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江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第三层次)专题11-圆锥曲线及基本问题

南京市 2017 届高三二轮专题复习(第三层次)

班级 一、课前测试 1.(1)椭圆

专题 11:圆锥曲线的基本问题(两课时) 姓名

x2 y2 + =1 的焦距是 2,则 m 的值是 m 4



(2)双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? (1, 2) ,则 k 的取值范围是 4 k




(3)若 a≠0,则抛物线 y=4ax2 的焦点坐标为 1 答案:(1)3 或 5.(2)(-12,0).(3)(0, ). 16a 2.(1) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 F ,右准线 a 2 b2

为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d 2 ,若 d2 ? 6d1 , 则椭圆 C 的离心率为 。

(2)实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 的系数 a、b、c 恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距,且此 二次方程无实根,则双曲线离心率 e 的范围为 . 答案:(1)

3 .(2)(1,2+ 5). 3

3. (1) 椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的两焦点为 F1、F2,连接点 F1,F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分 a2 b2


正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为 (2)已知 F1 、F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点, 且 PF1⊥PF2. 若 a2 b2

?PF1 F2 的面积为 9,则 b 的值为______ ______.
(3)已知 F 1 、 F2 是椭圆的两个焦点,在椭圆上存在一点 M 满足 MF 1 ? MF 2 ? 0 ,则椭圆离心率的取值 范围是 .

(4)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲 a 2 b2

线离心率的取值范围为 . (5)已知定点 A(3,2),F 是抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 是抛物线上的动点,当|PA|+|PF|最小时,点 P 的坐标为 . 2 ,1).(4)(1,3].(5)(2,2). 2

答案:(1) 3-1.(2)3.(3)[

1

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二、方法联想 1.方程的标准形式 涉及方程标准形式时, 必须先设(或化)为方程的标准形式, 注意椭圆和双曲线区分(或讨论)焦点在哪轴 上,抛物线的开口方向. 变式:(1)以 y=± 2x 为渐近线的双曲线的离心率是 答案: 3或 . 6 (已知双曲线的渐近线,讨论焦点的位置,确定基本量的关系) 2 .
2 2

(2)以抛物线 y2=4x 的焦点为焦点,以 y=±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 x y 答案: - =1 (已知两个圆锥曲线,判断焦点的位置,确定基本量的的关系) 1 1 2 2 2.基本量运算 涉及 a、b、c 的关系式时, 椭圆利用 a2-b2=c2 消元,注意离心率范围为(0,1). 双曲线利用 a2+b2=c2 消元,注意离心率范围为(1,+∞). 3.定义的应用 涉及焦半径问题时,优先用定义(第一、二定义),注意焦半径范围. 焦点三角形常用结论(以焦点在 x 轴的方程为例) : P 图形 F1 F2 F1 P F2

定义 离心率 三边与 顶角关 系 顶角范 围

PF1+PF2=2a

|PF1-PF2|=2a

e?

F1 F2 PF1 ? PF2

e?

F1 F2 | PF1 ? PF2 |

? PF1 ? PF2 ? 2a, ? 2 2 2 ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 cos ? ? 4c
∠F1PF2 在短轴顶点取最大值 (不能直接 用于解答题)

?| PF1 ? PF2 |? 2a, ? 2 2 2 ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 cos ? ? 4c

S ?F1PF2 ?
三角形 面积

? b 2 tan

?

1 1 PF1 ? PF2 sin ? ? F1 F2 | y p | 2 2 (最后一个不能用于解答题)
S?F1PF2 ?

2

1 1 PF1 ? PF2 sin ? ? F1 F2 | y p | 2 2

焦半径 范围

以左焦点 F1 为例:a-c≤PF1≤a+c

以左焦点 F1 为例: 若 P 在左支上,则 PF1≥c-a 若 P 在右支上,则 PF1≥c+a

x2 y2 变式:(1)已知椭圆 C:25+ 9 =1,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别 是 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 AN+BN=________. 答案:16(利用中位线性质,转化成椭圆的定义)
2

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x2 y2 (2)双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在直线,点 B 为该双曲 线的焦点,若正方形 OABC 的边长为 2,则 a=________. 答案:2(几何图形与圆锥曲线联系,利用几何性质求解) (3)在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x2-y2=1 右支上的一个动点.若点 P 到直线 x-y+1 =0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为________. 2 答案: 2 (利用双曲线与渐近线的几何性质求解)
三、例题分析 例 1 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心在坐标原点 O,右焦点为 F.若 C 的右准线 l 的方 程为 x=4,离心率 e= 2 . 2

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设点 P 为直线 l 上一动点,且在 x 轴上方.圆 M 经过 O、F、 P 三点,求当圆心 M 到 x 轴的距离最小时圆 M 的方程. x2 y2 答案: (1)椭圆 C 的标准方程为 + =1. 8 4 (2)设 P ? 4, t ? , t ? 0, 线段 OF 的中垂线为 x ? 1 ,线段 PF 的中 点 ? 3, ? ,斜率

y

P

O

F l

x

? ?

t? 2?

t , 2

?x ? 1 t 2 t 4 ? ? t 4? 线段 PF 的中垂线为 y ? ? ? ? x ? 3? ,由 ? 得 M ?1, ? ? ,由 ? ? 2 2, t 2 2 t 2 t y ? ? ? ? x ? 3? ? 2 t? ? 2 t ?
当且仅当 t ? 2 2 时,圆心 M 到 x 轴的距离最小。

? 圆心 M 到 x 轴的距离最小时圆 M 的方程为 x2+y2-2x-4 2y=0.
〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法: a2 c 1.椭圆右准线方程为 x= ,离心率 e= .已知了椭圆的焦点坐标、准线方程及长短、轴的位置,就 c a 确定了椭圆方程形式.已知焦点坐标与已知半焦距 c 是有区别的. 2.由已知的准线方程和离心率就能求出椭圆中的 a,b,c 三个基本量. 3.过已知三点的圆的圆心坐标的求法: (1)先求出圆的方程,再求圆心坐标; (2)求出某两边中垂 线的交点. 4.建立目前函数,利用基本不等式求出最小值,并确定等号成立的条件,求出所求圆的圆心坐标. 二、方法选择与优化建议: 1.由于本题最后结果要求圆方程,所以在求圆心的时候,先求出圆的方程,再求圆心坐标. 2.最后的目标函数求最小值,引导学生发现利用基本不等式的方法优于求导的方法. x2 y2 例 2 已知椭圆 C: + =1 的右焦点为 F,过 F 作与坐标轴不垂直的直线 l,交椭圆于 A,B 两点,线 25 9 段 AB 的中垂线 l′交 x 轴于点 M.
3

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(1)若 BF=2,求 B 点坐标; AB (2)问: 是否为定值. FM 15 3 7 答案: (1)B( ,± ) 4 4 l′

y

B O M l A N F x

AB 5 (2) 是定值为 2 FM

〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法: 1.求 B 点坐标可以利用点 B 在椭圆上以及 BF=2,通过解方程组进行求解;也可以利用圆锥曲线的 统一定义求解.本题可以提醒学生如何求点 B 与左焦点之间的距离. 2.利用“点差法”求弦 AB 的中垂线方程. 3.由于弦 AB 是过焦点的弦,所以求 AB 长的时候用到了圆锥曲线的统一定义. 4.在求 AB 长的时候利用了梯形中位线定理,灵活运用了平面几何性质. 二、方法选择与优化建议: 1.利用圆锥曲线的统一定义求解显然简化运算过程. 2.利用圆锥曲线的统一定义结合梯形中位线定理求 AB 的长. x2 y2 例 3 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b) (a>b>0)为动点,F1,F2 分别为椭圆 2+ 2=1 的左右焦 a b 点,已知△F1PF2 为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率 e; → → (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点,满足AM?BM=-2,求点 M 的轨迹方程. 1 答案: (1)椭圆的离心率为 e= . 2 (2)点 M 的轨迹方程为 18x2-16 3xy-15=0, (x>0) . 一、主要问题归类与方法: 1.△F1PF2 为等腰三角形,需要讨论哪两条边相等. 2.由两条边相等可得出关于 a,c 的二次齐次方程,从中求出离心率 e 值. 3.要结合椭圆离心率的范围(0,1)对所求出的值进行取舍. 4.设动点 M 的坐标为(x,y) ,利用所给的等量关系,得出关于 x,y 的方程,即为轨迹方程.关注 方程中变量的取值范围. 1 5.运算过程中,尽可能减少量的存在,利用 e= ,椭圆方程中的 a,b 都可以用 c 来表示. 2 6.解直线 PF2 的方程和椭圆方程组成的方程组,求出 A,B 两点坐标. 二、方法选择与优化建议: 1.运算过程中,尽可能减少量的存在,这样便于发现关系,简化运算.

四、反馈练习 x2 y2 3 1. 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A, a b 3 B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为_____________.

4

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x2 y2 答案: + =1 3 2 说明:本题考查椭圆的定义 2.设圆锥曲线 E 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 E 上存在点 P 满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2, 则曲线 E 的离心率等于____________ 1 3 答案: 或 2 2 说明:本题考查椭圆的离心率定义 3.已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1,F2,点 A 在 C 上.若|F1A|=2|F2A|,则 cos∠AF2F1= _________________ 1 答案: 4

说明:本题考查双曲线定义、余弦定理 4. 已知 F 为双曲线 C: x2-my2=3m(m>0)的一个焦点, 则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为____________. 答案: 3 说明:本题考查双曲线焦点到渐近线的距离为 b
5. 在平面直角坐标系 xOy 中,P 为双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 右支上的一个动点。 若点 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为
2 2
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

答案:

说明:本题考查双曲线的渐近线及两平行线间的距离。
→ 6.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点.若FP → =4FQ,则|QF|=_______________ 答案:3 说明:本题考查比例线段的向量处理、抛物线焦半径 7.设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为______________. 9 答案: 4 说明:本题考查三角形面积的分割 1 x2 y2 8.过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 2 a b 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________. 答案: 2 2

说明:本题考查点差法 9. 已知点 F1、F2 是椭圆 x2+2y2=2 的左、右两个焦点,点 P 是该椭圆上的一个动点,那么 → → |PF1+PF2|的最小值是________.
答案:

2

说明:本题考查椭圆方程的应用.

5

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x2 y2 10.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与 x 轴的正半轴交于点 A, O 是原点, 若椭圆上存在一点 M, 使 MA⊥MO, a b 求椭圆的离心率的取值范围是______________. 答案: 2 <e<1 2

说明:本题考查圆与椭圆方程联立求解的 M 点横坐标得范围 x2 y2 11.设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直, a b 直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.(点代入求椭圆方程) 1 答案:(1) (2)a=7,b=2 7 2 说明:(1)本题考查椭圆的通径 (2)提示:由比例可得 N 点坐标,代入椭圆方程即可. 12.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点. → → (1)若AF=2FB,求直线 AB 的斜率; (2)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最小 值.
答案:(1) ± 2 2 (2) 4 说明:(1)本题考查直线与抛物线,韦达定理. (2) 本题考查三角形面积的求法. 13.已知抛物线 y2=4x 的准线与 x 轴交于点 M,过 M 作直线与抛物线交于 A,B 两点,若线段 AB 的 垂直平分线与 x 轴交于点 E(x0,0). (1)求 x0 的取值范围;(判别式大于零) (2)判断△ ABE 是否是等边三角形.若是,求出 x0 的值;若不是,请说明理由. 11 答案:(1) x0>3 ; (2) 存在 x0= 满足条件. 3

说明:(1)本题考查垂直平分线的处理方法. 3 (2) 提示:点 E 到直线 AB 的距离 d 为|AB|的 2 ..
14.在平面直角坐标 系 xOy 中,已知椭圆 准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2) 过 F 的直线与椭圆交于 A, B 两点, 线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P, C, 若 PC=2AB, 求直线 AB 的方程.

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且右焦点 F 到左 2 a b 2

x2 ? y2 ? 1 2 答案: (1) (2) y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .
说明:(1)求椭圆方程(2)本题考查弦长、两点间的距离.

6

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15.已知直线 y=-2 上有一个动点 Q, 过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴, 动点 P 在 l1 上, 且满足 OP⊥OQ(O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若曲线 l2 是曲线 C 的一条切线,当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时,求直线 l2 的方程. (直线与圆锥 曲线的位置关系、基本不等式) 答案:(1) x2=2y(x≠0).(2) 2x-y-1=0 或 2x+y+1=0. 说明:(1) 本题考查求轨迹方程(2)本题考查求抛物线的切线. 解法一:Δ=0. 解法二:导数法.

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