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江苏省高考数学第一轮复习单元试卷5:三角函数的证明与求值


第五单元
一.选择题. (1) 若 ? 为第三象限, 则 A.3 以 )

三角函数的证明与求值
的值为 D.-1 立 ( )

cos? 1 ? sin ?
2

?

2 sin ? 1 ? cos ?
2

(2) (



B.-3 各



C.1 中 能 B. cos ? ?







A. sin ? ? cos ? ? C. sin ? ? (3) ( sin7 ) A. ?

1 2

1 且 tan ? ? 2 2
1 2
° 值

1 3 且 tan? ? 2 3
° cos37 ° -

D. tan ? ? 2 且 cot ? ? ? sin83 ° cos53

1 1 B. 2 2
f(x)=

C.

(4) 若 函 数 ( A )

3 3 D.- 2 2 1 x, x ∈ [0, 3 sin 2
2 3
C

? ], 则 函 数 f(x) 的 最 大 值 是 3
3 2
( )

2 D 2 ? ? (5) 条件甲 1 ? sin ? ? a , 条件乙 sin ? cos ? a , 那么 2 2
B A.甲是乙的充分不必要条件 C.甲是乙的必要不充分条件

1 2

B.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 ( 值 ) 是

(6) ? 、 ? 为锐角 a=sin( ? ? ? ),b= sin ? ? cos ? ,则 a、b 之间关系为 A.a>b (7)(1+tan25 ( ) A -2 (8) ( B.b>a C.a=b D.不确定 ° )(1+tan20 ° B 为 第 2 二 象 限 C 1 的 角 ) 的 D -1 , 则

?
) A. tan





? ? > cot 2 2 ? ? C. sin > cos 2 2
(9) ( 在 ) A. △ ABC 中 , sinA=

4 5

? ? < cot 2 2 ? ? D. sin < cos 2 2 12 , cosB= ? , 则 13
B. tan D. ?

cosC





56 65

B. ?

16 56 16 C. 或? 65 65 65

33 65

-1-

(10)



a>b>1,

P=

lg a ? lg b ,

Q=

1 2

(lga+lgb) , R=lg

a?b 2

,



( ) A.R<P<Q 二.填空题

B.P<Q<R

C.Q<P<R 。

D P<R<Q

(11)若 tan ? =2,则 2sin2 ? -3sin ? cos ? = (12)若 sin ? - cos ? ? (13) sin ? ? cos ? ?

7 , ? ∈(0,π ) ,则 tan ? = 5




1 ,则 cos? ? sin ? 范围 2

(14)下列命题正确的有_________。

? ? < ? < ? < ,则 ? ? ? 范围为(-π ,π ) ; 2 2 ? ②若 ? 在第一象限,则 在一、三象限; 2 m?3 4 ? 2m ③若 sin ? = , cos ? ? ,则 m∈(3,9) ; m?5 m?5 ? 3 ? 4 ④ sin = , cos = ? ,则 ? 在一象限。 2 2 5 5
①若- 三.解答题 (15) 已知 sin( ? + ? )=-

3 12 ? 3? ,cos( ? ? ? )= ,且 < ? < ? < ,求 sin2 ? . 5 13 4 2

(16) (已知 sin(
2

?
4

? 2a) ? sin(

?
4

? 2a ) ?

1 ? ? , a ? ( , ), 4 4 2

求 2 sin a ? tana ? cot a ? 1 的值.

-2-

(17) 在△ABC 中,sinA+cosA=

2 ,AC=2,AB=3,求 tgA 的值和△ABC 的面积. 2

(18)设关于 x 的方程 sinx+ 3 cosx+a=0 在(0, 2π )内有相异二解α 、β . (Ⅰ)求α 的取值范围; (Ⅱ)求 tan(α +β )的值.

参考答案 一选择题: 1.B [解析]:∵ ? 为第三象限,∴ sin ? ? 0, cos? ? 0 则 2.C [解析]: 若 sin ? ? 3.A [解析]:sin7°cos37°-sin83°cos53°= sin7°cos37°-cos7°sin37°
-3-

cos? 1 ? sin 2 ?

?

cos? 2 sin ? ? ? ?1 ? 2 ? ?3 1 ? cos2 ? | cos? | | sin ? |
(k ? Z )

2 sin ?

1 ? 3 且 tan? ? 则 ? ? 2k? ? 2 6 3

=sin(7°- 37°) 4.D [解析]:函数 f(x)= 3 sin 5.D [解析]: 1 ? sin ? ? 6.B [解析]:∵ ? 、 ? 为锐角∴ 0 ? sin ? ? 1, ∴a ? b 7.B [解析]:(1+tan25° )(1+tan20° )=1+ tan25 ? tan20 ? tan25 tan20
0 0 0 0

1 ? 1 ? 1 3 x, ∵x∈[0, ],∴ x∈[0, ],∴ 3 sin x ? 2 2 2 3 6 2

(sin

?

? cos ) 2 ?| sin ? cos | , 故选 D 2 2 2 2
0 ? cos ? ? 1

?

?

?

又 sin( ? ? ? )= sin ? cos ? ? cos? sin ? < sin ? ? cos ?

? 1 ? tan(250 ? 200 )(1 ? tan 250 tan 200 ) ? tan 250 tan 200 ? 1 ? 1 ? tan 250 tan 200 ? tan 250 tan200 ?2
8.A [解析]:∵ ? 为第二象限的角 ∴

? 角的终边在如图区域内 2 ? ? ∴ tan > cot 2 2
12 ,∴B 是钝角,∴C 就是锐角,即 cosC>0,故选 A 13

9.A [解析]:∵ cosB= ?

10.B [解析]:∵a>b>1, ∴lga>0,lgb>0,且 lg a ? lg b ∴ lg a ? lg b < 二填空题: 11.

lg a ? lg b 1 a?b ? lg( ab ) ? lg ab ? lg 故选 B 2 2 2

2 5

[解析]:2sin2 ? -3sin ? cos ? = 12. ?

2 sin 2 ? ? 3 sin ? cos? 2 tan2 ? ? 3 tan? ? sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1

4 3 或? 3 4

[解析]: ∵ sin ? - cos ? ?

7 ? >1,且 ? ∈(0,π )∴ ? ∈( ,π ) 5 2 7 2 24 2 ∴ ( sin ? - cos ? ) ? ( ) ∴2sin ? cos ? = ? 5 25 1 ∴ sin ? + cos ? ? ? 5 4 3 3 4 ∴sin ? = cos ? = ? 或 sin ? = cos ? = ? 5 5 5 5
-4-

tan ? = ? 13. ??

4 3 或? 3 4

? 1 1? , ? ? 2 2?

[解析]: ∵ sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? = sin(? ? ? ) ∴

cos? ? sin ? = sin(? ? ? ) ?


1 2

?

3 1 ? cos ? ? sin ? ? 2 2

又 sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? = sin(? ? ? )

1 ? sin(? ? ? ) 2 1 3 ∴ ? ? cos ? ? sin ? ? 2 2 1 1 故 ? ? cos ? ? sin ? ? 2 2


cos? ? sin ? =

14.②④ [解析]:∵若-

? ? < ? < ? < ,则 ? ? ? 范围为(-π ,0)∴①错 2 2 m?3 4 ? 2m ∵若 sin ? = , cos ? ? ,则 m∈(3,9) m?5 m?5 2 2 又由 sin ? ? cos ? ? 1 得 m=0 或 m=8
∴m=8 故③错

三解答题: (15) 解: ∵

? 3? < ? <? < 4 2

∴? ? ? ? ? ?

∵sin( ? + ? )=-

3 12 ,cos( ? ? ? )= 5 13

3? ? ,0 ? ? ? ? ? 2 4 4 5 ∴cos( ? + ? )= ? sin( ? ? ? )= 13 5

∴ sin 2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] = ? (16) 解: 由 sin( =

?
4

? 2a ) ? sin(

?
4

56 . 65

? 2a ) = sin(

?
4

? 2a) ? cos(

?
4

? 2a )

1 ? 1 1 sin( ? 4a) ? cos 4a ? , 2 2 2 4 1 ? ? 5? 得 cos 4a ? 又 a ? ( , ) ,所以 a ? . 2. 4 2 12
于是

2 sin 2 ? ? tan? ? cot? ? 1 ? ? cos 2? ?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 cos 2? ? ? cos 2? ? sin ? cos? sin 2?

-5-

5? 5? 3 5 ? 2 cot ) = ? (? ? 2 3) ? 3 6 6 2 2 2 (17)解:∵sinA+cosA= 2 cos(A-45°)= , 2 1 ∴cos(A-45°)= . 2
== ? (cos 又 0°<A<180°, ∴A-45°=60°,A=105°. ∴tgA=tg(45°+60°)=

1? 3 1? 3

=-2- 3 .

∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

2? 6 . 4

1 1 2? 6 3 AC?AbsinA= · 2?3? = ( 2 + 6 ). 2 2 4 4 1 ? 3 (18)解: (Ⅰ)∵sinx+ 3 cosx=2( sinx+ cosx)=2 sin(x+ ), 2 3 2 ? a ∴方程化为 sin(x+ )=- . 2 3 ∵方程 sinx+ 3 cosx+a=0 在(0, 2π )内有相异二解,
∴SABC= ∴sin(x+ 又 sin(x+

? ? 3 )≠sin = . 3 3 2

? 3 )≠±1 (∵当等于 和±1 时仅有一解), 3 2 a a 3 ∴|- |<1 . 且- ≠ . 即|a|<2 且 a≠- 3 . 2 2 2 ∴ a 的取值范围是(-2, - 3 )∪(- 3 , 2).
(Ⅱ) ∵α 、 β 是方程的相异解, ∴sinα + 3 cosα +a=0 sinβ + 3 cosβ +a=0 ①. ②.

①-②得(sinα - sinβ )+ 3 ( cosα - cosβ )=0. ∴ 2sin ∴tan

???
2 2
=

cos

???
2

-2 3 sin

???
2

sin

???
2

=0, 又 sin

???
2

≠0,

???

3 . 3

2 tan
∴tan(α +β )=

???
2

2 ? tan

???
2

2

= 3.

-6-



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