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高二上学期期末考试数学试题(含答案)


高二第一学期期末考试 数 学 试 题
一.填空题: (每小题 5 分,计 70 分) 1.命题“对任何 x ? R,| x ? 2 | ? | x ? 4 |? 3 ”的否定是____▲____ 2.“ m ?

1 2 ”是“一元二次方程 x +x+m=0 有实数解”的 4



条件(填充分不

必要、必要不充分、充要、既不充分亦不必要之 一) 3. 函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调递增区间是 ▲ 4. 对于平面 ? 和共面的直线 m、n,下列命题中假命题有 ▲ .



A.若 m⊥ ? ,m⊥n,则 n∥ ? B.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n C.若 m ? ? ,n∥ ? ,则 m∥n D.若 m、n 与 ? 所成的角相等,则 n∥m 3 5.曲线 y=x -2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为 ▲ x 6.设 a∈R,若函数 y=e +ax 有大于 0 的极值点,则实数 a 的取值范围是 ▲ 0 7.将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90 ,再向右平移 1 个单位,所得到的直线方程为

[来源:学&科&网]



2 2 8.过点 P (1, 2 ) 的直线 l 将圆 C:(x-2) +y =4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,

直线 l 的斜率 k= ▲ 9. 已 知 椭 圆 的 两 个 焦 点 是 F1 、 F2, 满 足

MF1 ? MF2 =0 的点 M 总在椭圆的内部,则
椭圆的离心率的取值范围是 ▲ 2 10. 设抛物线 y =8x 的焦点为 F, 准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足. 如果直线 AF 的斜率为 ? 3 ,那么|PF|= ▲

11. 对于平面上的点集 Ω ,如果连接 Ω 中 任意两点的线段必定包涵 Ω ,则称 Ω 为平 面上的凸集,给出平面上 4 个点集的图形如 下(阴影区域及其边界) 其中为凸集的是 : ▲ (写出所有凸集相应图形的序号). 12. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2 , P 是 B1C1 的中点,则四棱锥 P ? A BCD1 的 1 体积为______▲_______.

x2 y2 ? ? 1 中,以点 M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为 13. 椭圆 16 9



14. 已知 c ? 0 , p : y ? c x 在 R 上单调递减,q : g( x) ? ln(2cx2 ? 2x ?1) 的定义域为 R, 设 如果“ ?p 或 ?q ”为真命题, p 或 q ”也为真命题,则实数 c 的取值范围是______▲___. “ 二.解答题: (计 90 分) 15. 本题满分 14 分) ( 已知两个命题 r(x):sinx+cosx>m;s(x):x2+mx+1>0.如果对于任意实数 x, r(x) ? s(x ) 为假,r(x) ? s(x)为真,求实数 m 的取值范围。

16. (本题满分 14 分) 如图, ABCD 为矩形,CF⊥平面 ABCD,DE⊥平面 ABCD,AB=4a,BC= CF=2a,DE=a, P 为 AB 的中点. (1)求证:平面 PCF⊥平面 PDE; (2)求证:AE∥平面 BCF. E F

D A P B

C

[来源:Zxxk.Com]

17.(本题满分 15 分) 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 相 交于 M、N 两点. (1).求实数 k 的取值范围 (2).求证: AM ? AN 为定值 (3).若 O 为坐标原点,且 OM ? ON =12,求直线 l 的方程

18. (本题满分 15 分)已知圆 A: ( x ?1)2 ? y2 ? 4 与 x 轴负半轴交于 B 点,过 B 的弦 BE 与 y 轴正半轴交于 D 点,且 2BD=DE,曲线 C 是以 A,B 为焦点且过 D 点的椭圆. (1)求椭圆的方程; (2)点 P 在椭圆 C 上运动,点 Q 在圆 A 上运动,求 PQ+PD 的最大值.

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

19.(本题满分 16 分) 如图,抛物线 M : y ? x 2 ? bx(b ? 0)与x 轴交于 O,A 两点,交直线 l : y ? x 于 O,B 两点,经过三点 O,A,B 作圆 C。 (I)求证:当 b 变化时,圆 C 的圆心在一条定直线上; (II)求证:圆 C 经过除原点外的一个定点; (III)是否存在这样的抛物线 M,使它的顶点与 C 的距离不大于圆 C 的半径?

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? b sinx ? 2, (b ? R) ,且对任意 x ? R ,有 f ( ? x) ? f ( x) . (1)求 b ; (2)已知 g ( x) ? f ( x) ? 2( x ? 1) ? a ln x 在区间(0,1)上为单调函数,求实数 a 的取值 范围. (3)讨论函数 h( x) ? ln( ? x ) ? 1
2

1 2x ) f ( x) ? k 的零点个数?(提示: [ln(1 ? x 2 )]' ? 2 1 ? x2

高二期末考试 数学参考答案
一.填空题 1. ?x ? R,| x ? 2 | ? | x ? 4 |? 3 2.充分不必要 3. (-∞,-1)和(11,+∞)注:含-1 或

11 端 点 亦 正 确

4.3

5.

? 4

6. (??, ?1)

7.x+3y-1=0

8.

2 2

9. (0,

2 ) 2

10.8

11.②③

12.

8 3

13.

9 32

14. (0,1)

∪(1,+∞) 二.解答题: 15.解:∵sinx+cosx= 2 sin( x ? ∴当 r(x)为真命题时,m<- 2
2 2

?
4

)?? 2
?????? 3分

又 若 s(x)为真命题,则 x +mx+1>0 恒成立,有△=m -4<0,-2<m<2 ?????? 6 分 则由题知 r(x)真,s(x)假时有 m≤-2 ?????? 9分 r(x)假,s(x)真时有 ? 2 ? m ? 2 故 m ? (??, ?2] ? [? 2, 2) ?????? ?????? 12 分 14 分

16. 证明: (1)在矩形 ABCD 中,由 AP=BP=BC=2a 可得 PC=PD= 2 2a ?????1 分 又 CD =4a,由勾股定理可得 PD⊥PC????????3 分 因为 CF⊥平面 ABCD,则 PD⊥CF????????5 分 由 PC ? CF= C 可得 PD⊥平面 PFC????????6 分 故平面 PCF⊥平面 PDE????????7 分 (2)作 FC 中点 M,连接 EM、BM 由 CF⊥平面 ABCD,DE⊥平面 ABCD 可得 CM∥DE,又 CM=DE=a,得四边形 DEMC 为 平行四边形????????9 分 故 ME∥CD∥AB,且 ME=D=AB,所以四边形 AEMB 为平行四边形 故 AE∥BM????????12 分 又 AE ? 平面 BCF,BM ? 平面 BCF ,所以 AE∥平面 BCF. ????????14 分 注:本题也可以用平面 ADE∥平面 BCF 证。

17.解:(1).法 一:直线 l 过点 A(0,1) ,且斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=kx+1 2 分 2 2 2 2 将其代入圆 C 方程得: (1+k )x -4(1+k)x+7=0,由题意:△=[-4(1+k) -28(1+k )>0 得 ]

4- 7 4? 7 ?k? 3 3

?????? 5 分

法二:用直线和圆相交,圆心至直线的距离小于半径处理亦可 2 (2).证明:法一:设过 A 点的圆切线为 AT,T 为切点,则 AT =AM ?AN 2 2 2 而 AT = (0-2) +(1-3) =7 ?????? 7分

???? ???? ???? ???? ? ? ? AM ?AN ?| AM || AN | cos 0 ? 7为定值
法二:用直线和圆方程联立计算证明亦可 (3 ).设 M(x1,y1),N(x2,y2)由(1)知

??????

10 分

4 ? 4k ? ? x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ?????? 12 分 ? ?x x ? 7 ? 1 2 1? k 2 ? ???? ???? ? ?OM ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ON
? 4k (1 ? k ) ? 8 ? 12 1? k 2
? ? ? 3? ?, 3 ? ?
??????14 分

k=1 符合范围约束,故 l:y=x+1 18. 解:(1) B ? ?1, 0 ? , E(2, 3),D ? 0, 椭圆方程为

??????

15 分

?????? 4 分

3 2 x ? 3y2 ? 1 4

?????? 7 分

(2) PQ ? PD ? ( PA ? 2) ? PD ? ( PA ? PD) ? 2 ??????10 分

PA ? PD ?

4 3 4 3 ? PB ? PD ? ? DB =2 ??????14 分 3 3

所以 P 在 DB 延长线与椭圆交点处,Q 在 PA 延长线与圆的交点处,得到最大值为

2 ? 2 3 . 15 分
19. 解: (I)易得 O(0,0), A(?b,0), B(1 ? b,1 ? b). 设圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 0,

? 2 ?b ? bD ? 0, 则? ?(1 ? b) 2 ? (1 ? b) 2 ? (1 ? b) D ? (1 ? b) E ? 0. ? ? D ? b, 解得 ? ? E ? b ? 2. 故经过三点 O, A, B的圆 C的方程为 x 2 ? y 2 ? bx ? (b ? 2) y ? 0. ??????4 分 设圆 C的圆心坐标为 ( x0 , y 0 ), b b?2 则x 0 ? ? , y 0 ? ? ,? y 0 ? x0 ? 1, 2 2
这说明当 b 变化时, (I)中的圆 C 的圆心在定直线 y ? x ? 1 上。??????6 分 (II)设圆 C 过定点 (m, n),则m2 ? n2 ? bm? (b ? 2)n ? 0,

整理得(m ? n)b ? (m 2 ? n 2 ? 2n) ? 0, ?m ? n ? 0, ??????9 分 它对任意实数 ? 0恒成立,? ? 2 b m ? n 2 ? 2n ? 0. ? ?m ? ?1, ?m ? 0. 解得? 或? ?n ? 1. ?n ? 0.
故当 b 变化时, (I)中的圆 C 经过除原点外的一个定点坐 标为(—1,1) 。11 分 (III)抛物线 M 的顶点坐标为( ?

b b2 ,? ) ,若存在这样的抛物线 M,使它的顶点与 2 4

它对应的圆 C 的圆心之间的距离不大于圆 C 的半径, 则| ?

b ? 2 b2 ? |? 2 4

b 2 (b ? 2) 2 ? ,??????14 分 4 4

整理得 (b2 ? 2b) 2 ? 0,因为 ? 0, 所以 ? 2. b b 以上过程均可逆,故存在抛物线 M : y ? x 2 ? 2x 使它的顶点与 C 的距离不大于圆 C 的半径。 ??????16 分

20. 解: (1)由 f (?x) ? (?x) 2 ? b sin( x) ? 2 ? f ( x) ? 得 b ? 0. ??????2 分 (2) g ( x) ? f ( x) ? 2( x ? 1) ? a ln x

? x 2 ? 2 x ? a ln x
所以 g ?( x) ? 2 x ? 2 ? 依题意, 2 x ? 2 ? 或 2x ? 2 ?

a ( x ? 0) ??????4 分 x

a ?0 x

a ? 0 在(0,1)上恒成立??????6 分 x

2 即 2x ? 2x ? a ? 0 2 或 2 x ? 2 x ? a ? 0 在(0,1)上恒成立

由 a ? ?2 x 2 ? 2 x ? ?2( x ? ) 2 ? 可知 a ? 0.
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

1 2

1 在(0,1)上恒成立, 2

1 1 在(0,1)上恒成立, 2 2 可知 a ? ?4 ,所以 a ? 0 或 a ? ?4. ??????9 分 1 (3) h( x) ? ln( ? x 2 ) ? x 2 ? 1 ? k , 1 2 1 2 令 y ? ln( ? x 2 ) ? x ? 1. 1 2 2x ( x ? 1) x( x ? 1) 所以 y ? ? ??????10 分 ?x?? 2 1? x x2 ?1
由 a ? ?2 x 2 ? 2 x ? ?2( x ? ) 2 ? 令 y ? ? 0 ,则 x1 ? ?1, x2 ? 0, x3 ? 1 ,列表如下:

x
y?

(-∞,-1)

-1

(-1,0)

0

[来源:学科网]

(0,1)

1

(1, +∞)

+
单调递增

0
极大值


单调递减

0
极小值 1

+
单调递增

0
极大值



h(x)

1 ln 2 ? 2

ln 2 ?

1 2

单调递减

1 时,函数无零点; 2 1 当 k ? 1 或 k ? ln 2 ? 时,函数有两个零点; 2 当 k ? 1 时,函数有三个零点。 1 当 1 ? k ? ln 2 ? 时,函数有四个零点。??????16 分 2
所以当 k ? ln 2 ?



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