广东省2012届高三全真模拟卷数学理2.

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广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 2
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 已知 a , b 是实数，则“ a > 0 且 b > 0 ”是“ a + b > 0 且 ab > 0 ”的 ( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2.已知全集 U = R ， 集合 M = {x ?2 ≤ x ? 1 ≤ 2} 和 N = {x x = 2k ? 1, k = 1, 2,L} 的关系的 韦恩（Venn）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3 个 C. 1 个 B. 2 个 D. 无穷多

3. 若复数 z 满足方程 z 2 + 2 = 0 ，则 z 3 = A. ±2 2 B. ?2 2 C. ?2 2i D. ±2 2i

4. 设 a > 0 ，对于函数 f ( x ) = A．有最大值而无最小值 C．有最大值且有最小值

sin x + a (0 < x < π ) ，下列结论正确的是 sin x
B．有最小值而无最大值 D．既无最大值又无最小值

AA 则异面直线 BE 与 CD1 5. 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， 1 = 2 AB ， 为 AA1 重点， E
所形成角的余弦值为

（A）

10 10 1 x

(B)

1 5

(C)

3 10 10
)

(D)

3 5

6. 在二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中，含 x 4 的项的系数是( A． ?10 C． ?5 B． 10 D． 5

7.如图所示，fi（x） i=1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质： （ “对 ［0，1］中任意的 x1 和 x2，任意λ∈［0，1］ f［λx1+（1－λ）x2］≤λf（x1）+（1－λ） ， f（x2）恒成立”的只有（ ）

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。

A.f1（x） f3（x） ， ， C.f2（x） f3（x）

B.f2（x） D.f4（x）

8. 若 a,b,c＞0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 3 ,则 2a+b+c 的最小值为 （A） 3 -1 (B)

3 +1

(C) 2 3 +2

(D) 2 3 -2

二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． （一）必做题（９～１２题） 9.在正方体上任选 3 个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 10．若三点 A(2, 2), B ( a , 0), C (0, b )( ab ≠ 0) 共线，则

1 1 + 的值等于__________. a b

11. 在数列｛an｝中，若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=_________. 12. 执行下边的程序框图，输出的 T= .

（二）选做题（13 ~ 15 题，考生只能从中选做两题） 13. （不等式选讲选做题）函数 y = log a ( x + 3) ? 1( a > 0, a ≠ 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx + ny + 1 = 0 上,其中 mn > 0 ,则

1 2 + 的最小值为_______. m n 14. （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 设 M 、 N 分 别 是 曲 线 ρ + 2 sin θ = 0 和

π 2 上的动点，则 M 、 N 的最小距离是 ρ s in(θ + ) =
4 2

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15. (几何证明选讲选做题）如图，在正三角形 ABC 中，E、F 依次是 AB、AC 的中点，AD⊥ BC，EH⊥BC，FＧ⊥BC，D、H、G 为垂足，若将正三角形 ABC 绕 AD 旋转一周所得的圆锥的体 . 积为 V，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与 V 的比值是

三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16. （本小题满分 12 分） 设函数 f ( x ) = a ? ，其中向量 a = (2 cos x,1), b = (cos x, 3 sin 2 x ), x ∈ R b （1） 若函数 f ( x ) = 1 ? 3, 且x ∈ ? ?

r r

r

r

? π π? , , 求x; ? 3 3? ?
r

（2） 若函数 y = 2 sin 2 x 的图象按向量 c = ( m, n)( m < 图象，求实数 m,n 的值。

π
3

) 平移后得到函数 y = f ( x ) 的

17. ． 本小题满分 12 分） （ 某班有学生 45 人,其中 O 型血的人有 10 人,A 型血的人有 12 人, B 型血的人有 8 人,AB 型 血的人有 15 人,现抽取两人进行检验, (1) 求这两人血型相同的概率; (2) 求这两人血型相同的分布列.

18. （本小题满分 14 分）已知长方体 AC1 中，棱

AB = BC = 1, 棱 BB1 = 2 ，连结 B1C ，过 B

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。

点作 B1C 的垂线交 CC1 于 E ，交 B1C 于 F ． （1）求证： A1C ⊥ 平面 EBD ； （2）求点 A 到平面 A1 B1C 的距离； （3）求平面 A1 B1C 与直线 DE 所成角的正弦值．

19、 本题满分 14 分） （ 已知双曲线 x 2 ? y 2 = 2 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过点 F2 的动直线与双曲线相交于

A，B 两点．
（I）若动点 M 满足 F1M = F1 A + F1 B + F1O （其中 O 为坐标原点） ，求点 M 的轨迹方程；

uuuur

uuur uuur uuur

uuu r
在，请说明理由．

uuu r

（II）在 x 轴上是否存在定点 C ，使 CA · CB 为常数？若存在，求出点 C 的坐标；若不存

) ( 1 数列 {an } 是公差为 d 的等差数列， {bn } 是 20、 本小题满分 14 分）已知函数 f(x = x?) ， （
2

公比为 q（ q ∈ R, q ≠ 1 ）的等比数列.若 a1 = f (d ? 1), a3 = f (d + 1), b1 = f (q ? 1), b3 = f (q + 1). (Ⅰ)求数列 {an } ， {bn } 的通项公式；

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。

(Ⅱ)若 {cn } 对 n ∈ N ? ，恒有

c1 c2 c c + + 3 + ??? + n = an +1 ，求 c1 + c3 + c5 + ??? + c2 n ?1 的 b1 2b2 3b3 nbn

值；

(Ⅲ)试比较

3bn ? 1 an +1 与 的大小. 3bn + 1 an + 2

21、 本小题满分 14 分）已知函数 f (x)= （

1? x + ln x 。 ax

（1）若函数 f (x)在[1，+∞）上为增函数，求正实数 a 的取值范围； （2）当 a =1 时，求 f (x)在[

1 ，2]上的最大值和最小值。 2 n 1 > 。 n ?1 n

（3）求证：对于大于 1 的正整数 n， ln

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参考答案
答案：1—8 CBDBCBAD

9.

3 7

10.

1 2

11. an = 2

n+1

? 3 . 12.30 13.8 14.

2 ?1

15．

5 8

一、选择题 1.答案：C 【解析】对于“ a > 0 且 b > 0 ”可以推出“ a + b > 0 且 ab > 0 ”，反之也是成立的 2.答案：B 【解析】由 M = {x ?2 ≤ x ? 1 ≤ 2} 得 ? 1 ≤ x ≤ 3 ，则 M ∩ N = { ,3}，有 2 个，选 B. 1 3.答案：D 【解析】由 z + 2 = 0 ? z = ± 2i ? z = ±2 2i ，故选 D.
2 3

4. 答案：B 【解析】令 t = sin x, t ∈ (0,1] ，则函数 f ( x ) =

sin x + a (0 < x < π ) 的值域为函数 sin x a a y = 1 + , t ∈ (0,1] 的值域，又 a > 0 ，所以 y = 1 + , t ∈ (0,1] 是一个减函减，故选 B。 t t

5. 答案：C 【解析】本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，CD’∥BA' ,因此求△EBA'中∠

A'BE 即可，易知 EB= 2 ,A'E=1,A'B= 5 ,故由余弦定理求 cos∠A'BE=

3 10 ，或由向量法 10

可求。 6. 答案：B
r r 【解析】对于 Tr +1 = C5 ( x 2 )5? r (? ) r = ( ?1) C5 x10?3r ，对于 10 ? 3r = 4,∴ r = 2 ，则 x 4 的 r
2 项的系数是 C5 ( ?1) 2 = 10

1 x

7. 答案：A

【解析】利用特殊值法，因为λ∈［0，1］ λ= ，令

1 ，则不等式变为： 2

f（

x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) x + x2 x + x2 ）≤ 。 f（ 1 ）为自变量 x1、x2 中点， 1 对应的 2 2 2 2

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。

函数值即“中点的纵坐标” ，

1 ［f（x1）+f（x2） ］为 x1、x2 对应的函数值所对应的点的中 2

点，即“纵坐标的中点” ，再结合 f（x）函数图象的凹凸性，可得到答案 A 8. 答案：D 【解析】若 a , b, c > 0 且 a ( a + b + c ) + bc = 4 ? 2 3, 所以 a + ab + ac + bc = 4 ? 2 3 ，
2

4 ? 2 3 = a 2 + ab + ac + bc =

1 1 (4a 2 + 4ab + 4ac + 2bc + 2bc ) ≤ (4a 2 + 4ab + 4ac + 2bc + b 2 + c 2 ) 4 4

∴ (2 3 ? 2) 2 ≤ (2a + b + c ) 2 ，则( 2a + b + c )≥ 2 3 ? 2 ，选 D. 二、填空题 9. 答案：

3 7

3 【解析】在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 C8 个三角形，要得直角非等腰三角形， ．．

则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有 24 个，得

24 C83

10. 答案：

1 2

uuu r uuu r AB＝（a－2，－2） AC＝（－2，b－2） ，依题意，有（a－2）?（b－2）－4＝0，即 ，
ab－2a－2b＝0 所以

1 1 1 + ＝ a b 2

11. 答案： an = 2 n+1 ? 3 . 【解析】 在数列 {an } 中，若 a1 = 1, an +1 = 2an + 3( n ≥ 1) ，∴ an +1 + 3 = 2(an + 3)( n ≥ 1) ， 即{ an + 3 }是以 a1 + 3 = 4 为首项，2 为公比的等比数列， an + 3 = 4 ? 2 n ?1 = 2 n +1 ，所以该数 列的通项 an = 2 n+1 ? 3 . 12.答案：30 【解析】:按照程序框图依次执行为 S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出 T=30 13. 答案：8 【 解 析 】 函 数 y = log a ( x + 3) ? 1( a > 0, a ≠ 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A( ?2, ?1) ，

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( ?2) ? m + ( ?1) ? n + 1 = 0 ， 2m + n = 1 ， m, n > 0 ，

1 2 1 2 n 4m n 4m + = ( + ) ? (2m + n) = 4 + + ≥ 4+2 ? = 8. m n m n m n m n
14.答案： 2 ? 1

15 答案：

5 8
3 ，旋转半径 BD＝1，

【解析】解法一：设正三角形边长为 2，其高 AD＝

V＝

1 3π π·1· 3 ＝ . 3 3

又 EF＝1，HD＝

1 3 ，HE＝ ，则 HGEF 旋转所得圆柱的体积 V1＝π· 2 2

（

1 2 3 3π ）· = . 2 2 8
= V ? V1 = 5 3π V2 5 , = . 24 V 8 5 . 8

由阴影部分产生的旋转体的体积 V2

故由阴影部分所产生的旋转体的体积与 V 的比是

解法二：设圆锥的高为 h，底面半径为 r，则圆柱的高为

h r ，底面圆半径为 ，则 2 2

r h π ( )2 ? V ? V柱 V柱 3 5 =1? =1? 2 2 =1? = 1 2 V V 8 8 πr h 3
三、解答题 16. 解： （1）依题设得 f ( x ) = 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = 1 + xos 2 x + 3 sin 2 x

= =2sin(2x+ ) + 1 6

π

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。

1

2

3

4

由

X
π
3

2sin(2x+ ) + 1 = 1 ? 3, 得 sin(2 x + ) = ? 6 6
45/244 33/122 7/61 105/244

π

π

P

Q?

≤x≤

π
3

,∴?

π
2

≤ 2x +

π
6

≤

∴ 2x +
r

π
6

=?

π
3

, 即x = ?

π
4

5π 6

（2）函数 y=2sin2x 的图象按向量 c = (m, n ) 平移后得到函数 y = sin 2( x ? m) + n 的图象， 即 函 数 y = f ( x ) 的 图 象 。 由 （ 1 ） 得 ： f ( x ) = 2 sin 2( x +

π
12

) +1 ， 又

Qm <

π
2

,∴ m = ?

π
12

,n =1

17. 16． （本题满分 12 分） 解(1)记两人血型同为 O,A,B,AB 型的概率分别为 P1,P2,P3,P4,则

P1 =

1 1 14 7 ,P 2 = ,P 3 = , P 4 = . ---------------------------4 分 22 15 495 66 122 故两人血型相同的概率为 P = ----6 分 495

(2)将两人血型同为 O,A,B,AB 型编号为 1,2,3,4, 记两人血型相同为 X,则 X 的可能取值为 1,2,3,4,其分布列为:

uuu uuur uuur r
18. （1）证:以 A 为原点, AB, AD, AA1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,那么

A(0, 0, 0) 、 B (1, 0, 0) 、 C (1,1, 0) 、 D (0,1, 0) 、 A1 (0, 0, 2) 、 B1 (1, 0, 2) 、 C1 (1,1, 2) 、

uuuu r uuu r D1 (0,1, 2) ， A1C = (1,1, ?2) ， BD = (?1,1, 0) ，………（2 分）
设 E (1,1, z ) ，则： BE = (0,1, z ) ， CB1 = (0, ?1, 2) ，Q BE ⊥ B1C ∴ BE ? CB1 = ?1 + 2 z = 0 ，

uuu r

uuur

uuu uuur r

z=

uuuu uuu r r uuuu uuu r r uuu r 1 1 1 ，∴ E (1,1, ) ， BE = (0,1, ) ，Q A1C ? BD = ?1 + 1 + 0 = 0 ， A1C ? BE = 0 + 1 ? 1 = 0 ， 2 2 2

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。

∴ A1 C ⊥ B D , A1 C ⊥ B E ，………（４分）
又 B D I B E = B ∴ A1 C ⊥ 平面 E B D ．………（５分） (2)连结 A E 1 ,A 到平面 A1 B 1 C 的距离,即三棱锥 A ? A1 B 1 C 的高,设为 h, ……（６分）

S ? A1 B1 C =

5 1 , V C ? A1 B1 A = ,由 V A ? A1 B1 C = V C ? A1 B1 A 2 3

得:

1 5 1 2 5 ,………（８分） × h = ,h = 3 2 3 5 2 5 ．………（９分） 5

∴ 点 A 到平面 A1 B 1 C 的距离是

（3）连结 DF ，Q A1C ⊥ BE , B1C ⊥ BE , A1C I B1C = C ，∴ B E ⊥ 平面

A1 B1C ，

∴ D F 是 D E 在平面 A1 B1C 上的射影，∠ E D F 是 D E 与平面 A1 B1C 所成的角， ……… （1
１分） 设 F (1, y , z ) ，那么 BF = (0, y, z ), CF = (?1, y ? 1, z ), B1C = (0,1, ?2) ，Q BF ? B1C = 0

uuu r

uuu r

uuuu r

uuu uuuu r r

∴ y ? 2z = 0

①

uuu uuuu r r Q CF // B1C ， ∴ z = 2 ? 2 y

②

由①、②得 y =

uuur uuu r 1 1 1 DE = (1, 0, ) ， EF = (0, ? , ? ) ………（1２分） 2 5 10
在 Rt ? FDE 中， D E

4 2 ,z = ， 5 5

=

EF 1 5 5 , EF = = ，因此， D E 与 ．∴ sin ∠ ED F = 2 10 ED 5 1 ．………（1４分） 5

平面

A1 B1C 所成的角的正弦值是

19. 解：由条件知 F1 ( ?2， ， F2 (2， ，设 A( x1，y1 ) ， B ( x2，y2 ) ． 0) 0) 解法一： （I）设 M ( x，y ) ，则 则 F1M = ( x + 2，y ) ， F1 A = ( x1 + 2，y1 ) ，

uuuur

uuur

uuur uuur uuuur uuur uuur uuur F1 B = ( x2 + 2，y2 )，1O = (2， ，由 F1M = F1 A + F1 B + F1O 得 F 0)
? x + 2 = x1 + x2 + 6， ? x1 + x2 = x ? 4， 即? ? ? y = y1 + y2 ? y1 + y2 = y

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。

于是 AB 的中点坐标为 ?

? x?4 y? ， ?． ? 2 2?

y y1 ? y2 y y 2 = = ，即 y1 ? y2 = 当 AB 不与 x 轴垂直时， ( x1 ? x2 ) ． x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 x ?8 2
2 2 又因为 A，B 两点在双曲线上，所以 x12 ? y12 = 2 ， x2 ? y2 = 2 ，两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 + x2 ) = ( y1 ? y2 )( y1 + y2 ) ，即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) = ( y1 ? y2 ) y ．
将 y1 ? y2 =

y ( x1 ? x2 ) 代入上式，化简得 ( x ? 6) 2 ? y 2 = 4 ． x ?8

当 AB 与 x 轴垂直时， x1 = x2 = 2 ，求得 M (8， ，也满足上述方程． 0) 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) 2 ? y 2 = 4 ．

uuu uuu r r
（II）假设在 x 轴上存在定点 C ( m， ，使 CA? 为常数． CB 0) 当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 y = k ( x ? 2)( k ≠ ±1) ． 代入 x 2 ? y 2 = 2 有 (1 ? k 2 ) x 2 + 4k 2 x ? (4k 2 + 2) = 0 ．

4k 2 4k 2 + 2 ， x1 x2 = 2 ， 则 x1，x2 是上述方程的两个实根，所以 x1 + x2 = 2 k ?1 k ?1

CB = ( x1 ? m)( x2 ? m) + k ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 于是 CA?
2

uuu uuu r r

= ( k 2 + 1) x1 x2 ? (2k 2 + m )( x1 + x2 ) + 4k 2 + m 2

=

(k 2 + 1)(4k 2 + 2) 4k 2 (2k 2 + m) ? + 4k 2 + m 2 k 2 ?1 k 2 ?1

2(1 ? 2m) k 2 + 2 4 ? 4m = + m 2 = 2(1 ? 2m) + 2 + m2 ． 2 k ?1 k ?1
因为 CA? 是与 k 无关的常数，所以 4 ? 4m = 0 ，即 m = 1 ，此时 CA? = ?1 ． CB CB 当 AB 与 x 轴垂直时，点 A，B 的坐标可分别设为 (2， 2) ， (2， 2) ， ?

uuu uuu r r

uuu uuu r r

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。

此时 CA? CB = (1， 2)?(1， 2) = ?1 ． ?

uuu uuu r r

uuu uuu r r
故在 x 轴上存在定点 C (1， ，使 CA? 为常数． CB 0) 解法二： （I）同解法一的（I）有 ?

? x1 + x2 = x ? 4， ? y1 + y2 = y

当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 y = k ( x ? 2)( k ≠ ±1) ． 代入 x ? y = 2 有 (1 ? k ) x + 4k x ? (4k + 2) = 0 ．
2 2 2 2 2 2

则 x1，x2 是上述方程的两个实根，所以 x1 + x2 =

4k 2 ． k 2 ?1

? 4k 2 ? 4k y1 + y2 = k ( x1 + x2 ? 4) = k ? ? 4? = 2 ． ? k ?1 ? k ?1
由①②③得 x ? 4 =

4k 2 ．…………………………………………………④ k 2 ?1

y=

4k ．……………………………………………………………………⑤ k 2 ?1 x?4 = k ，将其代入⑤有 y

当 k ≠ 0 时， y ≠ 0 ，由④⑤得，

x?4 4 y ( x ? 4) y = ．整理得 ( x ? 6) 2 ? y 2 = 4 ． y= 2 2 2 ( x ? 4) ( x ? 4) ? y ?1 2 y 4×
当 k = 0 时，点 M 的坐标为 (4， ，满足上述方程． 0) 当 AB 与 x 轴垂直时， x1 = x2 = 2 ，求得 M (8， ，也满足上述方程． 0) 故点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) 2 ? y 2 = 4 ．

uuu uuu r r
（II）假设在 x 轴上存在定点点 C ( m， ，使 CA? 为常数， CB 0) 当 AB 不与 x 轴垂直时，由（I）有 x1 + x2 =

4k 2 4k 2 + 2 ? 1 ， x1 x2 = 2 ． k2 k ?1

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。

以上同解法一的（II） ．
2 2 20. (Ⅰ) ∵ a3 ? a1 = 2d ， ∴ f ( d + 1) ? f ( d ? 1) = 2d . 即 d ? ( d ? 2) = 2d ， 解得 d =2.

∴ a1 = f (2 ? 1) = 0 .

∴ an = 2( n ? 1) . ………………………………… 2 分

b3 f (q + 1) q2 = q2 = q2 = (q ? 2)2 . ∵ b1 , ∴ f (q ? 1)

∵ q ≠ 0, q ≠ 1 , ∴ q = 3 .

n ?1 又 b1 = f (q ? 1) = 1 ， ∴ bn = 3 .………………………………………… 4 分

c1 = a2 ， ∴ c1 = a2b1 = 2 . (Ⅱ) 由题设知 b1 c cn ?1 c c1 c2 + + 3 +L + + n = an +1 b1 2b2 3b3 (n ? 1)bn ?1 nbn

当

n≥2

时

,

,

c cn ?1 c1 c2 + + 3 +L + = an b1 2b2 3b3 (n ? 1)bn ?1 , cn = an +1 ? an = 2 两式相减,得 nbn .
n ?1 ∴ cn = 2 nbn = 2 n ?3 ( c1 = b1a2 = 2 适合).…………………………… 7 分

设 T= c1 + c3 + c5 + L + c2 n ?1 ,
2 4 2 n?2 ∴ T = 2 + 6 × 3 + 10 × 3 + L + (4n ? 2)?3

32 T = 2 × 32 + 6 × 34 + 10 × 36 + L + (4n ? 6)?32 n ? 2 + (4n ? 2)?32 n

两式相减 ,得
?8T = 2 + 4 × 32 + 4 × 34 + L + 4 × 32 n ? 2 ? (4n ? 2)?32 n

= 2 + 4×

1 9 9(9 n ?1 ? 1) ? (4n ? 2)? n = 2 + × 9 n ? ? (4n ? 2) × 9n 9 2 2 9 ?1 5 5 n = ? + × 9 ? 4n?9n 2 2 . T= 5 n 5 + ( ? )? 2 n 3 16 2 16 .………………………………………………… 9 分

∴

3bn ? 1 3n ? 1 2 = 1? n = 3bn + 1 3n + 1 3 +1 , (Ⅲ)

an +1 2n 2 = = 1? an + 2 2( n + 1) 2n + 2 .

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。

n 现只须比较 3 + 1 与 2n + 2 的大小.

n 当 n=1 时, 3 + 1 = 4 = 2n + 2 ；

n 当 n=2 时, 3 + 1 = 10 > 2n + 2 = 6 ；

n 当 n=3 时, 3 + 1 = 28 > 2n + 2 = 8 ；

n 当 n=4 时, 3 + 1 = 82 > 2n + 2 = 10 .

n 猜想 n ≥ 2 时， 3 + 1 > 2n + 2 .

用数学归纳法证明
n n (1)当 n=2 时，左边 = 3 + 1 = 10 ，右边 = 2n + 2 = 6 ， 3 + 1 > 2n + 2 成立.

k (2)假设当 n=k 时, 不等式成立，即 3 + 1 > 2k + 2 .

k +1 k k k 当 n=k+1 时, 3 + 1 = 3 × 3 + 1 = 3 + 1 + 2 × 3

> 2k + 2 + 2 × 3k > 2k + 2 + 2 = 2( k + 1) + 2 .

即当 n=k+1 时，不等式也成立.
n 由（1） ，可知 n ≥ 2 时， 3 + 1 > 2n + 2 都成立. （2）

n 所以 3 + 1 ≥ 2n + 2 （当且仅当 n＝1 时，等号成立）

1?

所以

3bn ? 1 an +1 2 2 ≥ ≥ 1? 3bn + 1 an + 2 . …………………………… 14 分 3 +1 2n + 2 .即
n

21.（1）f ′(x)=

ax ? 1 ( a > 0) ax 2

依题

ax ? 1 ≥0 在[1，+∞）上恒成立 ax 2
……

即 a≥

1 在[1，+∞）上恒成立，∴a≥1 x 1 1 x ?1 ，其中 x∈[ ,2]， 而 x∈[ ,1)时，f ′(x)<0；x 2 2 2 x

（2）当 a=1 时，f ′(x)=

∈(1, (1)=0

1 1 ]时，f ′(x)>0， ∴x=1 是 f (x)在[ ，2]上唯一的极小值点，∴ [f (x)]min=f 2 2
……

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。

又f(

1 3 1 1 ln e3 ? ln 2 4 )-f (2)= -2ln2= >0， ( )>f (2)， ∴[f (x)]max=f ( )=1-ln2 ∴f 2 2 2 2 2 1 综上，a=1 时，f (x)在[ ，2]上的最大值和最小值分别为 1-ln2 和 0 …… 2
（3）若 a=1 时，由（1）知 f (x)=

1? x + ln x 在[1，+∞）上为增函数， x

当 n>1 时，令 x=

n ，则 x>1，故 f (x)>f (1)=0， n ?1

n 1? n n ? 1 +ln n =- 1 +ln n >0，∴ln n > 1 即f ( )= n n ?1 n ?1 n n ?1 n ?1 n n ?1

……

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