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2012高考数学热点集中营 热点07 三视图 新课标


【两年真题重温】 两年真题重温】 【2011 ? 新课标全国】在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧

【解析】正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱锥等等. 命题意图:本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图,考查空间想象能力. 【2010 ? 新课标全国文】一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何 体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 【答案】①②③⑤ 命题意图猜想】 【命题意图猜想】 年的题目给出三视图中的正视图和俯视图,考查几何体的侧视图; 1 .2011 年的题目给出三视图中的正视图和俯视图,考查几何体的侧视图;2010 年试题比较 开放,考查几何体的正视图.连续两年没有和几何体的体积和表面积联系到一起. 开放,考查几何体的正视图.连续两年没有和几何体的体积和表面积联系到一起.试题题目 变的较为简单. 可能, 变的较为简单.猜想 2012 年高考题对本热点的考查有两种 可能,一是与几何体的体积或表 若与组合体相联系,题目难度会增大;二是可能在解答题中出现, 面积相联 系,若与组合体相联系,题目难度会增大;二是可能在解答题中出现,根据三视 图得到几何体,一般难度较低. 图得到几何体,一般难度较低. 2.从近几年的高考试题来看,几何体的三视图是高考的热点,题型多为选择题、 从近几年的高考试题来看 2.从近几年的高考试题来看,几何体的三视图是高考的热点,题型多为选择题、填空 题, 难度中、低档.主要考查几何体的三视图,以及由三视图构成的几何体, 难度中、低档.主要考查几何体的三视图,以及由三视图构成的几何体,在考查三视图的 同时,又考查了学生的空间想象能力及运算与推理能力. 同时,又考查了学生的空间想象能力及运算与推理能力.预测 2012 年高考仍将以空间几何 体的三视图为主要考查点,重点考查学生读图、识图能力以及空间想象能力. 体的三视图为主要考查点,重点考查学生读图、识图能力以及空间想象能力. 最新考纲解读】 【最新考纲解读】 1.能画出简单空间图形的三视图, 能识别三视图所表示的立体模型, 会用斜二测画法画出它 们的直观图. 2.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图, 了解空间图形的 不同表示形式. 3.会画某些建筑物 的三视图与直观图. 回归课本整合】 【回归课本整合】 三视图的画法要求:

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1

(1)在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线,尺寸线用细实线标出. (2)三视图的主视图、左视图、 俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何 体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是:主俯一样长,俯左一样宽,主左一样高. 由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高 平齐”的原则作出判断. 方法技巧提炼】 【方法技巧提炼】1.画三视图时,应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等”,注意虚、 实线的区别,同时应熟悉一些常见几何体的三视图.解决由三视图想象几何体,进而进行有 关计算的题目,关键是准确把握三视图和几何体之间的关系. 2.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征,熟 练掌握三视图的投影方向及正视图原理, 才能迅速破解三视图问题, 由三视图画出其直观图. 考场经验分享】 【考场经验分享】 对于简单几何体的组合体的三视图,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意 组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置.解题时一 定耐心加细心,观察准确线与线的位置关系,区分好实线和虚线的不同.此类题目若只是单 纯考查三视图,一般难度较低,需保证的全分;若与体积、表面积或组合体相结合,有时难 度较大,需要较强的空间想象能力和准确的画图能力,此时若空间想象能力不够的同学,不 要花费过多的时间. 新题预测演练】 【新题预测演练】 1.【 届高三上学期期末测试试题】 1.【山东省枣庄市 2012 届高三上学期期末测试试题】 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其体积等于

2.【 届高三期末检测】 2.【山东省青岛市 2012 届高三期末检测】 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何 体的体积 是

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2

1 8000 V = × 20 × 20 × 20 = . 3 3
3.【 2011— 第一学期期末考试】 3.【唐山市 2011—2012 学年度高三年级 第一学期期末考试】 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这 个几何体的外接球的表面 积为 ( ) A.

16π 3

B.

8π 3

C. 4 3 【答案】A

D. 2 3π

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3

4.【 届高中三年级期终质量评估】 4.【河南省南阳市 2012 届高中三年级期终质量评估】 已知一个几何体的三 视图如图所示,则该几何体 的体积为 A.2 B.

C.4

2 3 4 D. 3

【答案】C 【解析】该几何体如图所示,在四棱锥中,底面 ABCD 为正方形,棱 SB ⊥ 面 ABCD ,所以其体积 为 × 1× 1 × 2 =

1 3

2 3。

5.【河北省石家庄市 5.【河北省石家庄市 2012 届高三上学期 教学质量检 测 (一 )】

将长方体截去一个四棱锥后, 得到的几何体的直观图 如右图所示,则该几何体的俯视图为

左视

R 左视 【答 【解 俯视 案】C 析】如图,当 时 , A D P B

Q C

A

B

C

D

P与B , Q与C , R与D 重合,故选 C。

6.【 2011— 6.【保定市 2011—2012 学年度第一学期高三期末调研考试 】 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的 体积是 A、 9π B、 12π 【答案】D 【解析】 该几何体应为上面是球,下面是高为 2 圆柱,且球直径 与圆柱底面直径相等,均为 2,所以体积为 π × 1 + π × 1 × 3 =
3 2

C、

11 π 3

D、

13 π 3

4 3

13 π. 3

7.【 学年度第一学期期末试卷】 7.【北京市西城区 2011 — 2012 学年度第一学期期末试卷】 某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( )

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4

(A) 8

(B)

8 3

(C) 4

(D)

4 3



1 1 1 16 VF ? BAE = × S ?BAE × AD = × × 4 × 2 × 4 = , 3 3 2 3 1 1 64 16 64 80 VF ? ABCD = × S ABCD × FD = × 4 × 4 × 4 = , 故该几何体的体积为 + = . 3 3 3 3 3 3
9.【 年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】 9.【2012 年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为

A. 6+ 5

B. 6 + 2 5

C. 8 + 5

D.

8+2 5
【答案】D 【解析】由三视图可知该几何体为一放倒的直三棱柱,故

1 S表 = (1 + 2 + 5) × 2 + 2 × × 2 × 1 = 8 + 2 5. 2
10.【 2011— 10.【唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一次模拟 考试】 考试】 己知某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 (A) 6 + 4 2 (B) 4 + 4 2 [答案]A [解析] 由几何体的三视图可知该几何体为直三棱
C C1

(C) 2

(D) 8

A1

A
D

D1

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B

5
B1

CD ⊥ AB, BB1 = 2, AB = 2, CD = 1, CB = 2,
柱,如图所示,∴ S
CBC1 B1

= 2 × 2 = 2 2, S
CBC1 B1

ABA1 B1 ABA1 B1

= 2 × 2 = 4, = 4 2 + 2 + 4 = 6 + 4 2.

∴ S表 =2S

+2SΛABC + S

11.【 年长春市高中毕业班第一次调研测试】 11.【2012 年长春市高中毕业班第一次调研测试】 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个直径为 1 的圆, 那 么这个几何体的全面积为 A.

3 π 2

B. 2π

C. 3π

D. 4π

【答案】A 【解析】几何体为底面半径为

1 1 2 1 3 ,高为 1 的圆柱,全面积为 2π ( ) + 2π × × 1 = π . 2 2 2 2

12[2011·山东卷] 右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:① [2011·山东卷] [2011·山东卷 存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;② 存在四棱柱,其正(主)视 图、俯视图如右图;③ 存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命 题的个数是( A.3 【答案】A. 【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱;②可以是长方体;③可以是放倒了的圆柱.故选择 B.2 ). C.1 D. 0

A .另解:①②③均是正确的,只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱,让其直角三
角形直角边对应的一个侧面平卧;②直四棱柱的两个侧面是正方形或一正四棱柱平躺; ③圆柱平躺即可使得三个命题为真,答案选 A.

[2011·浙江卷 浙江卷] 13 [2011·浙江卷] 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(

)

【答案】B 【解析】 由正视图可排除 A,C;由侧视图可判断该该几何体的直观图是 B. 14[2011·陕西卷] 某几何体的三视图如图 1-2 所示,则它的体积是( [2011·陕西卷] 陕西卷 )

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6

2π π 2π A.8- B.8- C.8-2π D. 3 3 3 【答案】A 【解析】 分析图中所给的三视图可知,对应空间几何图形,应该是一个棱长为 2 的正方体 1 2 2 中间挖去一个半径为 1,高为 2 的圆锥,则对应体积为:V=2×2×2- π×1 ×2=8- π. 3 3

说明: “三棱柱绕直线 OO ' 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向,逆时针方向旋转时, OA 旋转所成的角为正角,顺时针方向旋转时, OA 旋转所成的角为负角.

π

【答案】 8;

3

.

【解析】由题意可知,要使得俯视图最大,需当三棱锥柱的一个侧面在水平平面内时,此时 俯 视 图 面 积 最 大 , 如 图 所 示 , 俯 视 图 为 矩 形 AA′CC ′ , 且 BD =

3, AA′ = 4, 则

AC = 3 × tan 30o × 2 = 2, 故面积最大为 2 × 4 = 8 . 当棱柱在水平面内滚动时,因三角形
ABC 为正三角形,当绕着 OO′ 旋转 60 后其中一个侧面恰好在水平面,其俯视图的面积也正
o

好经历了一个周期,所以函数 S ( x ) 的

π
周期为

3

.

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7

16.【 2011学年度高三年级第一学期期末统一考试】 16.【北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试】

【 届高三第二次调研考试数学试 17. 惠州市 2012 届高三第二次调研考试数学试 题】 如图,三个几何体,一个是长方体、一个是直三棱柱,一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱 的四分之一部分, 这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形, 则它们的体积之比 为 .

【答案】 4 : 2 : π 【解析】 因为三个几何体的主视图和俯视图为相同的正方形, 所 以原长方体棱长相等为正 方体,原直三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,设正方形的边长为 a 则,长方体体

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8

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