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宁夏银川一中2010届高三数学上学期第五次月考(文) 新人教版


银川一中 2010 届高三年级第五次月考

数 学 试 卷( 文 )
姓名_________ 姓名_________ 班级_________ 班级_________
第 Ⅰ卷
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 选择题( 一项是符合题目要求的.) 一项是符合题目要求的. 的定义域为( 1. 函数 y = ln(1 ? x ) 的定义域为( A. { x | x ≤ 1} B. { x | x < 1} ) C. { x | x ≤ e} D. x | x < e )

学号____ 学号____

2009.12

{

?1

}

2. 由方程 x | x | + y | y | = 1 确定的函数 y = f (x) 在 (?∞ , + ∞) 上是( 上是( A.增函数 B.减函数 C.先增后减

D.先减后增

3. 若将函数 y = cos( x ? ( ) A. ( ?

π
3

) 的图象按向量 a 平移后得到函数 y = sin x 的图象, a 可以为 的图象, 则 5π , 0) 6 5π , 0) 6

π
6

, 0)

B. ( ?

C. (

D. (

π
6

, 0)

4. 设等比数列 {an } 的公比 q = 2 ,前 n 项和为 Sn ,则

S4 =( a2



A. 2

B. 4

C.

15 2

D.

17 2


是等差数列, 等于( 5. 已知 {an } 是等差数列,a1 + a2 = 4 ,a7 + a8 = 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于( A.64 B.100 C.110 D.120 ) D. ? 6. 若 0 ≤ α ≤ 2π ,sin α > A. ? 的取值范围是: 3 cos α ,则 α 的取值范围是:(

?π π ? , ? ?3 2?

B. ?

?π ? ,π ? ?3 ?

C. ?

? π 4π ? , ? ?3 3 ?

? π 3π ? , ? ?3 2 ?

2 2 的直径分为两段, 7. 设直线 2 x ? y ? 3 = 0 与 y 轴的交点为 P, P 把圆 ( x + 1) + y = 25 的直径分为两段, 点

则其长度之比为( 则其长度之比为( A.



3 7 或 7 3

7 4 B. 或 4 7

7 5 C. 或 5 7

7 6 D. 或 6 7

8. 若第一象限内的点 A ( x, y ) 落在经过点 ( 6, ?2 ) 且具有方向向量 a = ( 3, ?2 ) 的直线 l 上, 则

log 3 y ? log 2 x 有(
2 3

) B. 最大值 1
用心 爱心

A. 最大值

3 2

C. 最小值
专心

3 2

D. 最小值 1

所在平面内的一定点, 9. 已知 O 是△ABC 所在平面内的一定点,动点 P 满足 OP = OA + λ ( AB + AC ) , | AB | | AC |

λ ∈ (0,+∞) ,则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( 的轨迹一定通过△
A.重心 10.椭圆 10.椭圆 B 垂心 C.外心 D.内心



x2 y 2 + = 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,弦 AB 过 F1 ,则 ?ABF2 的周长为( 的左、 的周长为( 25 16
B.16 C.10 D. 8



A.20 11. 已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) ,若过右焦点 F 且倾斜角为 30° 的直线与双曲线 a2 b2
) D. [

的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( 的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A. (1, 2 ) B. (1,

2 3) 3

C. [ 2,+∞)

2 3 ,+∞) 3

2 12. 已知抛物线的方程为 y = 2 px ( p > 0) ( p > 0) , 且抛物线上各点与焦点距离的最小值

在此抛物线上运动, 对称, 为 2, 若点 M 在此抛物线上运动, 点 N 与点 M 关于点 A (1,1) 对称, 则点 N 的轨迹方程为 ( )
2 A. x = 8 y

B. ( x ? 2 ) = 8 ( y ? 2 )
2

C.

( y ? 2)

2

= ?8 ( x ? 2 )

2 D. y = 8 x

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分, 题为必考题, 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 包括必考题和选考题两部分 22、23、 题为选考题,考生根据要求做答. 答,第 22、23、24 题为选考题,考生根据要求做答. 小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 填空题: 13. 已 知 函 数 f ( x ) = sin x + cos x , f ′( x ) 是 f ( x ) 的 导 函 数 。 若 f ( x ) = 2 f ′( x ) , 则

1 + sin 2 x 的值是___________ ___________. 的值是___________. cos 2 x ? sin x cos x
14. 若 a > 0且a ≠ 1, 函数y =| a x ? 1 | 与y = 2a 的图象有两个交点,则 a 的取值范围是 的图象有两个交点, . 15. 已知 f ( x ) =

0, {1,1, xx <≥0, ?

则不等式 x + ( x + 2) ? f ( x + 2) ≤5 的解集是

.

一次研究性课堂上, 16. 一次研究性课堂上,老师给出函数 f ( x) = 究此函数时分别给出命题: 究此函数时分别给出命题:

x ( x ∈ R) ,三位同学甲、乙、丙在研 三位同学甲、 1+ | x |

的值域为(- (-1 ①函数 f (x)的值域为(-1,1) ②若 x1≠x2,则一定有 f (x1)≠f (x2); ; ③若规定 f 1 ( x) = f ( x), f n ( x) = f ( f n ?1 ( x)), 则 f n ( x) = 你认为上述三个命题中正确的题号是__________. 你认为上述三个命题中正确的题号是__________. 小题, 解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 解答题:
用心 爱心 专心

x ? 恒成立. 对任意 n ∈ N 恒成立. 1+ n | x |

17. (本小题满分 17. 本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x ) = 4 sin (
2

π
4

+ x) ? 2 3 cos 2 x ? 1 ,且

π
4

≤x≤

π
2

(1)求 的最大值及最小值; (1)求 f (x ) 的最大值及最小值; (2)求 的在定义域上的单调区间. (2)求 f (x ) 的在定义域上的单调区间. 18. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的顶点 A(?1,0) 、 B (1,0) 顶点 C 在直线 y = (1)若 的坐标; (1)若 sin A + sin B = 2 sin C ,求点 C 的坐标;
2 2 2

3上

(2)设 (2)设 CA > CB ,且 CA ? CB = 6 ,求角 C. 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 = (1)求证 {

1 且 a n + 2 S n ? S n ?1 = 0( n ≥ 2) . 2

1 } 是等差数列,并求出 a n 的表达式; 是等差数列, 的表达式; Sn

2 2 2 (2) 若 bn = 2(1 ? n) a n ( n ≥ 2) ,求证 b2 + b3 + ? + bn < 1 .

20. (本小题满分 12 分)
3 2 2 设函数 f ( x) = x + ax ? a x + m( a > 0) .

有三个互不相同的零点, 的取值范围; (1)若 a = 1 时函数 f ( x) 有三个互不相同的零点,求 m 的取值范围; 内没有极值点, 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 在 x ∈ [ ?1,1] 内没有极值点,求 a 的取值范围;

21. (本小题满分 12 分) 如图, 是平面上的两点, 如图, M ( ?2, 0 ) 和 N ( 2, 0 ) 是平面上的两点, 满足: 动点 P 满足: PM + PN = 6. (1)求点 的轨迹方程; (1)求点 P 的轨迹方程;
M(M(-2,0) O y P N(2,0) x

2 , 1 ? cos ∠MPN 为第一象限点, 的坐标. 且 P 为第一象限点,求点 P 的坐标.
(2)若 (2)若 PM · PN =

四、选考题:请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记 选考题: 22、23、 题中任选一题做答,如果多做, 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分 10 分. 22. 选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, 的直径, 的切线, 如图所示, AB 为⊙ O 的直径, BC 、 CD 为⊙ O 的切线,
A D O 用心 爱心 专心 B C

B 、 D 为切点
(1)求证: (1)求证: AD // OC 求证

(2)若 AD·OC 的值. (2)若⊙ O 的半径为 1 ,求 AD OC 的值. 23. 选修 4-4:坐标系与参数方程 (1)已知二次函数 (1)已知二次函数 y = x ? 2 x sec α +
2

2 + sin 2α , ( α 为参数, cos α ≠ 0 )求证此抛物 为参数, 2 cos 2 α

线顶点的轨迹是双曲线. 线顶点的轨迹是双曲线. (2)长为 的线段两端点分别在直角坐标轴上移动,从原点向该线段作垂线, (2)长为 2a 的线段两端点分别在直角坐标轴上移动,从原点向该线段作垂线,垂足为 P , 的轨迹的极坐标方程. 求 P 的轨迹的极坐标方程. 24. 选修 4-5:不等式选讲 均为正数, (1) 设 a1 , a2 , a3 均为正数,且 a1 + a2 + a3 = m ,求证

1 1 1 9 + + ≥ a1 a2 a3 m
2 2 2

都是正数, 求证: (2) 已知 a 、 b 都是正数, x, y ∈ R 且 a + b = 1 ,求证: ax + by ≥ ( ax + by ) .

月月考数学试卷答案( 银川一中高三年级 12 月月考数学试卷答案(文)
选择题(每题 一.选择题 每题 5 分,共 40 分) 选择题 共
用心 爱心 专心

1 B

2 B

3 D

4 C

5 B

6 C

7 A

8 B

9 D

10 A

11 B

12 C

二.填空题 每题 5 分,共 30 分) 填空题(每题 共 填空题 13.

11 6

14. ? 0,

? ?

1? ? 2?

15. ( ?∞, ] ;

3 2

16. ①②③

三.解答题 解答题 17.解:① f ( x ) = 4 sin( 2 x ? .

π
3

) +1

……..2 分

π
4


≤x≤

π
2

π
6

≤ 2x ?

π
3



2π 3

………………….4 分

∴ f ( x) max = 5 f ( x) nim = 3
②由 ………………………………….6 分

π
6

≤ 2x ? ≤ 2x ?

π
3

≤ ≤

π
2

,得 f (x ) 的单调递增区间 [

π
4



5π ]……………9 分 12



π
2

π
3

2π 5π π , ] ,得 f (x ) 的单调递减区间 [ 3 12 2 ……………..12 分

18.解:①设 C (m, 3 ) ,由已知及正弦定理得 BC 2 + AC 2 = 2 AB 2 = 8 ……3 分 .
2 2 即 ( m ? 1) + 3 + ( m + 1) + 3 = 8 解得 m = 0

∴ C (0, 3 ) ……………...6 分

② CA = (?1 ? m,? 3 )

CB = (1 ? m,? 3 )
又∵ CA > CB

CA ?CB = 6 得 m = ±2

∴m = 2
∴ cos C =

∴CA = 2 3

CB = 2 ………………………….9 分
∴C =

CA 2 + CB 2 ? AB 2 3 = 2CA ? CB 2

π
6

……….12 分

19. (I)证明:∵ S n = a1 + a 2 + ? ? ? + a n )证明: ∴当 n≥2 时,an = Sn – Sn – 1 ≥ 又 a n + 2 S n S n ?1 = 0

用心

爱心

专心

∴ S n ? S n ?1 + 2 S n S n ?1 = 0( n ≥ 2) , 若 Sn = 0,则 an = 0, , , 1 矛盾! ∴a1 = 0 与 a1 = 矛盾! 2 ∴Sn≠0,Sn – 1≠0. , . 1 1 1 1 ? + 2 = 0即 ? =2 ∴ S n ?1 S n S n S n ?1 又
1 1 ? = 2. S 2 S1 1 }是首项为 2,公差为 2 的等差数列 是首项为 , Sn 1 }是等差数列. 是等差数列. 是等差数列 Sn

∴{

……………..4 分

解:由(I)知数列 )知数列{ ∴

1 1 = 2 + (n ? 1) ? 2 = 2n 即 S n = Sn 2n 1 1 1 ? =? ∴当 n ≥ 2时, a n = S n ? S n ?1 = 2n 2(n ? 1) 2n(n ? 1) 1 又当 n = 1时, S1 = a1 = 2
?1 (n = 1) ?2 ? ∴ an = ? 1 ?? ( n ≥ 2) ? 2n(n ? 1) ?
(II)证明:由(I)知 bn = 2(1 ? n) ? )证明: )

……………….8 分

1 1 = ( n ≥ 2) 2n(1 ? n) n 1 1 1 2 2 2 ∴ b2 + b3 + ? + bn = 2 + 2 + ? + 2 2 3 n 1 1 1 < + +?+ 1× 2 2 × 3 (n ? 1)n

1 1 1 1 1 1 = (1 ? ) + ( ? ) + ? + ( ? ) = 1 ? < 1 …………..12 分 2 2 3 n ?1 n n
20.解: 1)当 a = 1 时 f ( x ) = x 3 + x 2 ? x + m , 解 (1 ( 有三个互不相同的零点, ∵ f ( x ) 有三个互不相同的零点,
3 2 3 2 有三个互不相同的实数根. ∴ f ( x ) = x + x ? x + m = 0 即 m = ? x ? x + x 有三个互不相同的实数根. 3 2 / 2 令 g ( x ) = ? x ? x + x ,则 g ( x ) = ?3 x ? 2 x + 1 = ?(3 x ? 1)( x + 1)

均为减函数, 为增函数, ∵ g ( x ) 在 ( ?∞, ?1) 和 ( , +∞) 均为减函数,在 ( ?1, ) 为增函数,

1 3

1 3

用心

爱心

专心

∴ g ( x )极小 = g ( ?1) = ?1, g ( x )极大 = g ( ) = 所以 m 的取值范围是 (?1,

1 3

5 27

5 ) 27
/

………………………………6 ………………………………6 分
2 2

上没有实数根, (2)由题设可知,方程 f ( x ) = 3 x + 2ax ? a = 0 在 [ ?1,1] 上没有实数根, 由题设可知,

? f / (1) = 3 + 2a ? a 2 < 0 ? / 2 ∴ ? f (?1) = 3 ? 2a ? a < 0 ,解得 a > 3 ?a > 0 ?

……………12 分 ……………12

由椭圆的定义, 21 解: Ⅰ)由椭圆的定义, P 的轨迹是以 M、 为焦点, ( 点 长轴长 2a=6 N 为焦点, 的椭圆. 的椭圆. =2, =3, 长半轴 a=3, 从而短半轴 b= a ? c = 5 , 因此半焦距 c=2,
2 2

所以椭圆的方程为 分

x2 y 2 + = 1. …………………………… 6 ……………………………6 9 5 2 ,得 1 ? cos ∠MPN


(Ⅱ)由 PM i PN =

PM i PN cos MPN = PM i PN ? 2.

不为椭圆长轴顶点, 构成三角形. 因为 cos ∠MPN ≠ 1, P 不为椭圆长轴顶点,故 P、M、N 构成三角形.在△PMN 中,

MN = 4,由余弦定理有 MN = PM + PN ? 2 PM ? PN cos MPN .
2 2 2



将①代入②,得 代入②

42 = PM + PN ? 2( PM i PN ? 2).
2 2

x2 为焦点, ? y 2 = 1 上. 故点 P 在以 M、N 为焦点,实轴长为 2 3 的双曲线 3
由(Ⅰ)知,点 P 的坐标又满足

x2 y 2 + = 1 ,所以 9 5
? 3 3 ?x = ? 2 解得 ? ?y = 5 ? 2 ?

由方程组 ?

?5 x + 9 y = 45, ? 2 2 ? x ? 3 y = 3. ?
2 2

点坐标为( 即 P 点坐标为(

3 3 5 …………12 , ) …………12 分 2 2

22. BD、OD.∵CB、 的两条切线, 22.解:(1)如图,连接 BD、OD.∵CB、CD 是⊙O 的两条切线, (1)如图, 如图
用心 爱心 专心

∴BD⊥OC,∴∠2+∠3=90° BD⊥OC,∴∠2+∠3=90° 2+ 直径, AD⊥PB, 1+∠2=90° 又 AB 为⊙O 直径,∴AD⊥PB,∠1+∠2=90°, ∴∠1= 1=∠ AD∥OC…………………………………………… ……………………………………………5 ∴∠1=∠3,∴AD∥OC……………………………………………5 分 (2)AO=OD, 1=∠A=∠ (2)AO=OD,则∠1=∠A=∠3, Rt△BAD∽Rt△ODC,AD?OC=AB?OD=2………………………… …………………………5 ∴Rt△BAD∽Rt△ODC,AD?OC=AB?OD=2…………………………5 分
2 23. (1 23. 1) ρ ? 6 ρ cos ? θ ? (

π? ? ……………………………5 ? + 8 = 0 ; ……………………………5 分 6? ? π? ? 2 ………………….5 (2) ρ ? 12 ρ cos ? θ ? ? + 32 = 0 ………………….5 分 6? ?

24.证明:(1) 1 + 1 + 1 = 1 (a1 + a 2 + a 3 )( 1 + 1 + 1 ) …………………… 分 .证明: …………………… …………2
a1 a2 a3 m a1 a2 a3
a a a ? 1 a a a 1 ? 9 ?3 + ( 1 + 2 ) + ( 2 + 3 ) + ( 1 + 3 )? ≥ (3 + 2 + 2 + 2) = m? a 2 a1 a3 a2 a 3 a1 ? m m ? ?

=

…………4 ………… 分

当且仅当 a1 = a 2 = a3 =

m 时,等号成立 3

……………………5 …………………… 分

ax2+by2=(ax2+by2)(a+b)=a2x2+b2y2+ab(x2+y2)≥a2x2+b2y2+2abxy=(ax+by)2。…… 分 ……10

用心

爱心

专心


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