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安徽省合肥一中2013-2014学年高一上学期期中考试数学试卷


安徽省合肥一中 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试卷
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分,请将所选答案填在括号内)

1.已知集合 M={x|x<3} ,N={x| 2 x ? 2 } ,则 M∩N= ( A. ? B. {x|0<x<3} C. {x|1<x<3}

)

D. {x|2<x<3}

?3 x ( x ? 0) f ( x) ? ? ?log 2 x( x ? 0) 2. 已知函数
1 B. 27

1 f [ f ( )] 8 的值为( ,那么 1 D. 27 ?

)

A. 27

C. ?27

3.若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??, 4] 内递减,那么实数 a 的取值范围为( A. a ? ?3 B.



a ? ?3

C. a ? 5 )

D. a ? 3

2 4. 若 f ? x ? ? x ? a ,则下列判断正确的是(

A. f ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? 2 ? 2 ? ? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? 2 ? 2 ?

B. f ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? 2 ? 2 ?

C. f ?

D. f ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? 2 ? 2 ?


5. 若方程 ln( x ? 1) ? A. ? 1

2 的根在区间 ( k , k ? 1)( k ? Z ) 上,则 k 的值为( x B.1 C. ? 1 或 2 D. ? 1 或 1

6.设 a ? ( ) 3 , b ? ( ) 3 , c ? ( ) 3 , 则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? c ? b B. a ? b ? c C. c ? a ? b

2 3

1

1 3

2

1 3

1



D. b ? c ? a

7.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 ?0,2? ,则函数 g ( x) ? A. ?0,4? B. ?0,1? ? ?1,4? C. ?0,1?

f (2 x) 的定义域是( x ?1



D. ?0,1?

8.已知 max?a, b? ? A.2 B.1

?

a , a ?b 2 ?2 b , a ?b ,则 max x , x 在 (??,0) ? (0,??) 上最小值为(

?

?



C. ? 1

D.0
)

9.若 a ? b ? c ,则函数 f ( x) ? ( x ? a )( x ? b) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? c) ( x ? a ) 两个零点分别位于区间( A. (a, b) 和 (b, c) 内 B. (??, a ) 和 (a, b) 内 C. (b, c) 和 (c, ??) 内

D. (??, a ) 和 (c, ??) 内

10.已知 x, y 为实数,且满足 ( y ?1) 3 ? 2014 ( y ?1) ?1 ,则 x ? y ? (

?

( x ?1) 3 ? 2014 ( x ?1) ? ?1



A.2

B.1

C. ? 1

D.0

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分,答案填在横线上) 11.方程 3 log 2 ( x ? 1) ? 1 的根的个数为__________个.
x

12.已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为
2

.

13.已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x , 则函数 f ( x) 的解析式为________________. 14. 设 函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x ? 6,

x?0 , 若 互不 相 同的 三 个实 数 x1,x2,x3 满 足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) , 则 ? 6 ? log 2 (1 ? x),x ? 0
.

x1 ? x2 ? x3 的取值范围是

15.已知 lg x ? lg y ? 2 lg( x ? 2 y ) ,则 log 8

x 的值为________________. y

三、解答题: (本大题 75 分,16—19 题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16. (本题满分 12 分) (1)已知 a ?
? ? ? 1 1 ?2 ?1 2 ,b ? ,求 [a 2 b(ab ) 2 (a ) 3 ] 的值; 3 2 2 3 1 2

(2)计算

2 lg 8 ? lg 2 5 ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 的值. 3

ax 2 ? bx ? 1 17.(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? (a ? 0) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) 有最小值 2 2 ,求 f ( x) 的表 x?c
达式.

18. (本题满分 12 分) 合肥一中高一年级某班共有学生 51 人,据统计原每人每年用于购买饮料的平均支出是 a 元, 若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费 用,另一部分是其它费用 228 元,其中,纯净水的销售价 x (元/桶)与年购买总量 y (桶)之间满足如图所示关系. (1)求 y 关于 x 的函数关系式; (2) 当 a ? 120 时, 若该班每年需要纯净水 380 桶, 请你根据提供的信息比较, 该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用,哪 一种更少?说明你的理由; (3)当 a 至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定不会 超过该班全体学生购买饮料的年总费用?

19.(本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ⑴求 f ( x) 的定义域。 ⑵判断函数 f ( x) 的单调性并证明。 ⑶解关于 x 的不等式 f ? x( x ? )? ? 2 ? 2 ?

1 1? x ? lg x?2 1? x

?

1 ?

1

20.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? (2 ? lg a ) x ? lg b, f (?1) ? ?2 当 x ? R 时, f ( x) ? 2 x 恒成立.
2

⑴求实数 a, b 的值. ⑵当函数 f ( x) 的定义域为 ?t , t ? 1?(t ? 0) 时,求函数 f(x)的最小值 g(t).

21.(本题满分 14 分) 若函数 f ( x) 满足下列条件:在定义域内存在 x 0 , 使得 f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) 成立,则称函数 f ( x) 具有性质

M ;反之,若 x0 不存在,则称函数 f ( x) 不具有性质 M .
(1)证明:函数 f ( x) ? 2 具有性质 M ,并求出对应的 x 0 的值;
x

(2)已知函数 h( x) ? lg

a 具有性质 M ,求 a 的取值范围; x ?1
2
2

(3)试探究形如:① y ? kx ? b(k ? 0) ,② y ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,③ y ?

k ?a axx (a ? 0且a ? 1) , (k ? 0) ,④ yy? x

⑤ y ? log a x(a ? 0且a ? 1) 的函数,指出哪些函数一定具有性质 M ?并说明理由.

2013-2014 年第一学期高一数学试卷答案
选择 1-5CBABD 6-10ACBAA 填空 11. 2 12. (?5,0) ? (5,??) 解答 16、 (1)1 (2)3 13. f ( x) ? x ? 1, ( x ? 1)
2

14. (?11,4) 15.

2 3

2x2 ?1 17、 f ( x) ? x

3)设该班每年购买纯净水的费用为 P 元,则

P ? xy ? x(?40 x ? 720) ? ?40( x ? 9) 2 ? 3240, ?当x ? 9时,Pmax ? 3240
要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少, 则 51a ? Pmax ? 228, 解得 a ? 68 ,故 a 至少为 68 元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料 的年总费用少。 19、(1) (?1,1) (2)略 (3) ( 20、(1) a ? 100, b ? 10

1 ? 17 1 1 ? 17 ,0) ? ( , ) 4 2 4

f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 1

(2)当 t ? ?3 时 f ( x) min ? t 2 ? 6t ? 6 当 ? 3 ? t ? ?2 时 f ( x) min ? ? 3 当?2 ?t ? 0时

f ( x) min ? t 2 ? 4t ? 1
x

21、解: (1)证明: f ( x) ? 2 代入 f ? x 0 ? 1? ? f ? x 0 ? ? f ?1? ,

? 2 x0 ? 2 ,即 2 x0 ? 2 , x 解得 x0 ? 1 ,∴函数 f ( x) ? 2 具有性质 M . …………………2 分 (2) h( x) 的定义域为 R,且可得 a ? 0 ,∵ h( x) 具有性质 M , a a a ∴存在 x0 ,使得 h( x 0 ? 1) ? h( x 0 ) ? h(1) ,代入得 lg 2 ? lg ? lg , x0 ? 1 2 x0 ? 2
得: 2
2 化为 2( x 0 ? 1) ? a ( x0 ? 1) 2 ? a ,
2 整理得 (a ? 2) x 0 ? 2ax0 ? 2a ? 2 ? 0 有实根, ……………4 分

x0 ?1

1 ,满足题意; …………………………5 分 2 2 ②若 a ? 2 ,则要使 (a ? 2) x 0 ? 2ax0 ? 2a ? 2 ? 0 有实根,只需满足 ? ? 0 ,
①若 a ? 2 ,得 x 0 ? ? 即 a 2 ? 6a ? 4 ? 0 ,解得 a ? [3 ? 5,3 ? 5] ,∴ a ? [3 ? 5, 2) ? (2,3 ? 5] , 综合①②,可得 a ? [3 ? 5 ,3 ? 5 ] ……………7 分 ( 3 ) 解 法 一 : 函 数 y ? f ( x) 恒 具 有 性 质 M , 即 关 于 x 的 方 程 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? f (1) ( * ) 恒 有 解. ………8 分 ①若 f ( x) ? kx ? b ,则方程(*)可化为 k ( x ? 1) ? b ? kx ? b ? k ? b 整理,得 0 ? x ? b ? 0 ,当 b ? 0 时,关于 x 的方程(*)无解, ∴ f ( x) ? kx ? b 不恒具备性质 M ; ……………9 分 ②若 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,则方程(*)可化为 2ax ? a ? b ? 0 ,
2

a?b , 2a ∴函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) 一定具备性质 M ; ………10 分 k ③若 f ( x) ? ( k ? 0) ,则方程(*)可化为 x 2 ? x ? 1 ? 0 无解, x k ∴ f ( x) ? ( k ? 0) 不具备性质 M ; ……………11 分 x x ④若 f ( x) ? a ,则方程(*)可化为 a x ?1 ? a x ? a , a 化简得 ( a ? 1) a x ? a即a x ? , a ?1 当 0 ? a ? 1 时,方程(*)无解, ∴ f ( x) …………12 分 y? ?a axx (a ? 0且a ? 1) 不恒具备性质 M ; ⑤若 f ( x) ? log a x ,则方程(*)可化为 log a ( x ? 1) ? log a x ,化简得 x ? 1 ? x ,
解得 x ? ? 显然方程无解, ∴ y ? log a x(a ? 0且a ? 1) 不具备性质 M ;
2 2

……………13 分 ……14 分

综上所述,只有函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 一定具备性质 M .

(注:第(3)问直接得 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 一定具备性质 M 而不说明理由 只给 1 分)



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