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福建省师大附中2016


福建师大附中 2016-2017 学年上学期期末考试卷 高一数学(必修 2)试卷
时间: 120 分钟 满分: 150 分

一、选择题:每小题 5 分,共 65 分. 在给出的 A,B,C,D 四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1. 直线 3x ? y ? 2 ? 0 的倾斜角为( A. 30
o

) C. 60
o

B. 150

o

D. 120

o

2.若方程 x2 ? y 2 ? x ? y ? m ? 0 表示圆,则实数 m 的取值 范围是( A.

) D. m ? 1 .

m?

1 2

B. m ?

1 2

C. m ? 1

3. 下列说法正确的是(

)

A. 截距相等的直线都可以用方程

x y ? ? 1 表示 a a

B. 方程 x ? my ? 2 ? 0(m ? R) 不能表示平行 y 轴的直线 C. 经过点 P(1,1) ,倾斜角为 ? 的直线方程为 y ? 1 ? tan ? ( x ?1) D. 经过两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 的直线方程为 y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) x2 ? x1
)

4.已知两直线 l1 : x ? my ? 4 ? 0, l2 : (m ?1) x ? 3my ? 3m ? 0 .若 l1 ∥ l2 ,则 m 的值为( A. 0 B. 0 或 4 C. -1 或

1 2
)

D.

1 2

5.已知 m, n 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则下列命题中正确的是( A. m ? ? , ? ? ? , m ∥ n ? n ∥ ? C.

B. m ∥ ? , ? ? ? ? n ? n ∥ m D. m ? ? , n ? ? , m ∥ n ?? ∥ ?

? ∥ ? , m ∥ ? , m ? n, ? n ? ?

6. 如图: 在正方体 ABCD ? A 设直线 A 1B 1C1D 1 中, 1B 与平面 A 1DCB 1所 成角为 ?1 ,二面角 A1 ? DC ? A 的大小为 ?2 ,则 ?1 , ? 2 为( )

1

A 45 ,30

o

o

45 B. 30 ,

o

o

60 C. 30 ,

o

o

45 D. 60 ,

o

o

7.圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的圆的方程为( A. ( x ? 4)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 C. ( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 1

)

B. ( x ? 4)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 D. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1

8.如图,一个直 三棱柱形容器中盛有水,且侧棱 AA 1 ?8. 若侧面 AA 1 1, B 1C1 的 1B 1B 水平放置时,液面恰好过 AC, BC, AC 中点,当底面 ABC 水平放置时,液面高为( A. 7 B. 6 C. 4 ) D. 2 )

9.若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 1 ? x 2 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围为( A. (? 2, 2) B. (1, 2) C . (?1, 2] D.

[1, 2)

0 10. 在梯形 ABCD 中,?ABC ? 90 , AD ∥ BC , BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 .将梯形 ABCD 绕

AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(
A.

) D.

2? 3

B.

4? 3

C.

5? 3

2?


11. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面 的三视图 ,则该多面体的表面积为( )

A. 18 ? 36 5 C. 90

B. 54 ? 18 5 D. 81

12. 右图是一几何体的平面展开图,其中四边形 ABCD 为正方形,

PD ?PDC, ?PBC, ?PAB, ?PDA 为全等的等边三角形, E、F 分别为 PA、
的中点,在此几何体中,下列结论中错误的为( A. 直线 BE 与直线 CF 共面 ) B. 直线 BE 与直线 AF 是异面直线
2

C. 平面 BCE ⊥平面 PAD 13. 如 图 , 在 等 腰 梯 形 ABCD 中 ,

D. 面 PAD 与面 PBC 的交线与 BC 平行
C B E A E P C F D F D B A

C D? 2 A B ?2

E? F2 , a E, F 分 别 是 底 边

AB , C的 D 中点,把四边形 BEFC 沿直线 EF 折

起,使得平面 BEFC ? 平面 ADFE .若动点 P ? 平面 ADFE ,设 PB, PC 与平面 ADFE 所成的角 分别为 ?1 , ? 2 ( ?1 , ? 2 均不为0).若 ?1 ? ?2 ,则动点 P 的轨迹围成的图形的面积为( A. )

1 2 a 4

B.

4 2 a 9

C.

1 2 ?a 4

D.

4 2 ?a 9

二、填空题:每小题 5 分,共 25 分. 14.已知球 O 有个内接正方体,且球 O 的表面积为 36? ,则正方体的边长为_______ 15.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆,则这个圆锥的高是 16.无论 ? 取何值,直线 (? ? 2) x ? (? ? 1) y ? 6? ? 3 ? 0 必过定点_______ 17. 已知圆心为 C (0,? 2),且被直线 2 x ? y ? 3 ? 0 截得的弦长为 4 5 ,则圆 C 的方程为 _____________. .

E、F , 且 18. 如 图 所 示 , 正 方 体 ABCD ? 1 A1 BC 1 D 1的 棱 长 为 1, 线 段 B 1D 1 上有两个动点
EF ? 2 ,则下列结论中正确的是_____________. 2

① EF ∥平面 ABCD ; ②平面 ACF ? 平面 BEF ; ③三棱锥 E ? ABF 的体积为定值; ④存在某个位置使得异面直线 AE 与 BF 成角 30 .
o

三、解答题:要求写出过程,共 60 分. 19. (本小题满分12分) 如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2,0) ,AB 边所在直 线方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 T (?1,1) 在 AD 边所在直线上.求:

3

(Ⅰ)直线 AD 的方程; (Ⅱ)直线 DC 的方程.

20.(本小题满分12分) 如图, ?ABC 为等边三角形, EA ? 平面 ABC ,

EA ∥ DC , EA ? 2 DC , F 为 EB 的中点.
(Ⅰ)求证: DF ∥平面 ABC ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 AEB .

21. (本小题满分12分) 已知线段 PQ 的端点 Q 的坐标为 (?2,3) ,端点 P 在圆 C : ( x ? 8)2 ? ( y ?1)2 ? 4 上运动. (Ⅰ)求线段 PQ 中点 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)若一光线从点 Q 射出,经 x 轴反射后,与轨迹 E 相切,求反射光线所在的直线方程.

22.(本小题满分12分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面 ABC 为等边三角形, CC1 ? 2 AC ? 2 . (Ⅰ)求三棱锥 C1 ? CB1 A 的体积; ( Ⅱ ) 在线段 BB1 上寻找一点 F ,使得 CF ? AC1 , 请说明作法和理由.

23. (本小题满分12分)

4

已知圆 C : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,直线 l : x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 C 的切线

PA、PB ,切点分别为 A 、 B .
(Ⅰ)若 ?APB ? 60 ,求点 P 的坐标;
o

(Ⅱ)求证:经过 A、P、C 三点的圆必过定点,并求出 所有定点的坐标.

5

2016-2017 高一数学必修 2 参考答案

1.D

2.A

3.D

4.A

5.D

6.B

7.A

8.B

9.D

10.C

11.B

12.C

13.D

14. 2 3

15. 3

16.(-3,3)

17. x2 ? ( y ? 2)2 ? 25

18.①②③④

19 解: (1)在矩形 ABCD 中, AD ^ AB

\ 所求直线 AD 的方程可设为 3x + y + m = 0
又? 点 T (- 1,1) 在直线 AD 上,

\ - 3 + 1+ m = 0 , \ m = 2

\ 直线 AD : 3x + y + 2 = 0
(2)解: 镲 眄

祆 3x + y + 2 = 0 3x + y + 2 = 0 镲 揶 镲 x - 3y - 6 = 0 3x - 9 y - 18 = 0 镲 铑

?y = - 2 10 y + 20 = 0 ? ? ? ? ? x= 0

\ A(0, - 2)
又? 在矩形 ABCD 中,点 C 与点 A 关于点 M 对称

ì x+ 0 ? ? = 2 ì ? ? x= 4 ? 2 镲 \ ? \ 设 C( x, y) , 眄 镲 y- 2 ? y= 2 ? = 0 ? ? ? ? ? 2

\ C (4, 2)

?lCD : x ? 3 y ? 2 ? 0

(第 2 小题也可以用等距离法求直线 DC ,计算量更小) 20(1)证明:取 AB 的中点 G ,连结 FG , GC

? 在 D EAB 中, FG ∥ AE , FG =
? DC ∥ AE , DC =

1 AE 2

1 AE 2

\ DC ∥ FG , FG = DC

\ 四边形 DCGF 为平行四边形
\ FD ∥ GC
又? FD ? 平面 ABC

\ FD ∥平面 ABC
(2)证:? EA ^ 面 ABC , CG ? 平面 ABC

\ EA ^ GC

又? D ABC 为等边三角形

\ CG ^ AB
又? EA ? AB = A , \ CG ^ 平面 EAB 又? CG ∥ FD , FD ^ 面 EAB 又? FD ? 面 BDE , \ 面 BDE ^ 面 EAB

21 解:设 M ( x, y ) , P( x0 , y0 ) ,

ì x0 - 2 ? ? = x ì ? ? x0 = 2 x + 2 ? 2 镲 ? 则代入 ( x0 - 8)2 + ( y0 - 1)2 = 4 眄 镲 y0 + 3 ? y0 = 2 y - 3 ? = y ? ? ? ? ? 2
轨迹 E 的方程为 ( x - 3)2 + ( y - 2)2 = 1 (2)设 Q(- 2,3) 关于 x 轴对称点 Q '(- 2, - 3) 设过 Q '(- 2, - 3) 的直线 ? : y + 3 = k ( x + 2) ,即 kx - y + 2k - 3 = 0

?d =

3k - 2 + 2k - 3 k2 + 1

=1

(5k - 5)2 = k 2 + 1 25(k 2 - 2k + 1) = k 2 + 1
24k 2 - 50k + 24 = 0 (3k - 4)(4k - 3) = 0
\ k= 4 3 或k = 3 4 4 ( x + 2) 即 4 x - 3 y - 1 = 0 3 3 y + 3 = ( x + 2) 即 3x - 4 y - 6 = 0 4

\ 反射光线所在 ? : y + 3 =

22 解: (1)取 BC 中点 E 连结 AE . 在等边三角形 ABC 中, AE ^ BC

又? 在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中 侧面 BB1CC1 ^ 面 ABC 面 BB1CC1 ? 面 ABC = BC

\ AE ^ 面 BB1CC1 \ AE 为三棱锥 B1 - ACC1 的高
又? AB = AC = BC = 1

\ AE =

3 2

又? 底面 CC1B1 为 RtD

\ SD CC1B 1 = \ VC1- ACB1

1 1 C1C ?B1C1 = 创2 1 = 1 2 2 1 = VA- CB1C1 = SD CB1C1 ? AE 3

=

1 创 1 3

3 3 = 2 6
1 ,连结 CF , CF 即为所求直线. 4

(2)作法:在 BB1 上取 F ,使得 BF =

证明:如图,在矩形 BB1C1C 中,连结 EC1

?

CC1 2 CB 1 = = 4, = =4 1 CE BF 1 2 4 CC1 CB \ = ,\ RtD C1CE ∽ RtD CBF ,\ ? 1 CE BF
?3 90? , \ ? 1 ? 3 90?

?2

又? ? 2

\ CF ^ EC1
又? AE ^ 面 BB1C1C ,而 CF ? 面 BB1C1C

\ AE ^ CF
又? AE ? EC1 = E , \ CF ^ 面 AEC1 又? AC1 ? 面 AEC1 , \ CF ^ AC1

23(1)解:? P 、 A 、 C 、 B 四点共圆,且 ? CAP 又? ? APB

? CBP 60?

90?

60? , \ ? ACB

120?, \ ? ACP

在 RtD CAP 中, CA = r = 1, \ CP = 2

ì ? ? x = 2 2 ? ì ì x = 0 ? x + ( y 2) = 4 ? ? 0 0 0 0 镲 ? 设点 P( x0 , y0 ) 满足: 眄 或í 镲 ? y = 0 x 2 y = 0 0 0 0 ? ? ? ? ? y0 = ? ? ? ?
8 4 \ 点 P 坐标为(0,0)或 ( , ) 5 5

8 5 4 5

(2)设 CP 的中点为 M ,过 C 、 A 、 P 三点的圆是以 CP 为直径的圆 M , 设 P( x0 , y0 ) ,则 M ( 又? CP =

x0 y0 + 2 , ) 2 2

x0 2 + ( y0 - 2)2

x02 + ( y0 - 2)2 2 x0 2 y0 + 2 2 圆 M : (x ) + (y) =( ) …………(1) 2 2 2
又? x0 = 2 y0 代入(1)式,得:

( x - y0 )2 + ( y -

y0 + 2 2 5 y0 2 - 4 y0 + 4 ) = 2 4

整理得: x2 + y 2 - 2 y + y0 (- 2x - y + 2) = 0

ì ? ? x= 2 2 ì ì x= 0 ? ? x + y - 2y = 0 ? ? ? ? 无论 y0 取何值时,该圆 M 都经过 í 的交点 í 或í ? ? ? ? ? y= 2 ? ? ? 2x + y - 2 = 0 y= ? ? ? ?
综上所述,过 C 、 A 、 P 的圆必过定点(0,2)和 ( , )

4 5 2 5

4 2 5 5



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