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河北省容城中学2014-2015学年高二升级考试数学(理)试题


高二年级升级考试数学试题(理科)
(考试时间:120 分钟 分值:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.) 1、集合 A ? ? x 0 ? x ? 2? , B ? ? x x 2 ? x ? 0?,则A ? B ? A.R B. ( )

0? ? ?1 , 2? ? ??,

C. ?

D. ?1, 2? ( )

z2 ? 2、已知复数 z ? 1 ? i ,则 z ?1

A.2

B.-2

C.2i

D.-2i ( )

3、若 a ? 0 , ? 1 ? b ? 0 ,那么下列不等式中正确的是 A. a ? ab ? ab2 B. ab2 ? a ? ab C. a ? ab2 ? ab D. ab2 ? ab ? a 4 、给定函数① y ? x
1 2

② y ? log 1 ( x ? 1) ③ y ? x ?1 ④ y ? 2
2

x ?1

,其中在区间 号 是

? 0,1?
( )



















A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

5、类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间 内 的 下 列 结 论 : ( ) ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行; A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 6、一个几何体的俯视图是半径为 l 的圆,其主视图和侧视图如图所示,则该几 何 体 的 表 面 积 为 ( )

A.3 ?

B.4 ?

C .5 ?

D.7 ?

开始

7、如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为 2 ,则输出 y 的值是 A. 0 C. ?2
4 5



) B. ?1 D. ?3 ( )

输入 x

y ? 1 x ?1 2

x ? 2y


? 3 8、已知 cos( ? x) ? ,那么 sin 2 x =
18 A. 25

| y ? x |? 1
是 输出 y

B. ? D.

24 25 7 25

C. ?

7 25

结束

9、在等差数列 ?an ? 中, a9 ? A.132 C.48 10、已知函数 f ? x ? ?

1 a12 ? 6 ,则数列 ?an ? 的前 11 项和 S11 等于( 2 B.66 D.24

)

1 2 x ? cos x, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象大 4

致 ( )



?x ? 1 ? 11、已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1,则实数 a 的值 ?ay ? x ? 3 ?
是( A.4 B.
1 2



C.1

D.2

?e x ? a x ? 0 12、已知函数 f ? x ? ? ? (a ? R) ,若函数 f ? x ? 在 R 上有两个零点,则 ?2 x ? 1 x ? 0

a ( )













A. ? ??, ?1?

B. ? ??,0?

C. ? ?1,0?

D. ? ?1,0?

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13、某校对全校 1600 名男女学生的视力状况进行调查,现用分层抽样的方法抽 取一个容量是 200 的样本,已知女生比男生少抽 10 人,则该校的女生人数 是 人. 14、已知 k ?
AB ?

??

1

2

?2

4 ? x 2 dx ,直线 y ? kx ? 1 交圆 P : x

2

? y 2 ? 1 于 A , B 两点,则



15、已知向量 a ? ?2,1? , b ? ?0,?1? .若 a ? ?b ? a ,则实数 ? = 16、设函数 f ( x) ? ?
? x 2 ? 2( x ? 1) ?log 2 x ( x ? 1)

?

?



,则 f ( f (0)) =

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 17、 (本小题满分 10 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c , 2? 15 3 B? . 3 , ?ABC 的面积是 4 已知 c ? 5 , (1)求 b 的值; (2)求 cos 2 A 的值.

2 18、(本小题满分 12 分)已知函数 ? 最小正周期为 . (1)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的最大值和最小值;

f ( x) ? cos 2

?x

? 3 sin

?x
2

cos

?x
2

?

1 2 (? ? 0) 的

(2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

19、(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,∠DAB AE ? k ,点 F 为 PD =45°,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=1,点 E 为 AB 上一点,且 AB 中点. (1)若 k ?
1 ,求证:直线 AF // 平面 PEC ; 2

(2)是否存在一个常数 k ,使得平面 PED⊥平面 PAB,若存在,求出 k 的值;若 不存在,说明理由,

20、(本小题满分 12 分)观察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照以上式子规律 : ....... (1)写出第 5 个等式,并猜想第 n 个等式; (n∈N*) (2)用数学归纳法证明上述所猜想的第 n 个等式成立. (n∈N*)

21、(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 前 n 项和 Sn 满足: 2Sn ? an (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

?1

2an ?1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 ?1 ? an ??1 ? an?1 ?
4

P

Tn ,求证: Tn ? 1 .
D

F

C

A

E

B

22、(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x , g ( x ) ? ? (1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间;

1? a (a ? 0) . x

(3)若存在 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

高二年级升级考试数学参考答案(理科)
(考试时间: 120 分钟 一、 1、D D 2、A 3、C 4、B 5、D 6、C 7、C 8、 C 9、A 10、A 11、D 12、 分值:150 分)

二、13、760

14、

8 17 17

15、5

16、1

三、17、解: (1)因为 ?ABC 的面积是

2? 15 3 ,c ? 5 , B ? , 3 4
????? 3 分

所以

1 1 3 15 3 15 3 ac sin B ? ? . 即 a ?5? . 所以 a ? 3. 2 2 2 4 4

2 2 2 2 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 b ? 25 ? 9 ? 2 ? 5 ? 3 ? cos

2? ? 49. 3

所以 b ? 7. (2)由正弦定理

???????? 5 分

a b 3 3 3 3 ? . 所以 sin A ? ? ? . sin A sin B 7 2 14
2 2

????? 8 分

?3 3? 71 所以 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 14 ? 98 . ? ?
2 18、解析: (1) f ( x) ? cos

?????? 10 分

?x
2

? 3 sin

?x
2

cos

?x
2

?

1 1 ? cos?x 3 1 ? ? sin ?x ? 2 2 2 2

?

? 3 1 (x ? ) . ??? 3 分 sin ?x ? c o ? s x ? s i n? 6 2 2
2?

因为 T ?

?

? ? , ? ? 0 ,所以 ? ? 2 .

5分

因为 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

) , x ? R ,所以 ? 1 ? sin( 2 x ?

?
6

) ?1.
??8 分

所以函数 f ( x ) 的最大值为 1,最小值为-1. ( 2 ) 令

2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z )





2k? ?

2? ? ? 2 x ? 2k? ? (k ? Z ) , 3 3

所以 k? ? 所 以

?
3

? x ? k? ?


?
6

(k ? Z ) .
的 单 调 递 增 区 间 为



f ( x)

[ k? ?

?
3



] (k ? Z ) .????????12 分 6 19、解: (1)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M. 1 1 ∵点 F 为 PD 中点, ∴ FM ? CD . ∵ k ? , 2 2 1 ∴ AE ? AB ? FM ,又? FM ∥ CD ∥ AB 2

k? ?

?

P

F

M

∴AEMF 为平行四边形,∴AF∥EM, ∵ AF ? 平面PEC,EM ? 平面PEC ,∴直线
D C

AF // 平面 PEC. ?????6 分

A

E

B

(2)存在常数 k ?

2 ,使得平面 PED⊥平面 PAB .????8 分 2



AE 2 2 ? k , AB ? 1 , k ? ,∴ AE ? , 又∵∠DAB=45°,∴AB⊥DE. AB 2 2

又∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AB. 又∵ PD ? DE ? D ,∴AB⊥平面 PDE, ∵ AB ? 平面PAB,∴平面 PED⊥平面 PAB. ???????12 分 20、解: (1)第 5 个等式为: 5+6+7+8+9+10+11+12+13=92 ????? ? 2分 第 n 个等式为: n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1) , n ? N *
2

????? ? 5分 (2)①当 n ? 1 时,等式左边=1,等式右边=(2-1) =1,所以等式成立.
2

????? ? 6分

(k ? N * ) 时,等式成立,即 k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? (3k ? 2) ? (2k ? 1)2 (k ? 1, k ? N ? )
②假设 n ? k 那么,当 n ? k ? 1 时,

(k ? 1) ? [(k ? 1) ? 1] ? [(k ? 1) ? 2] ? ? ? [3(k ? 1) ? 2] ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? (k ? 3) ? ? ? (3k ? 1) ? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? (3k ? 2) ? (3k ? 1) ? 3k ? (3k ? 1) ? k ? (2k ? 1) 2 ? 8k ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 8k ? (2k ? 1) 2 ? [2(k ? 1) ? 1]2 即 n ? k ? 1 时等式成立.?????? 11 分 根据(1)和(2) ,可知对任何 n ? N * ,等式都成立.??? 12 分

21、

22、解: (1) f ( x) ? x ? a ln x 的定义域为 (0, ??) . ???1 分 当 a ? 1 时, f ?( x ) ?
x ?1 . x

???2 分

由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增; 所以当 x ? 1 时, 函数 f ( x ) 取得极小值, 极小值为 f (1)=1 ? ln1 ? 1 ; 分 (2) h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? x ? a ln x ? 又 h?( x) ? 分 由 a ? 0 可得 1 ? a ? 0 ,在 x ? (0,1 ? a ) 上 h?( x ) ? 0 ,在 x ? (1 ? a, ??) 上 h?( x ) ? 0 , 所 以
h( x )

??..4

1? a ,其定义域为 (0, ??) . x

x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? . x2 x2

????..6

的 递 减 区 间 为 ??..??7 分

(0,1 ? a )

; 递 增 区 间 为

(1 ? a, ??) .

(3)若在 [1, e] 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, 即在 [1, e] 上存在一点 x0 , 使得 h( x0 ) ? 0 . 即 h( x ) 在 [1, e] 上的最小值小于零. ?8 分 ①当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时,由(II)可知 h( x ) 在 [1, e] 上单调递减. 故 h( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 h(e) , 由 h ( e) ? e ? 分 因
e2 ? 1 ; e ?1

1? a e2 ? 1 ? a ? 0 ,可得 a ? . e e ?1

???9



e2 ? 1 ? e ?1 e ?1







a?

???10 分

②当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,

由(II)可知 h( x ) 在 (1,1+a) 上单调递减,在 (1 ? a, e) 上单调递增.
h( x )



[1, e]











h(1 ? a) ? 2+a ? a ln(1 ? a) .
因为 0 ? ln(1 ? a ) ? 1 ,所以 0 ? a ln(1 ? a ) ? a .

???11 分

? 2+a ? a ln(1 ? a) ? 2 ,即 h(1 ? a) ? 2 不满足题意,舍去.
综上所述: a ? (
e2 ? 1 , ??) . e ?1

???12 分

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