b + c ) + bc = 4 ? 2 3, 所以 a + ab + ac + bc = 4 ? 2 3 ,
2

4 ? 2 3 = a 2 + ab + ac + bc =

1 1 (4a 2 + 4ab + 4ac + 2bc + 2bc ) ≤ (4a 2 + 4ab + 4ac + 2bc + b 2 + c 2 ) 4 4

∴ (2 3 ? 2) 2 ≤ (2a + b + c ) 2 ,则( 2a + b + c )≥ 2 3 ? 2 ,选 D. 二、填空题 9. 答案:

3 7

3 【解析】在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 C8 个三角形,要得直角非等腰三角形, ..

则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线),共有 24 个,得

24 C83

10. 答案:

1 2

uuu r uuu r AB=(a-2,-2) AC=(-2,b-2) ,依题意,有(a-2)?(b-2)-4=0,即 ,
ab-2a-2b=0 所以

1 1 1 + = a b 2

11. 答案: an = 2 n+1 ? 3 . 【解析】 在数列 {an } 中,若 a1 = 1, an +1 = 2an + 3( n ≥ 1) ,∴ an +1 + 3 = 2(an + 3)( n ≥ 1) , 即{ an + 3 }是以 a1 + 3 = 4 为首项,2 为公比的等比数列, an + 3 = 4 ? 2 n ?1 = 2 n +1 ,所以该数 列的通项 an = 2 n+1 ? 3 . 12.答案:30 【解析】:按照程序框图依次执行为 S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出 T=30 13. 答案:8 【 解 析 】 函 数 y = log a ( x + 3) ? 1( a > 0, a ≠ 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A( ?2, ?1) ,

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( ?2) ? m + ( ?1) ? n + 1 = 0 , 2m + n = 1 , m, n > 0 ,

1 2 1 2 n 4m n 4m + = ( + ) ? (2m + n) = 4 + + ≥ 4+2 ? = 8. m n m n m n m n
14.答案: 2 ? 1

15 答案:

5 8
3 ,旋转半径 BD=1,

【解析】解法一:设正三角形边长为 2,其高 AD=

V=

1 3π π·1· 3 = . 3 3

又 EF=1,HD=

1 3 ,HE= ,则 HGEF 旋转所得圆柱的体积 V1=π· 2 2



1 2 3 3π )· = . 2 2 8
= V ? V1 = 5 3π V2 5 , = . 24 V 8 5 . 8

由阴影部分产生的旋转体的体积 V2

故由阴影部分所产生的旋转体的体积与 V 的比是

解法二:设圆锥的高为 h,底面半径为 r,则圆柱的高为

h r ,底面圆半径为 ,则 2 2

r h π ( )2 ? V ? V柱 V柱 3 5 =1? =1? 2 2 =1? = 1 2 V V 8 8 πr h 3
三、解答题 16. 解: (1)依题设得 f ( x ) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = 1 + xos 2 x + 3 sin 2 x

= =2sin(2x+ ) + 1 6

π

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1

2

3

4



X
π
3

2sin(2x+ ) + 1 = 1 ? 3, 得 sin(2 x + ) = ? 6 6
45/244 33/122 7/61 105/244

π

π

P

Q?

≤x≤

π
3

,∴?

π
2

≤ 2x +

π
6



∴ 2x +
r

π
6

=?

π
3

, 即x = ?

π
4

5π 6

(2)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c = (m, n ) 平移后得到函数 y = sin 2( x ? m) + n 的图象, 即 函 数 y = f ( x ) 的 图 象 。 由 ( 1 ) 得 : f ( x ) = 2 sin 2( x +

π
12

) +1 , 又

Qm <

π
2

,∴ m = ?

π
12

,n =1

17. 16. (本题满分 12 分) 解(1)记两人血型同为 O,A,B,AB 型的概率分别为 P1,P2,P3,P4,则

P1 =

1 1 14 7 ,P 2 = ,P 3 = , P 4 = . ---------------------------4 分 22 15 495 66 122 故两人血型相同的概率为 P = ----6 分 495

(2)将两人血型同为 O,A,B,AB 型编号为 1,2,3,4, 记两人血型相同为 X,则 X 的可能取值为 1,2,3,4,其分布列为:

uuu uuur uuur r
18. (1)证:以 A 为原点, AB, AD, AA1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,那么

A(0, 0, 0) 、 B (1, 0, 0) 、 C (1,1, 0) 、 D (0,1, 0) 、 A1 (0, 0, 2) 、 B1 (1, 0, 2) 、 C1 (1,1, 2) 、

uuuu r uuu r D1 (0,1, 2) , A1C = (1,1, ?2) , BD = (?1,1, 0) ,………(2 分)
设 E (1,1, z ) ,则: BE = (0,1, z ) , CB1 = (0, ?1, 2) ,Q BE ⊥ B1C ∴ BE ? CB1 = ?1 + 2 z = 0 ,

uuu r

uuur

uuu uuur r

z=

uuuu uuu r r uuuu uuu r r uuu r 1 1 1 ,∴ E (1,1, ) , BE = (0,1, ) ,Q A1C ? BD = ?1 + 1 + 0 = 0 , A1C ? BE = 0 + 1 ? 1 = 0 , 2 2 2

第9页



∴ A1 C ⊥ B D , A1 C ⊥ B E ,………(4分)
又 B D I B E = B ∴ A1 C ⊥ 平面 E B D .………(5分) (2)连结 A E 1 ,A 到平面 A1 B 1 C 的距离,即三棱锥 A ? A1 B 1 C 的高,设为 h, ……(6分)

S ? A1 B1 C =

5 1 , V C ? A1 B1 A = ,由 V A ? A1 B1 C = V C ? A1 B1 A 2 3

得:

1 5 1 2 5 ,………(8分) × h = ,h = 3 2 3 5 2 5 .………(9分) 5

∴ 点 A 到平面 A1 B 1 C 的距离是

(3)连结 DF ,Q A1C ⊥ BE , B1C ⊥ BE , A1C I B1C = C ,∴ B E ⊥ 平面

A1 B1C ,

∴ D F 是 D E 在平面 A1 B1C 上的射影,∠ E D F 是 D E 与平面 A1 B1C 所成的角, ……… (1
1分) 设 F (1, y , z ) ,那么 BF = (0, y, z ), CF = (?1, y ? 1, z ), B1C = (0,1, ?2) ,Q BF ? B1C = 0

uuu r

uuu r

uuuu r

uuu uuuu r r

∴ y ? 2z = 0



uuu uuuu r r Q CF // B1C , ∴ z = 2 ? 2 y



由①、②得 y =

uuur uuu r 1 1 1 DE = (1, 0, ) , EF = (0, ? , ? ) ………(12分) 2 5 10
在 Rt ? FDE 中, D E

4 2 ,z = , 5 5

=

EF 1 5 5 , EF = = ,因此, D E 与 .∴ sin ∠ ED F = 2 10 ED 5 1 .………(14分) 5

平面

A1 B1C 所成的角的正弦值是

19. 解:由条件知 F1 ( ?2, , F2 (2, ,设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) . 0) 0) 解法一: (I)设 M ( x,y ) ,则 则 F1M = ( x + 2,y ) , F1 A = ( x1 + 2,y1 ) ,

uuuur

uuur

uuur uuur uuuur uuur uuur uuur F1 B = ( x2 + 2,y2 ),1O = (2, ,由 F1M = F1 A + F1 B + F1O 得 F 0)
? x + 2 = x1 + x2 + 6, ? x1 + x2 = x ? 4, 即? ? ? y = y1 + y2 ? y1 + y2 = y

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于是 AB 的中点坐标为 ?

? x?4 y? , ?. ? 2 2?

y y1 ? y2 y y 2 = = ,即 y1 ? y2 = 当 AB 不与 x 轴垂直时, ( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 x ?8 2
2 2 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x12 ? y12 = 2 , x2 ? y2 = 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 + x2 ) = ( y1 ? y2 )( y1 + y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) = ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 =

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6) 2 ? y 2 = 4 . x ?8

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 = x2 = 2 ,求得 M (8, ,也满足上述方程. 0) 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) 2 ? y 2 = 4 .

uuu uuu r r
(II)假设在 x 轴上存在定点 C ( m, ,使 CA? 为常数. CB 0) 当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y = k ( x ? 2)( k ≠ ±1) . 代入 x 2 ? y 2 = 2 有 (1 ? k 2 ) x 2 + 4k 2 x ? (4k 2 + 2) = 0 .

4k 2 4k 2 + 2 , x1 x2 = 2 , 则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 + x2 = 2 k ?1 k ?1

CB = ( x1 ? m)( x2 ? m) + k ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 于是 CA?
2

uuu uuu r r

= ( k 2 + 1) x1 x2 ? (2k 2 + m )( x1 + x2 ) + 4k 2 + m 2

=

(k 2 + 1)(4k 2 + 2) 4k 2 (2k 2 + m) ? + 4k 2 + m 2 k 2 ?1 k 2 ?1

2(1 ? 2m) k 2 + 2 4 ? 4m = + m 2 = 2(1 ? 2m) + 2 + m2 . 2 k ?1 k ?1
因为 CA? 是与 k 无关的常数,所以 4 ? 4m = 0 ,即 m = 1 ,此时 CA? = ?1 . CB CB 当 AB 与 x 轴垂直时,点 A,B 的坐标可分别设为 (2, 2) , (2, 2) , ?

uuu uuu r r

uuu uuu r r

第 11 页



此时 CA? CB = (1, 2)?(1, 2) = ?1 . ?

uuu uuu r r

uuu uuu r r
故在 x 轴上存在定点 C (1, ,使 CA? 为常数. CB 0) 解法二: (I)同解法一的(I)有 ?

? x1 + x2 = x ? 4, ? y1 + y2 = y

当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y = k ( x ? 2)( k ≠ ±1) . 代入 x ? y = 2 有 (1 ? k ) x + 4k x ? (4k + 2) = 0 .
2 2 2 2 2 2

则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 + x2 =

4k 2 . k 2 ?1

? 4k 2 ? 4k y1 + y2 = k ( x1 + x2 ? 4) = k ? ? 4? = 2 . ? k ?1 ? k ?1
由①②③得 x ? 4 =

4k 2 .…………………………………………………④ k 2 ?1

y=

4k .……………………………………………………………………⑤ k 2 ?1 x?4 = k ,将其代入⑤有 y

当 k ≠ 0 时, y ≠ 0 ,由④⑤得,

x?4 4 y ( x ? 4) y = .整理得 ( x ? 6) 2 ? y 2 = 4 . y= 2 2 2 ( x ? 4) ( x ? 4) ? y ?1 2 y 4×
当 k = 0 时,点 M 的坐标为 (4, ,满足上述方程. 0) 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 = x2 = 2 ,求得 M (8, ,也满足上述方程. 0) 故点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) 2 ? y 2 = 4 .

uuu uuu r r
(II)假设在 x 轴上存在定点点 C ( m, ,使 CA? 为常数, CB 0) 当 AB 不与 x 轴垂直时,由(I)有 x1 + x2 =

4k 2 4k 2 + 2 ? 1 , x1 x2 = 2 . k2 k ?1

第 12 页



以上同解法一的(II) .
2 2 20. (Ⅰ) ∵ a3 ? a1 = 2d , ∴ f ( d + 1) ? f ( d ? 1) = 2d . 即 d ? ( d ? 2) = 2d , 解得 d =2.

∴ a1 = f (2 ? 1) = 0 .

∴ an = 2( n ? 1) . ………………………………… 2 分

b3 f (q + 1) q2 = q2 = q2 = (q ? 2)2 . ∵ b1 , ∴ f (q ? 1)

∵ q ≠ 0, q ≠ 1 , ∴ q = 3 .

n ?1 又 b1 = f (q ? 1) = 1 , ∴ bn = 3 .………………………………………… 4 分

c1 = a2 , ∴ c1 = a2b1 = 2 . (Ⅱ) 由题设知 b1 c cn ?1 c c1 c2 + + 3 +L + + n = an +1 b1 2b2 3b3 (n ? 1)bn ?1 nbn



n≥2



,

,

c cn ?1 c1 c2 + + 3 +L + = an b1 2b2 3b3 (n ? 1)bn ?1 , cn = an +1 ? an = 2 两式相减,得 nbn .
n ?1 ∴ cn = 2 nbn = 2 n ?3 ( c1 = b1a2 = 2 适合).…………………………… 7 分

设 T= c1 + c3 + c5 + L + c2 n ?1 ,
2 4 2 n?2 ∴ T = 2 + 6 × 3 + 10 × 3 + L + (4n ? 2)?3

32 T = 2 × 32 + 6 × 34 + 10 × 36 + L + (4n ? 6)?32 n ? 2 + (4n ? 2)?32 n

两式相减 ,得
?8T = 2 + 4 × 32 + 4 × 34 + L + 4 × 32 n ? 2 ? (4n ? 2)?32 n

= 2 + 4×

1 9 9(9 n ?1 ? 1) ? (4n ? 2)? n = 2 + × 9 n ? ? (4n ? 2) × 9n 9 2 2 9 ?1 5 5 n = ? + × 9 ? 4n?9n 2 2 . T= 5 n 5 + ( ? )? 2 n 3 16 2 16 .………………………………………………… 9 分



3bn ? 1 3n ? 1 2 = 1? n = 3bn + 1 3n + 1 3 +1 , (Ⅲ)

an +1 2n 2 = = 1? an + 2 2( n + 1) 2n + 2 .

第 13 页



n 现只须比较 3 + 1 与 2n + 2 的大小.

n 当 n=1 时, 3 + 1 = 4 = 2n + 2 ;

n 当 n=2 时, 3 + 1 = 10 > 2n + 2 = 6 ;

n 当 n=3 时, 3 + 1 = 28 > 2n + 2 = 8 ;

n 当 n=4 时, 3 + 1 = 82 > 2n + 2 = 10 .

n 猜想 n ≥ 2 时, 3 + 1 > 2n + 2 .

用数学归纳法证明
n n (1)当 n=2 时,左边 = 3 + 1 = 10 ,右边 = 2n + 2 = 6 , 3 + 1 > 2n + 2 成立.

k (2)假设当 n=k 时, 不等式成立,即 3 + 1 > 2k + 2 .

k +1 k k k 当 n=k+1 时, 3 + 1 = 3 × 3 + 1 = 3 + 1 + 2 × 3

> 2k + 2 + 2 × 3k > 2k + 2 + 2 = 2( k + 1) + 2 .

即当 n=k+1 时,不等式也成立.
n 由(1) ,可知 n ≥ 2 时, 3 + 1 > 2n + 2 都成立. (2)

n 所以 3 + 1 ≥ 2n + 2 (当且仅当 n=1 时,等号成立)

1?

所以

3bn ? 1 an +1 2 2 ≥ ≥ 1? 3bn + 1 an + 2 . …………………………… 14 分 3 +1 2n + 2 .即
n

21.(1)f ′(x)=

ax ? 1 ( a > 0) ax 2

依题

ax ? 1 ≥0 在[1,+∞)上恒成立 ax 2
……

即 a≥

1 在[1,+∞)上恒成立,∴a≥1 x 1 1 x ?1 ,其中 x∈[ ,2], 而 x∈[ ,1)时,f ′(x)<0;x 2 2 2 x

(2)当 a=1 时,f ′(x)=

∈(1, (1)=0

1 1 ]时,f ′(x)>0, ∴x=1 是 f (x)在[ ,2]上唯一的极小值点,∴ [f (x)]min=f 2 2
……

第 14 页



又f(

1 3 1 1 ln e3 ? ln 2 4 )-f (2)= -2ln2= >0, ( )>f (2), ∴[f (x)]max=f ( )=1-ln2 ∴f 2 2 2 2 2 1 综上,a=1 时,f (x)在[ ,2]上的最大值和最小值分别为 1-ln2 和 0 …… 2
(3)若 a=1 时,由(1)知 f (x)=

1? x + ln x 在[1,+∞)上为增函数, x

当 n>1 时,令 x=

n ,则 x>1,故 f (x)>f (1)=0, n ?1

n 1? n n ? 1 +ln n =- 1 +ln n >0,∴ln n > 1 即f ( )= n n ?1 n ?1 n n ?1 n ?1 n n ?1

……

第 15 页



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