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北京师大附中10-11学年高一数学下学期期中考试试卷新人教A版


北京市师大附中 2010-2011 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
第Ⅰ卷(模块卷) 本试卷分第Ⅰ卷(模块卷,100 分)和第Ⅱ卷(综合卷,50 分)两部分,共 150 分,考 试时间 120 分钟。 一、选择题(4'×10=40 分) :在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 不等式 x(1 ? 2 x) ? 0 的解集( ) A. { x | 0 ? x ? C. {x | x ?

1 } 2

B. { x | x ?

1 } 2

1 1 或x ? 0} D. {x | x ? 0或0 ? x ? } 2 2 2. 若等差数列 {an } 的前 3 项和 S 3 ? 9 且 a1 ? 1 ,则 a2 等于(
A. 3 C. 5 B. 4 D. 6



3. 已知数列 {an } 是等比数列,且 a1 ? A. 2 C. -2 B. ? D.

1 , a4 ? ?1 ,则数列 {an } 的公比 q 为( 8



1 2

1 2 4. 在 ?ABC 中, A ? 60? , a ? 4 3 , b ? 4 2 ,则 B 等于( A. 45 ? 或 135 ? B. 135 ? C. 45 ? D. 以上答案都不对 5. 已知 a ? 0,?1 ? b ? 0 ,则下列不等式中正确的是( )
A. a ? ab ? ab C. ab ? a ? ab
2



B. a ? ab ? ab
2

2

2

C. ab ? ab ? a ) B. 一定是直角三角形 D. 可能是钝角三角形,也可能是锐角三角形 )

6. 若 ?ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 : 12 : 13 ,则 ?ABC ( A. 一定是锐角三角形 C. 一定是钝角三角形 平均增长率记为 x ,则(

7. 某工厂第一年年产量为 A,第二年增长率为 a ,第三年的增长率为 b ,则这两年的年

a?b 2 a?b C. x ? 2
A. x ?

a?b 2 a?b D. x ? 2
B. x ? )
2 2 2

8. 下列命题中,不正确的是(

A. 若 a , b , c 成等差数列,则 ma ? n , mb ? n , mc ? n 也成等差数列; B. 若 a , b , c 成等比数列,则 ka , kb , kc ( k 为不等于 0 的常数)也成等比数 列; C. 若常数 m ? 0 , a , b , c 成等差数列,则 m , m , m 成等比数列; D. 若常数 m ? 0 且 m ? 1 , a , b , c 成等比数列,则 logm a , logm b , logm c 成等
a b c

差数列。

-1-

9. 设 a ? 0, b ? 0 。若 3 是 3 与 3 的等比中项,则
a b

1 1 ? 的最小值为( a b



A. 8 C. 1

B. 4 D.

1 4 10. 在等差数列 {an } 中, a10 ? 0, a11 ? 0 ,且 a11 ?| a10 | , S n 为数列 {an } 的前 n 项和,
则使 S n ? 0 的 n 的最小值为( A. 10 C. 20 B. 11 D. 21 )

二、填空题(4'×5=20 分) : 11. 函数 f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x 在区间 [

, ] 上的最大值是_____________。 4 2 12. 已知 {an } 为等比数列,且 an ? 0, a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25 ,那 a3 ? a5 =_______。

? ?

x 2 ? 3x ? 6 的最小值为__________________。 x ?1 1 14. 数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a n ? ,则 S 5 =___________________。 n(n ? 1) 15. 若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是(写出
13. 当 x ? ?1 时,函数 y ? 所有正确命题的编号)_______________。 ① ab ? 1 ;② a ? b ?

2 ;③ a 2 ? b 2 ? 2 ;④ a 3 ? b 3 ? 3 ;⑤

1 1 ? ?2 a b

三、解答题 16. 在 ?ABC 中, A ? 120 ? , b ? 1 , S ?ABC ? 3 , 求: (Ⅰ) a , c ;

) 的值。 6 17. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a , f ( x) ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? t}
(Ⅰ)求 a , t 的值; (Ⅱ) c 为何值时, (c ? a) x ? 2(c ? a) x ? 1 ? 0 的解集为 R。
2

(Ⅱ) sin( B ?

?

18. 设等差数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2n 2 , 在数列 {bn } 中,b1 ? 1 ,bn?1 ? 3bn (n ? N * ) (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an bn ,求数列 {cn } 前 n 项和 Tn 。

第Ⅱ卷(综合卷)
-2-

一、填空题(5'×2=10 分) 1. 已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x ,项数为 27 的等差数列 {an } 满足 a n ? ( ?

, ) ,且公 2 2 差d ? 0 , 若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 , 则当 k ? ________________时,f (ak ) ? 0 。
2. 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且 得

? ?

An 7n ? 45 ,则使 ? Bn n?3

an 为整数的正整数 n 的个数是______________。 bn

二、解答题(共 40 分) 3. 已知 cos ? ?

1 13 ? , cos( ? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? , 7 14 2 (Ⅰ)求 tan 2? 的值。
(Ⅱ)求 ? 。

4. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1

? f ( x) ? 6, x ? 4 ,当 a ? 2 时,求: F ( x) ? 0 时 x 的取值范围; ?? f ( x) ? 2, x ? 4 (Ⅱ)设 f ( x) 在 (2,3) 内至少有一个零点,求: a 的取值范围。 2 5. 已知数列 {an } 和 {bn } 满足:a1 ? ? ,a n ?1 ? a n ? n ? 4 ,bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21 ), 3 其中 ? 为实数, n 为正整数。 (Ⅰ)证明:对任意的实数 ? ,数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ)证明:当 ? ? ?18 时,数列 {bn } 是等比数列; (Ⅲ)设 S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 S n ? ?12 ?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由。
(Ⅰ)设 F ( x) ? ?

-3-

【试题答案】
第Ⅰ卷 1. A 6. B 11. 2. A 7. B 3. C 8. D 4. C 9. B 5. D 10. C 13. 5; 14.

3 ?1 ; 2

12. -5;

5 ; 6

15. ①③⑤

16. 解: (1) S ?ABC ?

1 bc sin A ? 3 , c ? 4 , 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ? 21, a ? 21 ,

所以 a ?

21, c ? 4

? 21 7 3 21 , cos B ? , sin(B ? ) ? 6 7 14 14 17. 解(1) a ? ?3 , t ? 3 ; (2) {c | 2 ? c ? 3} 。 18. (Ⅰ)? 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ;当 n ? 2 时,
(2) sin B ?

an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2 , 当 n ? 1 时, 4 ?1 ? 2 ? 2 ? a1
故 {an } 的通项公式为 an ? 4n ? 2 ,bn ? 3n?1 (Ⅱ)? cn ? an bn ? (4n ? 2)3n?1 ? 2(2n ? 1)3n?1 ,

?Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2 ? 6 ? 31 ? 10? 32 ? ? ? 2(2n ? 1)3n?1 3Tn ? 2 ? 31 ? 6 ? 32 ? ? ? 2(2n ? 3)3n?1 ? 2(2n ? 1)3n
两式相减得

? ?2Tn ? 2 ? 2(31 ? 32 ? ? ? 3n?1 ) ? 2(2n ? 1)3n
3(1 ? 3n ?1 ) ? 2(2n ? 1)3n 1? 3 n ? ?Tn ? 1 ? (3 ? 1) ? (2n ? 1)3n ? ?2Tn ? 2 ? 4

?Tn ? (2n ? 2)3n ? 2
第Ⅱ卷 1. 14; 2. 5;

3. (Ⅰ)由 cos ? ?

1 ? 1 4 3 ,0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? 7 2 7 7

sin ? 4 3 7 ? ? ?4 3, cos? 7 1 2 tan? 2? 4 3 8 3 于是 tan 2? ? ? ?? 2 2 47 1 ? tan ? 1 ? (4 3 ) ? ? (Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ? ,得 0 ? ? ? ? ? 2 2 13 13 2 3 3 2 又? cos( ? ? ? ) ? ,? sin(? ? ? ) ? 1 ? cos (? ? ? ) ? 1 ? ( ) ? 14 14 14 ? tan? ?
-4-

由 ? ? ? ? (? ? ? ) 得: cos ? ? cos[? ? (? ? ? )]

? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?
4. (1) {x | 1 ? x ? 3或x ? 5} (2) ( , ) 。

? 1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? ?? ? 3 7 14 7 14 2

5 5 4 3

2 5. (Ⅰ)证明:假设存在一个实数 ? ,使 {an } 是等比数列,则有 a2 ? a1a2 ,即

2 4 4 4 ( ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0 ,矛盾。 3 9 9 9 所以 {an } 不是等比数列。 n ?1 n ?1 2 (Ⅱ)证明:? bn ?1 ? (?1) [a n ?1 ? 3{n ? 1} ? 21] ? (?1) ( a n ? 2n ? 14) 3 2 2 ? ? (?1), (a n ? 3n ? 21) ? ? bn 。 3 3 b 2 * 又 ? ? ?18,? b1 ? ?(? ? 18) ? 0 。由上式知 bn ? 0,? n?1 ? ? (n ? N ) , bn 3 2 故当 ? ? ?18 时,数列 {bn } 是以 ? (? ? 18) 为首项, ? 为公比的等比数列。 3 2 n ?1 (Ⅲ)当 ? ? ?18 时,由(Ⅱ)得 bn ? ?(? ? 18) ? (? ) ,于是 3 3 2 S n ? ? (? ? 18) ? [1 ? (? ) n ] , 5 3 ? ? ? 18 当 时, bn ? 0 ,从而 S n ? 0 。上式仍成立。
要使对任意正整数 n ,都有 S n ? ?12 。 即?

3 2 (? ? 18) ? [1 ? (? ) n ] ? 12 ? ? ? 5 3
2 3
n

20 ? 18 。 2 n 1 ? (? ) 3

令 f (n) ? 1 ? (? ) ,则 当 n 为正奇数时, 1 ? f ( n ) ?

5 5 :当 n 为正偶数时, ? f ( n) ? 1, 3 9

? f (n) 的最大值为 f (1) ?
于是可得 ? ? 20 ?

5 。 3

3 ? 18 ? ?6 。 5 综上所述,存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 S n ? ?12 ; ? 的取值范围为 (??,?6) 。

-5-



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