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数列求和的基本方法和技巧学生用


数列求和的基本方法和技巧
数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、 等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?

[例] 求和 1+x2+x4+x6+?x2n+4(x≠0)

注:(1)利用等比数列求和公式.当公比是用字母表示时,应对其是否为 1 进行讨论,如本题 若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列,还应对 x 是否为 0 进行讨论.(2)要弄清数列 共有多少项,末项不一定是第 n 项.
对应高考考题:设数列 1, (1+2) ,?, (1+2+

2 ? ?2
2

n?1

) ,??的前顶和为

s

n

,则

s

n

的值。

二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置,近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。 需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方 法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在

已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 q ;然后再将得到的新和式和原和式 相减,转化为同倍数的等比数列求和,这种方法就是错位相减法。
[例] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x
2 3 n?1



x ? 1)………………………①

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1

注意、1 要考虑 当公比 x 为值 1 时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由 一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对 应 高 考 考 题 : 设 正 项 等 比 数 列 ?an ? 的 首 项 a1 ?

1 , 前 n 项 和 为 Sn , 且 2

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 。

三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原 数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .
0 1 2 n [例] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

若数列 ?an ? 的通项公式为 cn ? an ? bn ,其中 ?an ?, ?bn ?中一个是等差数列,另一个是等比 数列,求和时一般用分组结合法。 1 1 1 1 [例]:求数列 1 ,2 ,3 ,4 ? 的前 n 项和; 2 4 8 16

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1) (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

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2

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

[例] 求数列

1? 2

小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限 的几项。 注意: 余下的项具有如下的特点 1 余下的项前后的位置前后是对称的。 2 余下的项前后的正负性是相反的。

[练习] 在数列{an}中, an ? 和.

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这 些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值.

数列的求和方法多种多样,它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好 几种最基本的方法,在解题中才能比较容易解决数列问题。

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3

数列通项公式的十种求法

一、公式法 例 1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 2n 转化为 列,再直接利用等差数列的通项公式求出 二、累加法

an ?1 an 3 a ? n ? ,说明数列 { n } 是等差数 n ?1 2 2 2 2n

an 3 ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 {an } 的通项公式。 n 2 2

例 2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 ,

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转 化 为 an?1 ? an ? 2n ? 1 , 进 而 求 出

(an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。
例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 ,

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键是 把 递 推 关 系 式 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1转 化 为 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1, 进 而 求 出
n n

,即得数列 {an } 的通项公式。 an ? ( an ? an?1 ) ? ( an?1 ? an?2 ) ? ? ( a ? a ) ? ( a ? a ) ? a ? 3 2 2 1 1

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4

例四已知数列{a } 满足 a
n

n?1

? 3an ? 2 ? 3n ? 1 a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 ,

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 转化为

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 ,进而求出 n ?1 3 3 3 3

(

an an ?1 an ?1 an ?2 an ?2 an ?3 a2 a1 a ? an ? ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ?2 ) ? ( n ?2 ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? 1 ,即得数列 ? n ? 的通项公式,最后再求 n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ?3 ?

数列 {an } 的通项公式。 三、累乘法 例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an 转 化 为

an ?1 ? 2(n ? 1)5n , 进 而 求 出 an

an an?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 an?1 an?2 a2 a1
例 6 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通项公式。 ,

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? (n ? 1)an (n ? 2) 转化为

an ?1 ? n ? 1(n ? 2),进而求出 an

an an?1 a ? ?? ? 3 ? a2 ,从而可得当 n ? 2时,an 的表达式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 an?1 an?2 a2

第 5 页 共 6 页

5

四、待定系数法 例 7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 5n 转化为 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) ,从而可知数列

{an ? 5n }是等比数列,进而求出数列 {an ? 5n }的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。
例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 转化为

an?1 ? 5 ? 2n?1 ? 2 ? 3(an ? 5 ? 2n ? 2) ,从而可知数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 是等比数列,进而求出数列 {an ? 5 ? 2n ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式。
例9 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an?1 ? 2an ? n ? n ? 3 4
2

转 化 为 5

an?1 ? 3(n ?1)2 ?10(n ? 1) ? 18 ? 2(an ? 3n2 ?10n ?18) ,从而可知数列 {an ? 3n2 ? 10n ? 18}是等比数
列,进而求出数列 {an ? 3n ? 10n ? 18} 的通项公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。
2

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