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3.1.5 空间向量的数量积(2)


凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计

3.1.5
教学目标:

空间向量的数量积(2)
姜堰市蒋垛中学 孟进

1.掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律; 2.掌握空间向量数量积的坐标形式; 3.会用向量的方法解决有关垂直、夹角、和距离的简单问题.

教学重点: 空间向量数量积的坐标形式. 教学难点: 会用向量的方法解决有关垂直、夹角、和距离的简单问题.

教学方法: 新授课、启发式一一引导发现、合作探究.

教学过程: 一、问题情境 (一)复习上一堂课及平面向量数量积的坐标表示. ? ? ? ? 1.设< a,b >= ? ,则 a ? ( ? 的范围为 ??? b=

) . .

? ? ? ? b= 2. 对于平面内两个非零向量设 a ( x1,y1 ) ,b ( x2,y2 ) 则 a ? = =
(二)思考 怎样的呢? 二、学生活动 1.复习上一堂课上空间向量数量积的概念、性质和运算律. 2.类比平面向量数量积的坐标表示得出空间向量数量积的坐标表示. 可以个人独自总结,再进行小组汇总. 三、建构数学 学生回答,老师总结并通过多媒体体现:

那么,对于空间两个非零向量,它们的数量积的坐标表示又是

1

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(1)空间向量数量积的坐标表示

? ? 一般地,设空间两个非零向量,为 a ( x1,y1,z1 ), b ( x2,y2,z2 ) , = = ?? 则 a? =x1x2+y1 y2+z1z2 . b
由学生上黑板仿平面向量数量积的坐标表示来证明. 由此可知:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. ? ? (2)模长公式:若 a=(a1,a2,a3 ) , b (b1,b2,b3 ) , =
? ? ? ? ? ? 则 | a | = a ? a= a12+a2 2+a32 , | b | = b ? b= b12+b2 2+b32 .

(3)两点间的距离公式:若 A( x1,y1,z1 ) , B( x2,y2,z2 ) , 则 | AB | = AB = ( x2-x1 )2+( y2-y1 )2+( z2-z1 )2 , ? ? ? ? a1b1+a2b2+a3b3 a ?b (4)夹角: cos a ? b = ? ? = . | a |?| b | a12+a2 2+a32 b12+b2 2+b32
??? ? ??? 2 ?

? ? ? ? (5) a ? b ? a ? b 0 ? x1x2+y1 y2+z1z2= = 0
四、数学运用 1.例题. 例1
??? ??? ??? ??? 已知 A(3,1,3) , B(1,0,5) ,求:

(1)线段 AB 的中点坐标和长度; (2)到 A,B 两点的距离相等的点 P( x,y,z ) 的坐标 x,y,z 满足的条件
???? 1 ??? ??? ? ? ? 3 OB (2 ??? ??? 解: (1)设 M 是线段 AB 的中点,则 OM= (OA+ )= ,3 , ) . 2 2 ??? ? 3 ??? ??? ∴ AB 的中点坐标是 (2 ,3 , ) , AB= ?2 ,4 ,3) ( ??? ??? 2 ??? ? | AB | = (-2) 2 +42 +- 2= 29 . ( 3)
王新敞
奎屯 新疆

(2)∵ 点 P( x,y,z ) 到 A ,B 两点的距离相等,
3) 1) 3) 1) 5) 则 ( x- 2 +( y- 2 +( z- 2= ( x- 2 +( y- 2 +( z-0) 2 ,

4 8 6 7 0 化简得: x- y+ z+ = ,所以, A ,B 两点的距离相等的点 P( x,y,z ) 的 到 8 6 7 0 坐标 x,y,z 满足的条件是 4 x- y+ z+ = .

2

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注:到 A ,B 两点的距离相等的点 P( x,y,z ) 构成的集合就是线段 AB 的中
8 6 7 0 垂面,若将点 P 的坐标 x,y,z 满足的条件 4 x- y+ z+ = 的系数构成一个向量

? ??? ? a= , 8,6) ,发现与 AB= ?2 ,4 ,3) 共线. (4 ???? ??? ( ??? ???
例2

???? ??? ??? ???? ???? ???? 已知三角形的顶点是 A(1 , 1 ,1) , B(2 ,1 , 1) , C(?1 , 1 , 2) ,

试求这个三角形的面积.
? 1 ??? ???? 2 ??? ? ??? ? 解:∵ AB=(1,2, 2) , AC=(?2,0, 3) , ??? ???? ??? ????

分析:可用公式 S= | AB | ? | AC | ? sin A 来求面积.

∴ | AB | = 12+22+(-2) 2=3 , | AC | = (-2) 2+0+(-3) 2= 13 ,
??? ??? ? ? AB ? AC=(1 ???2, 2) ? (?2,0, 3)=-2+6=4 , , ???? ??? ????
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AB ? AC ∴ cos A=cos ? AB,AC ? = ??? ???? = 4 = 4 13 , ? ??? 39 | AB | ? | AC | 3× 13
??? ???? ? ??? ???? ? 13× sin A=sin ? AB, AC ? = 1-cos2 ? AB,AC ?= ??? ??? 101 39

??? ?

????

∴所以, S?ABC= | AB | ? | AC | ? sin A= 2.练习. 课后练习 2,3,4. 习题 3.1. 五、要点归纳与方法小结: 本节课学习了以下内容:

? 1 ??? 2

????

101 . 2

1.复习空间向量的数量积的概念、性质和运算律; 2.空间向量数量积的坐标形式; 3.会用向量的方法解决有关垂直、夹角、和距离的简单问题; 4. 方法上, 我们采用了类比的思想由平面向量数量积坐标表示得出空间向 量数量积的坐标表示及性质. 5.空间向量要注重数形结合,注重培养我们的空间想象能力.

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