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2017_2018学年高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B版必修12018022622

2.4.1 函数的零点 [学习目标] 1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、 二次函数的零点.3.初步了解函数的零 点、方程的根、函数图象与 x 轴交点的横坐标之间的关系. [知识链接] 考查下列一元二次方程与对应的二次函数: (1)方程 x -2x-3=0 与函数 y=x -2x-3; (2)方程 x -2x+1=0 与函数 y=x -2x+1; (3)方程 x -2x+3=0 与函数 y=x -2x+3. 请列表表示出方程的根,函数的图象及图象与 x 轴交点的坐标. 答案 方程 函数 2 2 2 2 2 2 x2-2x-3=0 y=x2-2x-3 x2-2x+1=0 y=x2-2x+1 x2-2x+3=0 y=x2-2x+3 函数的图象 方程的实数根 函数的图象与 x 轴的交点 [预习导引] 1.函数的零点 x1=-1,x2=3 (-1,0),(3,0) x1=x2=1 (1,0) 无实数根 无交点 (1)定义:一般地,如果函数 y=f(x)在实数 α 处的值等于零,即 f(α )=0,则 α 叫做这个 函数的零点. (2)性质 ①当函数图象通过零点且穿过 x 轴时,函数值变号. ②两个零点把 x 轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号. 2.二次函数零点与二次方程实根个数的关系 判别式 y=ax2+bx+c(a≠0) 两个零点: ax2+bx+c=0(a≠0) 两不等实根: Δ >0 x= -b± b -4ac 2a 2 x= -b± b -4ac 2a 2 1 一个二重零点: Δ =0 两相等实根: x=- b 2a x=- b 2a Δ <0 无零点 无实根 要点一 求函数的零点 例 1 求下列函数的零点: (1)f(x)=-x -2x+3; (2)f(x)=x -1. 解 (1)∵f(x)=-x -2x+3=-(x+3)(x-1), ∴方程-x -2x+3=0 的两根分别是-3 和 1. 故函数的零点是-3,1. (2)∵f(x)=x -1=(x +1)(x+1)(x-1), ∴方程 x -1=0 的实数根是-1 和 1. ∴函数的零点为±1. 规律方法 函数零点的求法: (1)代数法:求方程 f(x)=0 的实数根; (2)几何法:对于不能用求根公式的方程 f(x)=0,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来, 图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪演练 1 求函数 y=(ax-1)(x+2)的零点. 解 (1)当 a=0 时,令 y=0 得 x=-2; 1 (2)当 a≠0 时,令 y=0 得,x= 或 x=-2. 4 4 2 2 2 4 2 a 1 ①当 a=- 时,函数的零点为-2; 2 1 1 ②当 a≠- 时,函数的零点为 ,-2. 2 a 1 综上所述:(1)当 a=0 或- 时,零点为-2; 2 1 1 (2)当 a≠0 且 a≠- 时,零点为 ,-2. 2 a 要点二 函数零点个数的判断 例 2 若函数 f(x)=ax -x-1 仅有一个零点,求实数 a 的取值范围. 解 ①若 a=0,则 f(x)=-x-1 为一次函数,易知函数仅有一个零点; 2 2 ②若 a≠0,则函数 f(x)为二次函数,若其只有一个零点,则方程 ax -x-1=0 仅有一个实数 根(也可说成有两个相等的实数根), 1 故判别式 Δ =1+4a=0,a=- . 4 1 综上,当 a=0 或 a=- 时,函数仅有一个零点. 4 规律方法 判断或求形如函数 y=ax +bx+c 的零点时,首先对 a 分 a≠0 和 a=0 两种情况讨 论,然后对 a≠0 的情况,利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况,即可判断函数零点 的情况. 跟踪演练 2 判断下列函数的零点个数: (1)f(x)=x -7x+12; 1 2 (2)f(x)=x - . 2 2 2 x 解 (1)由 f(x)=0 即 x -7x+12=0, 得 Δ =49-4×12=1>0, ∴方程 x -7x+12=0 有两个不等的实数根. ∴函数 f(x)有两个零点. 1 1 2 2 (2)方法一 由 x - =0 得 x = , 2 2 x x 1 2 令 h(x)=x (x≠0),g(x)= , x 在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象知两图象只有一个交点, 故函数有一个零点. 1 2 方法二 令 f(x)=0 得 x - =0 x 即 x -1=0(x≠0), ∴x=1,即方程只有一个根. ∴函数有一个零点. 要点三 函数零点性质的应用 例 3 已知关于 x 的二次方程 ax -2(a+1)x+a-1=0 有两个根,且一个根大于 2,另一个根 小于 2,试求实数 a 的取值范围. 解 令 f(x)=ax -2(a+1)x+a-1,依题意知,函数 f(x)有两个零点,且一个零点大于 2, 一个零点小于 2. ∴f(x)的大致图象如图所示: 2 2 3 3 则 a 应满足? ?a>0, ? ?4a- ? ? ?a<0, ?4a- ? ? ?a>0, ?f ? <0 或? ? ?a<0, ?f ? >0, 即? a+ +a-1<0, 或? a+ +a-1>0, 解得 0<a<5, ∴a 的取值范围为(0,5). 规律方法 解决此类问题可设出方程对应的函数, 根据函数的零点所在的区间分析区间端点函 数值的符号,建立不等式,使问题得解.当函数解析式中含有参数时,要注意分类讨论. 跟踪演练 3 已知关于 x 的二次方程 x +2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中一根在区间(- 1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范围. 解 由已知抛物线 f(x)=x +2mx+2m+1 的图象与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内, 画出示意图,得 2 2 ? ?f ?


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