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同角三角函数的基本关系练习题及答案详解


2015 年 2 月 9 号

同角三角函数的基本关系 【课前复习】 1.叙述任意角三角函数的定义. 2.计算下列各式的值: sin 30°+ cos 30°= _______________ ; sin 420°+ cos 420°=________________;
sin 45? cos 45?
2 2 2 2

= _______________ ; tan

5? 6

?cot

5? 6



_______________. 【学习目标】 1.掌握同角三角函数的基本关系式:sin α +cos α =
sin ? 1, cos ?
2 2

=tanα ,tanα cotα =1.

2.运用同角三角函数的基本关系式解决求值问题. 【基础知识精讲】 本课时的重点是同角三角函数关系式及其变式的应用, 难点是三角函数值符号在不同象限时的确定. 1.同角三角函数的基本关系式,反映三角函数之间的 内在联系.它们都是根据三角函数的定义推导出来的.亦可 以利用单位圆用几何方法推出. 2.对同角三角函数基本关系式的应用应注意: (1)关系式中要注意同角.例如 sin α +cos β =1 就 不恒成立.
2 2

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2015 年 2 月 9 号

(2)关系式仅当 α 的值使等式两边都有意义时才成 立.如,当 α
2

k? = 2 (k∈Z)时,tanα

?cotα =1 就不成立.
2 2

(3)对公式除了顺用,还应用逆用、变用、活用.例 如,由 sin α +cos α =1,可变形为 cos α =1-sin α , cosα =±
1 ? sin 2 ?
2

, 1 = sin α + cos α , sinα ?cosα =

2

2

(sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 2 等.

( 4 ) 注 意 “1” 的 代 换 , 可 用 sin α + cos α , tanα ?cotα 等去代换 1. 3 .用同角三角函数的基本关系式时一定要注意“同 角”,至于角的表达形式是无关重要的,如: sin 2α +
? 2 ? ? cos =1,tan 2 = 2
sin
2 2

2

2

cos 2α

2

,tan4α ?cot4α =1 等.
2

4.sin α 是(sinα ) 的简写,读作“sinα 的平方”, 而不能写成 sinα ,前者是 α 的正弦值的平方,后者是 α 的平方的正弦,两者是不同的. 5.同角三角函数的基本关系式有哪些应用? (1)已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个, 求出其余两个; (2)化简三角函数式; (3)证明简单的三角恒等式. 其中,根据角 α 终边所在象限求出其三角函数值,是 本课时的一个难点,它的结果不唯一,需要讨论,正确运用 平方根及象限角的概念,是解决这一难点的关键.
2

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2015 年 2 月 9 号

6.根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求 其余两个值(简称“知一求二”)时,如何判断是一组结果 还是两组结果? 如果角所在象限已指定,那么只有一组解;如果角所在 象限没有指定,一般应有两组解. 7.基本关系式的重要等价变形有哪几个? 常用的有以下几个: sin α = 1 - cos α ; cos α = 1 - sin α
2 2 2 2

; sinα

= cosα ?tanα
2

; cosα
1 ? sin 2 ?



sin ? tan ?



(sinα ±cosα ) =1±2sinα cosα ; 【学习方法指导】

=|cosα |.

[例 1]已知 α 是第三象限角且 tanα =2,求 cosα 的值. 分析:本题是 1992 年高考题,虽然简单,但有很高的 训练价值,下面给出两种解法. 解法一:(公式法)由 tanα =2
2 2 2

sin ? 知 cos ?
2

=2,sinα =
2

2cosα , sin α =4cos α , 而 sin α +cos α =1, ∴4cos α +cos α =1,cos α
2 2

1 =5.
5 5

由 α 在第三象限知 cosα =- 解法二:(锐角示意图法)

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2015 年 2 月 9 号

图 4-4-1 先视 α 为锐角, 作锐角示意图, 如图 4-4-1, 则 cosABC =
5 5 5 5

∵α 是第三象限角,∴cosα =- 函数值?



当已知角的一个三角函数值是字母时, 如何求其他三角 [例 2]已知 sinα =m(|m|<1),求 tanα ,cosα . 分析: 由 sinα 求 cosα , 需用公式 sin α +cos α =1, 但 cosα 取正或取负应根据 α 所在象限来确定,所以需对 α 分类讨论. 解:(1)当-1<m<1,且 m≠0 时, 若 α 在第一、四象限,则 cosα = tanα
sin ? = cos ?
1 ? sin 2 ? ? 1 ? m 2
2 2





m 1 ? m2 1 ? m2 = 1 ? m2

m


1 ? m2

若 α 在第二、三象限,则 cosα =- tanα
sin ? ? m 1 ? m 2 ? 1 ? m2 = cos ?





(2)若 m=0,则 α =kπ (k∈Z), ∴tanα =0,cosα =±1.

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2015 年 2 月 9 号

点评:当已知角 α 的一个三角函数值为字母时,应对 α 分类讨论. [例 3]已知 tanα
2 cos ? ? 3 sin? (1) 3 cos ? ? sin?
4 =- 3 ,求下列各式的值:
2 2

; (2) 2sin α +sinα cosα -3cos α .

分析:根据题目的条件,可将欲求值的式用 tanα 来表 达.
4 2 ? 3 ? (? ) 3 4 2 ? 3 tan ? 6 3 ? (? ) ? 3 = 5. 解:(1)原式= 3 ? tan ? =
2 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 3 cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? (2)原式= 2 tan 2 ? ? tan ? ? 3 = tan 2 ? ? 1

4 4 2 ? (? ) 2 ? (? ) ? 3 7 3 3 ?? 4 25 (? ) 2 ? 1 3 = .

点评:本例的解法,体现了一种转化与化归的数学思想 方法,把含有正弦、余弦的分式和齐次式转化为只含有正切 的式子是常用的三角变换技巧. 【知识拓展】 1.根据同角三角函数的基本关系式及三角函数的定义, 可得出八个式子.
?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? 2 2 ?1 ? tan ? ? sec ? ? 2 2 ?1 ? cot ? ? csc ? ?tan ? ? cot ? ? 1 ? ?sin ? ? csc ? ? 1 ?cos ? ? sec ? ? 1 ? sin ? ? tan ? ? ? ? cos ? ? ?cot ? ? cos ? ? sin ? ?



2.同角三角函数的基本关系式是整个三角函数一章的 重点内容之一,应牢记三个基本公式,并能正确地运用它们

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2015 年 2 月 9 号

进行三角函数求值、化简、证明.在应用中逐渐掌握解题技 巧: 如“1”的变形,切化弦思想,等价转化的思想.

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2015 年 2 月 9 号

一、选择题 1.若 sinα 等于( )
3 B. 4 3 C.± 4 4 A.- 3
4 D.± 3

4 = 5 ,且

α 是第二象限角,则 tanα 的值

2.已知 sinα +cosα 等于( )
4 A.- 3
4

1 = 5 ,且

0≤α <π ,那么 tanα
3 C. 4 4 D. 3

3 B.- 4
4

3. 若 sin α +cos α =1, 则 sinα +cosα 等于 ( A.± D.±1 二、填空题 4 . 若 sinα + 3cosα = 0 , 则 ____________. 5.已知 tanα
1 =2,则 sin? cos ? =____________
2



B.1

C.-1

c o? s ? 2s i ? n 2c o? s ? 3s i ? n

的值为

三、解答题
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2015 年 2 月 9 号

6.已知 tanθ +costθ =2, 求:(1)sinθ ?cosθ 的值;

(2)sinθ +cosθ 的值;

(3)sin θ +cos θ 的值.

3

3

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2015 年 2 月 9 号

参考答案 【课前复习】 1.(略) 2.1 1 1 1

【同步达纲训练】 一、1.A
3 =- 5 ,从而

根据 α 是第二象限角,由平方关系可得 cosα
sin ? = cos ?
4 =- 3 .
4 3 ? ? ?sin ? ? 5 ?sin ? ? ? 5 ? ? ? ? ?cos ? ? ? 3 ?cos ? ? 4 ? 5 或? 5 ? 得?

tanα

2.A

解方程组

1 ? ?sin ? ? cos ? ? 5 ? ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?

又因为 0≤α <π ,故取 sinα 得 tanα
2

4 = 5 ,这时

cosα

3 =- 5 ,求

4 =- 3 .

3.D
2 2

∵ ( sin α + cos α ) = sin α + cos α +
2 2 2 2 2

2

2

2

4

4

2sin α cos α =1+2sin α cos α ,sin α +cos α =1 ∴sin α cos α =0sinα cosα =0 当 sinα =0 时,cosα =±1 当 cosα =0 时,sinα =±1. ∴所以 sinα +cosα =±1. 二、4.-
5 11

由 已 知 可 得 tanα = - 3 , 于 是 原 式 =

1 ? 2 tan ? 1 ? 6 5 ? 2 ? 3 tan ? 2 ? 9 =- 11 .

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2015 年 2 月 9 号

5 5. 2

1 sin? ? cos ?

sin 2 ? ? cos 2 ? = sin? cos ?

=tanα

1 + tan ?

1 5 =2+ 2 = 2 .

三、6.解:(1)∵tanθ +cotθ
sin 2 ? ? cos 2 ? sin ? ? cos ?

sin ? =2,∴ cos ?

cos ? + sin?

=2 ,

=2
1 =2;
2 2 2

∴sinθ ?cosθ
1 =1+2? 2 =2

(2) ∵ (sinθ +cosθ )=sin θ +2sinθ ?cosθ +cos θ

又 tanθ +cotθ =2>0, 可得 sinθ ?cosθ 与 cosθ 同号,从而 sinθ +cosθ
3 3

1 = 2 >0, 故

sinθ

? ? 2 当?为第一象限角 ? ?? 2 当?为第三象限角; =?
2

( 3 ) ∵sin θ + cos θ = ( sinθ + cosθ ) ( sin θ - sinθ ?cosθ +cos θ )=
2

1 2

(sinθ +cosθ )

∴sin θ +cos θ

3

3

? 2 当?为第一象限角 ? ? 2 ? 2 ? ? 当?为第三象限角 ? =? 2

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