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河北省唐山一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题有答案

唐山一中 2017—2018 学年度第二学期期中考试 高二年级 理科数学试卷 命题人:李桂兰 及淑颖 审核人:朱崇伦 说明: 1.考试时间 120 分钟,满分 150 分; 2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答在答题卡上; 3.Ⅱ卷答题卡卷头填写姓名、班级、座位号,不要误填学号. 卷Ⅰ(选择题 共 60 分) 一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题意)

z?

1.若 A.第一象限

m?i 1 ? i ( m ? R , i 为虚数单位) ,在复平面上对应的点不可能位于
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限



) )

2 2 2.用反证法证明“若 a, b ? R , a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”时,假设正确的是( A. a , b 中只有一个为 0 B. a , b 至少一个为 0

C. a , b 全不为 0

D. a , b 至少有一个不为 0 )

3.在含有 3 件次品的 200 件产品中,任意抽取 5 件,则至少 2 件是次品的取法种数 ( A.

CC

2 3

3 198

B.

CC

2 3

3 197

+C C

3 3

2 197

C.
2

C

5 200

-C C

1 3

4 197

D.

C

5 200

-C

5 197

? ? ? 4. 设函数 f ( x ) 的导函数为 f ( x ) ,且 f ( x) ? x ? 2 xf (1) ,则 f (?1) ?
A. 0 B. ? 6 C. ? 3 D . ? 2





5. 设随机变量 X 的分布列为

P( X ? i) ?

2 A. 5

3 B. 5

6. 某厂生产的零件外直径

?

N ?10, 0.04?

i (i ? 1, 2,3, 4) 2a ,则 P( X ? 3) ? 3 7 C. 10 D. 10





,今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分

别为 10.3cm 和 9.3cm ,则可认为 ( ) A.上、下午生产情况均正常 B.上、下午生产情况均异常 C.上午生产情况正常,下午生产情况异常 D.上午生产情况异常,下午生产情况正常

1?
7. 利用数学归纳法证明不等式: A. 2
k

1 1 ? ? 2 3

?

1 ? n(n ? 2, n ? N * ) 2 ?1 的过程中,
n

由 n ? k 变到 n ? k ? 1 时,左边增加了 项 B. 2
k ?1

( C. k 项 D. 1 项





f ( x) ?
8. 过函数 ( )

x 1 ? x 图象上一点 ? 2, ?2? 及邻近一点 ? 2 ? ?x, ?2 ? ?y ? 作割线, 则当 ?x ? 0.25 时割线的斜率为 4 B. 5 9 D. 5 ?

1 A. 5

9. 从 1, 2, ???,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同取法共 A. 60 种 B. 65 种 C. 66 种 D. 68 种

C. 1





y ? ?1 ? x ? f ?( x) ? 10. 设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ( x ) ,且函数 的图象如图所示,则下列结论中一定 成立的是 ( )

A.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1)

B.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1)

C.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小 值 f (?2) D.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 11.某学校有 6 个活动小组报名参加 4 个地区的社会实践活动,每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参 加,若 1 组和 2 组不去同一地区,则不同的方案有 ( ) 1320 2160 A. 种 B. 种 C. 2400 种 D. 4320 种

? f ( x), f ( x) ? p f p ( x) ? ? ?0, ??? 上有定义,对于任一给定的正数 p ,定义函数 ? p, f ( x) ? p ,则称函 12.设函数 y ? f ( x) 在 ln x ? 1 f ( x) ? f p ( x) e x ,恒有 f p ( x) ? f ( x),则 下列结论 正确的是 数 为 f ( x ) 的 “ p 界函数” . 若给定函 数
( )

1 A. p 的最大值为 e

1 B. p 的最小值为 e

C. p 的最大值为 2

D. p 的最小值为 2

卷Ⅱ(非选择题 共 90 分) 二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,计 20 分)

? 2 1 ? ? x ? 2 ? a? x ? 的展开式中常数项为 19 ,则实 13. ? ? ? 1 ? x2 , ?1 ? x ? 1 2 f ( x) ? ? f ( x)dx ?e x , x>1 ? ? ? 14. 已知函数 ,则 ?1 =__________.
15. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处, 小球将 的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球 1 时,向左、右两边下落的概率都是 2 ,则小球落入 A 袋中的概率为 16. 下列命题中,正确的命题的序号为__________. ①已知随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ,若 E ( X ) ? 30, D( X ) ? 20 , ②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变;

4

数 a 的值为__________.

自由下落,小球在下落 每次遇到黑色障碍物 __________.

p?


2 3;

1) ? p ,则 ③设随机变量ξ 服从正态分布 N (0,1) ,若 P(?>

P ( ?1<? ? 0) ?

1 ?p 2 ;

④某人在 10 次射击中,击中目标的次数为 X , X B(10,0.8) ,则当 X ? 8 时概率最大. 三.解答题(共 6 小题,计 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本题满分 10 分) 设整数 p ? 1, p ? N ,用数学归纳法证明:当 x ? ?1 且 x ? 0 时, (1 ? x) ? 1 ? px .
p ?

18.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x ? 16 .
3

? 2, ?6? 处的切线的方程; (1)求曲线 y ? f ( x) 在点

(2)直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标.

19.(本题满分 12 分) 2018 年某省数学奥赛试行改革:在高二一年中举行 5 次全区竞赛,学生如果其中 2 次成绩达全区前 20 名即可进 入省队培训,不用参加其余竞赛,而每个学生最多也只能参加 5 次竞赛.规定:若前 4 次竞赛成绩都没有达全区

1 前 20 名,则第 5 次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前 20 名的概率都是 3 ,每次竞赛成绩达全区前 20
名与否互相独立. (1)求该学生进入省队的概率. (2)如果该学生进入省队或参加完 5 次竞赛就结束,记该学生参加竞赛的次数为 ? ,求 ? 的分布列及 ? 的数学期 望. 20. (本题满分 12 分) 已知二次函数

l2 : y ? ?t 2 ? 8t ( 其 中 l : x ? 2 .若直线 l1 , l2 与函数 f ? x ? 的图象以及 l2 , y 轴与函 数) ,1
,直线 围成的封闭图形如阴影所示. (1)求阴影面积 S 关于 t 的函数 (2)已知函数

f ? x ? ? ?x2 +8x

0 ? t ? 2, t 为 常


f ? x?

的图象所

S ?t ?

g ? x ? ? S ? x ? ? a ln x



在其定义域上单调递减,求

a 的范围.

21.(本题满分 12 分)

1 f ( x) ? (1 ? ) x (n ? N ? , n ? 1, x ? N ? ). n 设函数 1 (1 ? ) x n 的展开式中二项式系数最大的项; (1)当 x ? 6 时,求
f (2 x) ? f (2) ? f ?( x) ? 2 (2) (A 普班、实验班做) ?x ? R ,证明 ( f ( x)是f ( x) 的导函数) ;

1 an ? ? (1 ? ) ? (a ? 1)n ? k k ?1 (B 英才班做)是否存在 a ? N ,使得 恒成立?若存在,试证明你的结论并求出 a 的
值;若不存在,请说明理由. 22.(本题满分 12 分) 已知函数

n

k

f (x) ? lnx ? ax f (x)



(1)讨论

的单调性;

(2)当函数 有两个不相等的零点 1 2 时,证明: 唐山一中 2017—2018 学年度第二学期期中考试 高二年级 理科数学答案 一.选择题:1-4: DDBB;5-8: CCAB;9-12: CDAB.

f (x)

x ,x

x1 ? x2 ? e2 .

?

二.填空题:13. ?1 ;14. 2 三.解答题: 17. 用数学归纳法证明:

? e2 ? e
;15. 0.75;16. ②③④.

①当 p=2 时,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立. ………………………………2 分 ②假设 p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+x)k>1+kx 成立. ……………………………4 分 当 p=k+1 时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以 p=k+1 时,原不等式也成立. …………………………………………………9 分 综合①②可得,当 x>-1 且 x≠0 时,对一切整数 p>1,不等式(1+x)p>1+px 均成立. …10 分 18. 解:(1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1. ∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6),即 y=13x-32. ………………………4 分 (2)设切点为(x0,y0),则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x2 0+1, ∴直线 l 的方程为:y=(3x2 0+1)(x-x0)+x3 0+x0-16, 又∵直线 l 过点(0,0),∴0=(3x2 0+1)(-x0)+x3 0+x0-16,…………………10 分 整理得,x3 0=-8,∴x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3× (-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26).…………………………12 分 19. (1)记“该生进入省队”的事件为事件 A ,其对立事件为 A ,

2 112 131 1 1 2 3 2 P ( A)=C4 ( )( ) ( ) ? ( ) 4 ? P( A)= 3 3 3 3 243 243 ……………………4 分 则 ∴ (2)该生参加竞赛次数 ? 的可能取值为 2,3,4,5.…………………………6 分 1 1 P(? ? 2) ? ( ) 2 ? 3 9 1 2 1 4 1 P(? ? 3) ? C2 ( )( )( ) ? 3 3 3 27 , 2 28 1 1 2 2 1 P(? ? 4) ? C3 ( )( ) ( ) ? ( ) 4 ? 3 3 3 3 81 , 32 1 1 2 3 P (? ? 5) ? C4 ( )( ) ? 3 3 81 .……………………………………………………10 分 故 ? 的分布列为:

?
P

2

3

4

5

1 9

4 27

28 81

32 81

E (?) ?

326 81 .……………………………………………………………………12 分

20.(1)由



∵0≤t≤2,∴直线 l1 与 f(x)的图象的交点坐标为( 由定积分的几何意义知:

………………………………………………………………6 分

4 40 g ( x) ? S ( x) ? a ln x ? ? x 3 ? 10 x 2 ? 16 x ? ? a ln x (0, 2] 3 3 (2) ,定义域为

a ?4 x3 ? 20 x 2 ? 16 x ? a ? x x ………………………………8 分 3 2 3 2 因为 y ? g ( x) 单减,则 ? 4 x ? 20x - 16x ? a ? 0 恒成立,即 a ? 4 x ? 20x ? 16xmin g ?( x) ? ?4 x 2 ? 20 x ? 16 ?
5 ? 13 5 ? 13 (0, ) ( ,2] 3 2 y ? h ( x ) h ( x ) ? 4 x ? 20 x ? 16 x 3 3 设 , 在 是增函数,在 是减函数,所以 a ? ?16 …………………………………………………………………12 分
21. (1)展开式中二项式系数最大的项是第 4 项,这项是 (2) (普班、实验班) 证法一:因 = …2 分

证法二:因 = 而 ………………………………………………………6 分 故只需对 和 进行比较.

令 g(x)=x-lnx(x≥1) ,有 由 ,得 x=1 因为当 0<x<1 时,g′(x)<0,g(x)单调递减; 当 1<x<+∞时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以在 x=1 处 g(x)有极小值 1 故当 x>1 时,g(x)>g(1)=1, 从而有 x-lnx>1,亦即 x>lnx+1>lnx 故有 恒成立. 所以 f(2x)+f(2)≥2f′(x) ,原不等式成立.……………………………12 分 (2) (英才班)对 m∈N,且 m>1 有 = = < ……………………………………………8 分 = 又因 ∵ 即存在 a=2,使得 22. (1)当 a ? 0 时, f (x) 在 >0(k=2,3,…,m) ,故 ,从而有 <3; …4 分

…………………10 分 成立,

? 0,?? ?

恒成立.…………………………………12 分 单调递增;

? 1? ?1 ? ? 0, ? ? , ?? ? f (x) f (x) a a ? 单调递增; ? 单调递减;………………4 分 当 a ? 0 时, 在? 在? ? ln x1 ? ax1 ? ln x ? ax2 x ? x ? 0 1 2 (2)不妨设 ,由题意得 ? 2 ln x1 ? ln x2 a? x1 ? x2 ,要证 x1 x2 ? e2 ,只需证 ln x1 ? ln x2 ? 2 …………………6 分 相减得: ln x1 ? ln x2 2(x ? x ) ln x1 ? ln x2 ? 1 2 ln x1 ? ln x2 = a(x1 ? x2 ) = x1 ? x2 (x1 ? x2 ) ? 2 ,只需证 x1 ? x2 x 2( 1 ? 1 ) x x2 ln 1 ? x x1 x2 2(t ? 1 ) 1 ?1 ?t lnt ? ?0 x2 x (t ? 1 ) t ?1 只需证 ,设 2 ,只需证 ……………10 分 (t ? 1 ) 2(t ? 1 ) g ' (t) ? ?0 t(t ? 1 )2 t ? 1 ,则 设 , g(t) ? g( 1 ) ? 0 , 所以原命题成立.………………………………………………………………………12 分
2

g(t) ? lnt ?



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