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浙江高考历年真题之解析几何大题(理科)


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浙江高考历年真题之解析几何大题
(教师版)
1、 (2005 年)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,长轴 A1 A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l1 :x=m(|m|>1),P 为 l1 上的动点,使 ?F PF2 1 最大的点 P 记为 Q,求点 Q 的坐标(用 m 表示).

解析:(Ⅰ)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? ,半焦距为 c , a 2 b2
? a2 ? c ? a ? 2?a ? c? ? ? ,由题意,得 ?2a ? 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?

则 MA1 ?

a2 ? a, A1 F1 ? a ? c c

?

a ? 2, b ? 3, c ? 1 , 故椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ) 设 P ? m, y0 ? ,| m |? 1,当 y0 ? 0 时, ?F PF2 ? 0 ; 1 当 y0 ? 0 时, 0 ? ?F2 PF2 ? ?PF1M ? 设直线 PF1 的斜率 k1 ?

?
2

,? 只需求 tan ?F2 PF2 的最大值即可

王新敞
奎屯

新疆

y0 y0 ,直线 PF2 的斜率 k 2 ? , m ?1 m ?1

? tan ?F2 PF2 ?

2 | y0 | 2 | y0 | k2 ? k1 1 ? 2 ? ? 2 1 ? k1k2 m ? 1 ? y0 2 m 2 ? 1? | y0 | m2 ? 1

2 当且仅当 m ? 1 ?| y0 | 时, ?F PF2 最大,?Q m, ? m2 ? 1 ,| m |? 1 1

?

?

2、 (2006 年)如图,椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)与过点 A(2,0) 、B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T, a2 b

且椭圆的离心率 e=

3 。 2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段 AF2 的中点,求证:∠ATM=∠AF 1 T。

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解析: (Ⅰ)过 A、B 的直线方程为
x ? y ?1 2

? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 ? b 因为由题意得 ? a 有惟一解, ?y ? ? 1 x ?1 ? 2 ?
即 (b ?
2

1 2 2 a ) x ? a 2 x ? a 2 ? a 2 b 2 ? 0 有惟一解, 4
2 2

所以 ? ? a2b2 (a2 ? 4b2 ? 4) ? 0(ab ? 0), 故 a ? 4b ? 4 =0

又因为 e? c

a 2 ? b2 3 3 ? , 所以 a 2 ? 4b2 ,即 2 a 4 2
1 x2 , 故所求的椭圆方程为 ? 2 y 2 ? 1 2 2

从而得 a ? 2, b ?
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 c ?

6 6 6 6 , 所以 F1 (? ,0) , 0), F2 ( , 0) ,从而 M(1+ 2 2 2 4

? x2 2 ? ? 2y ? 1 1 由 ?2 ,解得 x1 ? x2 ? 1, 因此 T ? (1, ) 2 ? y ? ? 1 x ?1 2 ?
因为 tan?AF T ? 1

1 2 6 ,得 ? 1 ,又 tan ?TAM ? , tan?TMF2 ? 2 2 6

2 tan?ATM ? 6 1?

? 1

1 2 6

?

6 ? 1 ,因此, ?ATM ? ?AF1T 2

3、 (2007 年)如图,直线 y ? kx ? b 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1交于 A,B 两点,记 △ AOB 的面积为 S . 4

(I)求在 k ? 0 , 0 ? b ? 1 的条件下, S 的最大值; (II)当 AB ? 2 , S ? 1 时,求直线 AB 的方程.

解析: (I)设点 A 的坐标为 ( x1,b) ,点 B 的坐标为 ( x2,b) .

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x2 ? y 2 ? 1,解得 x1,2 ? ?2 1 ? b 2 4
1 2 b | x1 ? x2 |? 2b 1 ? b 2 ? b 2 ? 1 ? b 2 ? 1 ,当且仅当 b ? 时, 取到最大值 1. .S 2 2

所以 S ?

? y ? kx ? b ? (Ⅱ)解:由 ? x 2 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4

? ? 16(4k 2 ? b2 ? 1)
|AB|= 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k
2 2



16(4k 2 ? b2 ? 1) ?2 4k 2 ? 1
? 2S ?1 | AB |
2



又因为 O 到 AB 的距离 d ?

|b| 1? k
2

所以 b ? k ? 1
2 2



4 2 ③代入②并整理,得 4k ? 4k ? 1 ? 0 ,解得, k ?

1 2 3 ,b ? , 2 2

代入①式检验,△>0,故直线 AB 的方程是

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 或y? 或y?? 或y?? . x? x? x? x? 2 2 2 2 2 2 2 2
1 3 5 , )和到直线 y ? ? 距离相等的点的轨迹。 2 8 8

4、 (2008 年)已知曲线 C 是到点 P( ?

是过点 Q(-1,0)的直线,M 是 C 上(不在 l 上)的动点;A、B 在 l 上, MA ? l , MB ? x 轴(如图) 。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)求出直线 l 的方程,使得

QB

2

QA

为常数。

1? ? 3? ? 解析: )设 N ( x,y ) 为 C 上的点,则 | NP |? ? x ? ? ? ? y ? ? , (Ⅰ 2? ? 8? ?
5 5 N 到直线 y ? ? 的距离为 y ? . 8 8

2

2

1? ? 3? 5 1 2 ? 由题设得 ? x ? ? ? ? y ? ? ? y ? .化简,得曲线 C 的方程为 y ? ( x ? x ) . 2 2? ? 8? 8 ?
(Ⅱ )解法一:

2

2

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设 M ? x,

? ?

x2 ? x ? 2 ? ,直线 l : y ? kx ? k ,则 B( x,kx ? k ) ,从而 | QB |? 1 ? k | x ? 1| . 2 ?
2 2

x? ? y ( x ? 1) ? k ? ? 2 x ? 2? ? 2 2 2? 在 Rt△QMA 中,因为 | QM | ? ( x ? 1) ?1 ? . ? , | MA | ? 1? k 2 4? ?

M l B A

( x ? 1)2 所以 | QA | ?| QM | ? | MA | ? (kx ? 2)2 . 2 4(1 ? k )
2 2 2

Q x O

| QA |?

| x ? 1|? kx ? 2 | | 2 1? k 2



| QB |2 2(1 ? k 2 ) 1 ? k 2 x ? 1 . ? ? 2 | QA | |k| x? k

当 k ? 2 时,

| QB |2 ?5 5 , | QA |

从而所求直线 l 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 . 解法二:设 M ? x,

? ?

x2 ? x ? ? ,直线 l : y ? kx ? k ,则 B( x,kx ? k ) ,从而 2 ?

1 0) | QB |? 1 ? k 2 | x ? 1| .过 (?1, 垂直于 l 的直线 l1 : y ? ? ( x ? 1) . k
因为 | QA |?| MH | ,所以 | QA |?

| x ? 1|? kx ? 2 | | 2 1? k 2

, y M l l1 H Q O x B A

| QB |2 2(1 ? k 2 ) 1 ? k 2 x ? 1 . ? ? 2 | QA | |k| x? k
当 k ? 2 时,

| QB | ?5 5 , | QA |

2

从而所求直线 l 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 . 5、 (2009 年)已知椭圆 C1 : 焦点且垂直长轴的弦长为 1 . (I)求椭圆 C1 的方程; (II)设点 P 在抛物线 C2 : y ? x ? h (h ? R) 上, C2 在点 P 处的切线与 C1 交于
2

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1, 0) ,过 C1 的 a 2 b2

点 M , N .当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

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?b ? 1, ? a ? 2, ? 解析: (Ⅰ)解:由题意,得 ? b 2 从而 ? · ? 1. ?b ? 1. ?2 ? a
y 因此,所求的椭圆方程为

y ? x 2 ? 1. 4
P
2

2

(Ⅱ)解:如图,设 M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ),P(t,t ? h) , 则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y? |x?t ? 2t . 直线 MN 的方程为: y ? 2tx ? t 2 ? h . 将上式代入椭圆 C1 的方程中,得 4 x ? (2tx ? t ? h) ? 4 ? 0 .
2 2 2

M A O N x

即 4(1 ? t 2 ) x2 ? 4t (t 2 ? h) x ? (t 2 ? h)2 ? 4 ? 0 . 因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点, 所以①式中的 ?1 ? 16[?t 4 ? 2(h ? 2)t 2 ? h2 ? 4] ? 0 . 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3 ,则 x3 ? 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4 ,则 x4 ?
2





x1 ? x2 t (t 2 ? h) . ? 2 2(1 ? t 2 )

t ?1 . 2


由题意,得 x3 ? x4 ,即 t ? (1 ? h)t ? 1 ? 0 .

由③式中的 ?2 ? (1 ? h)2 ? 4 ≥ 0 ,得 h ≥ 1 ,或 h ≤ ?3 .

4 当 h ≤ ?3 时, h ? 2 ? 0,? h ? 0 .
2

则不等式②不成立,所以 h ≥ 1 . 当 h ? 1 时,代入方程③得 t ? ?1 ,

, 将 h ? 1 t ? ?1 代入不等式②,检验成立.
所以, h 的最小值为 1.

m2 ? 0, 椭圆 6、 (2010 年)已知 m ? 1 ,直线 l : x ? m y ? 2
C: x2 ? y 2 ? 1, F1 , F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. 2 m

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(I)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (II)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点, ?AF F2 , ?BF F2 的重心分 1 1 别为 G,H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.

解析: (Ⅰ)解:因为直线 l : x ? my ?
又因为 m ? 1. 所以 m ?

m2 m2 ? 0 经过 F2 ( m 2 ? 1, 0) ,所以 m2 ? 1 ? , 得m2 ? 2 2 2

2. 故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0.

(Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? m2 x ? my ? , ? m2 ? 2 2 ?1 ? 0 由? 2 消去 x 得: 2 y ? my ? 4 ? x ? y2 ? 1 ? m2 ?
则由 ? ? m ? 8(
2

m2 ? 1) ? ?m2 ? 8 ? 0 ,知 m2 ? 8 4 m m2 1 , y1 y2 ? ? . 2 8 2

且有 y1 ? y2 ? ?

由于 F (?c,0), F2 (c,0) 故 O 为 F1F2 的中点, 1 由 AG ? 2GO, BH ? 2HO ,可知 G (

????

??? ???? ?

????

x1 y1 x2 y , ), H ( , 2 ) 3 3 3 3

( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 | GH | ? ? . 9 9
2

设 M 是 GH 的中点,则 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 6 6

由题意可知, 2 | MO |?| GH |

好 4[(

x1 ? x2 2 y ? y2 2 ( x ? x2 )2 ( y1 ? y2 ) 2 ) ?( 1 ) ]? 1 ? 6 6 9 9

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0. 而 x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ?

m2 1 m2 m2 ? ), )(my2 ? ) ? y1 y2 ? (m 2 ? 1)( 8 2 2 2

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所以

m2 1 ? ? 0. 即 m2 ? 4. 8 2

又因为 m ? 1且? ? 0. 所以 1 ? m ? 2. 所以 m 的取值范围是(1,2) 。 7、 (2011 年)已知抛物线 C1 : x = y ,圆 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 1的圆心为点 M。
2

(Ⅰ)求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离; (Ⅱ)已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点) ,过点 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A,B 两 点,若过 M,P 两点的直线 l 垂足于 AB,求直线 l 的方程.

解析:

8、 (2012 年) 如图, 椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 其左焦点到点P (2,1) 的距离为 10 , 2 2 a b

不过原点O的直线 l 与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分。 .... (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△ ABP 面积取最大值时直线 l 的方程。

解析:

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浙江高考历年真题之解析几何大题

1、 (2005 年)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,长轴 A1 A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l1 :x=m(|m|>1),P 为 l1 上的动点,使 ?F PF2 1 最大的点 P 记为 Q,求点 Q 的坐标(用 m 表示).

2、 (2006 年)如图,椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)与过点 A(2,0) 、B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T, a2 b

且椭圆的离心率 e=

3 。 2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段 AF2 的中点, 求证:∠ATM=∠AF 1 T。

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3、 (2007 年)如图,直线 y ? kx ? b 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1交于 A,B 两点,记 △ AOB 的面积为 S . 4

(I)求在 k ? 0 , 0 ? b ? 1 的条件下, S 的最大值; (II)当 AB ? 2 , S ? 1 时,求直线 AB 的方程.

4、 (2008 年)已知曲线 C 是到点 P( ?

1 3 5 , )和到直线 y ? ? 距离相等的点的轨迹。 2 8 8

是过点 Q(-1,0)的直线,M 是 C 上(不在 l 上)的动点;A、B 在 l 上, MA ? l , MB ? x 轴(如图) 。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)求出直线 l 的方程,使得

QB

2

QA

为常数。

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y 2 x2 5、 (2009 年)已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1, 0) ,过 C1 的 a b
焦点且垂直长轴的弦长为 1 . (I)求椭圆 C1 的方程; (II)设点 P 在抛物线 C2 : y ? x2 ? h (h ? R) 上, C2 在点 P 处的切线与 C1 交于 O 点 M , N .当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值. N P M A x y

6、 (2010 年)已知 m ? 1 ,直线 l : x ? m y ? 焦点.

x2 m2 ? 0, 椭圆 C : 2 ? y 2 ? 1, F1 , F2 分别为椭圆 C 的左、右 2 m

(I)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (II)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点, ?AF F2 , ?BF F2 的重心分别为 G,H.若原点 O 在以线段 GH 1 1 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.

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7、 (2011 年)已知抛物线 C1 : x = y ,圆 C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 1的圆心为点 M。
2

(Ⅰ)求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离; (Ⅱ)已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点) ,过点 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A,B 两 点,若过 M,P 两点的直线 l 垂足于 AB,求直线 l 的方程.

8、 (2012 年) 如图, 椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 其左焦点到点P (2,1) 的距离为 10 , 2 2 a b

不过原点O的直线 l 与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分。 .... (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△ ABP 面积取最大值时直线 l 的方程。



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