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2018-2019学年度苏教版高中数学苏教版必修五学案:2.2.3 等差数列的前n项和(二)

数学 2.2.3 学习目标 等差数列的前 n 项和(二) 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式.2.会解等差数列前 n 项和 的最值问题.3.理解 an 与 Sn 的关系,能根据 Sn 求 an. 知识点一 数列中 an 与 Sn 的关系 思考 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,怎样求 a1,an? 梳理 对任意数列{an},Sn 与 an 的关系可以表示为 an=? ? ? ? ? ?n=1?, ?n≥2,n∈N*?. 思考 2 在数列{an}中, 已知 Sn=an2+bn+c(a, b,c 为常数),这个数列一定是等差数列吗? 知识点二 等差数列前 n 项和的最值 d 思考 我们已经知道当公差 d≠0 时,等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数 Sn= n2+(a1- 2 d )n,类比二次函数的最值情况,等差数列的 Sn 何时有最大值?何时有最小值? 2 数学 梳理 等差数列前 n 项和的最值与{Sn}的单调性有关. (1)若 a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正项(或 0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值. (2)若 a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负项(或 0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值. (3)若 a1>0,d>0,则{Sn}是递增数列,S1 是{Sn}的最小值;若 a1<0,d<0,则{Sn}是递减数列, S1 是{Sn}的最大值. 类型一 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 求 an 1 例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2+ n, 求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列 2 吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 引申探究 1 例 1 中前 n 项和改为 Sn=n2+ n+1,求通项公式. 2 反思与感悟 已知前 n 项和 Sn 求通项 an,先由 n=1 时,a1=S1 求得 a1,再由 n≥2 时,an= Sn-Sn-1 求得 an, 最后验证 a1 是否符合 an, 若符合则统一用一个解析式表示. 不符合则分段. 跟踪训练 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n,求 an. 数学 类型二 等差数列前 n 项和的最值 2 4 例 2 已知等差数列 5,4 ,3 ,…的前 n 项和为 Sn,求使得 Sn 最大的序号 n 的值. 7 7 反思与感悟 在等差数列中,求 Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的 项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆取负(正)值,则从第 1 项起到该项的各项的和为最大 (小).由于 Sn 为关于 n 的二次函数,也可借助二次函数的图象或性质求解. 跟踪训练 2 在等差数列{an}中,an=2n-14,试用两种方法求该数列前 n 项和 Sn 的最小值. 类型三 求等差数列前 n 项的绝对值之和 例 3 若等差数列{an}的首项 a1=13,d=-4,记 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Tn. 数学 反思与感悟 求等差数列{an}前 n 项的绝对值之和,根据绝对值的意义,应首先分清这个数 列的哪些项是负的,哪些项是非负的,然后再分段求出前 n 项的绝对值之和. 跟踪训练 3 已知数列{an}中,Sn=-n2+10n,数列{bn}的每一项都有 bn=|an|,求数列{bn} 的前 n 项和 Tn 的表达式. 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+n,则 an=________. 2.已知数列{an}为等差数列,它的前 n 项和为 Sn,若 Sn=(n+1)2+λ,则 λ 的值是________. 3.首项为正数的等差数列,前 n 项和为 Sn,且 S3=S8,当 n=________时,Sn 取到最大值. 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3+2n,求 an. 1.因为 an=Sn-Sn-1 只有 n≥2 时才有意义,所以由 Sn 求通项公式 an=f(n)时,要分 n=1 和 n≥2 两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,若不能,则用分段函数 的形式表示. 2.求等差数列前 n 项和最值的方法: (1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前 n 项和的最值,但要注意 n∈N*,结合二 次函数图象的对称性来确定 n 的值,更加直观. ?an≥0, ?an≤0, ? ? (2)通项法:当 a1>0,d<0,当? 时,Sn 取得最大值;当 a1<0,d>0,当? 时, ?an+1≤0 ?an+1≥0 ? ? 数学 Sn 取得最小值. 3.求等差数列{an}前 n 项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点. 数学 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 又 n=1 时也适合上式, 所以 an=2n-1,n∈N*. 梳理 S1 Sn-Sn-1 思考 2 当 n=1 时,a1=S1=a+b+c; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(an2+bn+c)-[a(n-1)2+b(n-1)+c] =2an-a+b. ?a+b+c?n=1?, ? ∴an=? * ? ?2an-a+b?n≥2,n∈N ?, 只有当 c=0 时,a1=a+b+c 才满足 an=2an-a+b,数列{an}才是等差数列. c≠0 时,整个数列{an}不是等差数列,但从第二项起,以后各项依次构成等差数列. 知识点二 思考 由二次函数的性质可以得出:当 a1<0,d>0 时,Sn 先减后增,有最小值;当 a1>0, d<0 时,Sn 先增后减,有最大值;且 n 取最接近对称轴的正整数时,Sn 取到最值. 题型探究 例 1 解 根据 Sn=a1+a2+…+an-1+an 可知 Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1,n∈N*), 1 1 1 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1=n


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