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2006年杭州市重点中学高三数学(理)模拟试题


2006 年杭州市重点中学高三数学(理)模拟试题
班级:___________学号:________姓名:______________

一、本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知 f(x)是 R 上的增函数,A(0,–1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|<1 的解集是( (A) (3,+?) (B) [2,+?) (C) (–1,2) (D) (2,3)

)

2.O 是?ABC 所在平面内的一点,且满足 (OB ? OC) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则?ABC 的形状一定为( (A)正三角形 (B)直角三角形 (C)有一个角为 60?的锐角三角形 (D)等腰三角形 3.以正方体的顶点为线段的端点,则这 8 个点可构成的异面直线的对数为( (A) 150 (B) 174 (C) 198 (D) 210 4.已知双曲线

)

)

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1、F2,P 为双曲线上一点,且?F1PF2=60?,则|PF1|?|PF2|的值为( 2 a
)

)

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 * 5.在数列{an}中,a1=1,a2=2,an=an–1–an–2(n?N 且 n?3),则 a2005= ( (A) 1 (B)–1 (C) –2 (D) 2 6.椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的长轴为 A1A2,短轴为 B1B2,将坐标平面沿 y 轴折成一个二面角,使点 A1 在平面 B1A2B2 上的射 4

影恰是该椭圆的一个焦点,则此二面角的大小为( ) (A)30? (B)45? (C)60? (D)arctan2 7.一个容量为 20 的样本数据, 分组后, 组距与频数如下: (10,20],2; (20,30],3; (30,40],4; (40,50],5; (50,60],4; (60,70],2. 则样本在(–?,50]上的概率为 ( ) (A)

1 20

(B)

1 4

(C)

1 2

(D)

7 10 ?x 的一个最大值点和一个最小值点,则正整数的最小值是( n
)

8.如果圆 x2+y2=n2 至少覆盖函数 f ( x) ?

3 sin

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 9.已知 an=log(n+1)(n+2) (n?N+),我们将乘积 a1?a2???an 为整数的数 n 叫做“劣数” ,则在区间(1,2006)内的所有劣数之 和记为 M,则 M=( ) (A)1024 (B)2003 (C)2026 (D)2048 10.函数 y=f (x)的图象为 C,而 C 关于直线 x=1 的对称图象为 C1,将 C1 向左平移一个单位后得到 C2,则 C2 所对应的 函数为 ( ) (A) y=f (–x) (B)y=f (1–x) (C)y=f (2–x) (D)y=f (3–x) 二、填空题:本题共 4 小题,共 16 分,把答案填在题中的横线上. 11.已知 S={?|f(x)=cos?(x+?)(??N+)是奇函数},P={x| 1 ? x ?
2

|x| ? 0 },若 S?P=?,则?是 x



12.已知 M 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)上的动点,F1、F2 为椭圆焦点,延长 F2M 至点 B,则?F1MB 的外角的平分线 a2 b2
; a、b、c 的符号分别是

为 MN,过点 F1 作 F1Q?MN,垂足为 Q,当点 M 在椭圆上运动时,则点 Q 的轨迹方程是 13.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 的图象如右图所示,则关于 __________ .
1 2 3 n 14.使得: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? 2006成立的最

大正整数 n 的值为

_________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 84 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(sin x ? cos x) 2 15. (本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? . 2 ? 2 sin 2 x ? cos2 2 x
(Ⅰ)求 f(x)的定义域、值域; (Ⅱ)若 f(x)=2, ?

? 3? ?x? ,求 x 的值. 4 4

16. (本小题满分 14 分)做一个玩掷骰子放球游戏,若掷出 1 点,则在甲盒中放一个球;若掷出 2 点或 3 点,则在乙盒 中放一个球;若掷出 4 点、5 点或 6 点,则在丙盒中放一个球. 设掷 n 次后,甲、乙、丙各盒内的球数分别为 x、y、 z. 若 n=3,求 x、y、z 成等差数列的概率. 17. (本小题满分 14 分)圆锥的轴截面为等腰直角三角形 SAB,Q 为底面圆周上一点. (Ⅰ)如果 BQ 的中点为 C,OH?SC,求证:OH?平面 SBQ; (Ⅱ)如果?AOQ=60?,QB= 2 3 ,求此圆锥的体积;

(Ⅲ)如果二面角 A–SB–Q 的大小为 arctan

6 ,求?AOQ 的大小. 3

18. (本小题满分 14 分)已知函数 f (x)的导数 f? ?(x)满足 0<f?(x)<1,常数 a 为方程 f (x)=x 的实数根. (Ⅰ)若函数 f (x)的定义域为 M,对任意[a,b]?M,存在 x0?[a,b],使等式 f (b)–f (a)=(b–a)f? ?(x0)成立,求证:方程 f (x)=x 存在唯一的实数根 a; (Ⅱ) 求证:当 x>a 时,总有 f (x)<x 成立; (Ⅲ)对任意 x1、x2,若满足|x1–a|<2,|x2–a|<2,求证:|f (x1)–f (x2)|<4. 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 x ?4
2

( x ? ?2) .

(Ⅰ)求 f –1(x);(Ⅱ)若 a1=1,

1 an?1

? ? f ?1 (an ) (n?N+),求 an;
k 成立. 若存在,求出 k 的值; 25

(Ⅲ)设 bn=an+12+an+22+?+a2n+12,是否存在最小的正整数 k,使对于任意 n?N+有 bn< 若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 14 分)椭圆的中心是原点 O,短轴长为 2 3 ,左焦点为 F(–c,0)(c>0),相应的准线 l 与 x 轴交于点 A, 且点 F 分 AO 的比为 3,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若 PF?QF,求直线 PQ 的方程; (Ⅲ)设 AQ ? ? AP (?>1),点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q?,求证: FQ? ? ??FP . 参考答案: 1~10. C D B B A A D B C B 11. 1 12. x2+y2=a2 13. a>0,b>0,c>0 15.解: f ( x) ?

14. 8

1 ? sin 2 x 1 ? 2 1 ? sin 2 x (sin 2 x ? 1)
? ? (k?Z),x? k? ? (k?Z). 2 4

(1)因为 1+sin2x?0 所以 sin2x?–1,2x? 2k? ? 又 0<1+sin2x?2 所以 f ( x) ?

1 . 2

? 1 ,k?Z},值域为.{y|y? } 4 2 1 1 ? 2 , sin 2 x ? ? (2) 因为 f(x)=2 所以 1 ? sin 2 x 2 ? 3? ? 3? ? 7? 因为 ? ? x ? 所以 ? ? 2 x ? 所以 2 x ? ? 或 2 x ? 4 4 2 2 6 6 ? 7? 所以 x ? ? 或x ? 12 12
所以定义域为{x| x? k? ? 16.解:因为 x+y+z=3 且 2y=x+z,x,y,z?N,则有

?x ? 0 ? ( A)? y ? 1 ?z ? 2 ?

?x ? 1 ? ( B)? y ? 1 ?z ? 1 ?

?x ? 2 ? (C )? y ? 1 ?z ? 0 ?

(A)表示掷 3 次,1 次出现 2 点或 3 点,2 次出现 4、5、6 点,此种情况的概率是 P(A)=

C

1 3

1 1 1 1 ( ) 0 ( )1 ( ) 2 ? 6 3 2 4 1 1 1 1 ? ? ? 6 3 2 6 1 1 1 1 ( ) 2 ( )1 ( ) 0 ? 6 3 2 36 4 9

(B)表示掷 3 次,1 次出现 1 点,1 次出现 2 点或 3 点,1 次出现 4、5、6 点,此种情况的概率是 P(B)= 6 ?

(C)表示掷 3 次,2 次出现 1 点,1 次出现 2 点或 3 点,此种情况的概率是 P(C)=

C

1 3

所以,当 n=3 时,x、y、z 成等差数列的概率为 P=P(A)+P(B)+P(C)= 17.解: (1)连结 OC、AQ,因为 O 为 AB 的中点,所以 OC//AQ. 因为 AB 为圆的直径,所以?AQB=90?,OC?BQ. 因为 SO?平面 ABQ,所以 SO?BQ,所以 QB?平面 SOC,OH?BQ. 又 OH?SC,SC?BQ=C, 所以 OH?平面 SBQ. (2)∵?AOQ=60?∴?OBQ=?OQB=30?.

∵BQ= 2 3 ∴AB=4,AQ=2,又 SA?SB,SA=SB= 2 2 ∴SO=OA=BO=2 ∴V=

1 8? ? ? OA 2 ? SO ? . 3 3

(3)作 QM?AB 于点 M,∵平面 SAB?平面 ABQ 且平面 SAB?平面 ABQ=AB ∴QM?平面 SAB 再作 MP?SB 于点 P,连 QP∴QP?SB ∴?MPQ 为二面角 A–SB–Q 的平面角∴?MPQ=arctan

6 . 3

∴MQ:MP= 6 :3. 设 OA=OB=R,?AOQ=?∴MQ=Rsin?,OM=Rcos?,MB=R(1+cos?),?SBA=45?∴MP=BP ∴MP=

2 2 MB= R(1+cos?) 2 2
1 ? cos ? ? 2 ? 3 ∴cot = 3 解得?=60?,?AOQ=60?. R(1+cos?)= 6 :3. ∴ sin ? 2 2

∴Rsin?:

18. 解: ( 1 )设 f(x)=x 有不同于 ? 的实数根 ? ,即 f(?)=? ,不妨设 ?>? ,于是在 ? 与 ? 间必存在 c , ?<c<? ,使得 ?–?=f(?)–f(?)=(?–?)f?(c)∴f?(c)=1,这与已知矛盾,∴方程 f(x)=x 存在唯一实数根?.

(2)令 g(x)=x–f(x)∴g?(x)=1–f?(x)>0 ∴g(x)在定义域上为增函数 又 g(?)=?–f(?)=0∴当 x>?时,g(x)>g(?)=0 ∴当 x>?时,f(x)<x. (3)不妨设 x1<x2,∵0<f?(x)<1∴f(x)在定义域上为增函数 由(2)知 x–f(x) 在定义域上为增函数.∴x1–f(x1)<x2–f(x2) ∴0<f(x2)–f(x1)<x2–x1 即|f(x2)–f(x1)|<|x2–x1| ∵|x2–x1|?|x2–?|+|x1–?|<4 ∴|f(x1)–f(x2)|<4. 19.解: (1)∵ f ( x) ?
2

1 x2 ? 4

( x ? ?2) ∴ f ( x) ? 0 ∴ f ?1 ( x) ? ?
1 a n ?1
2

4x 2 ? 1 ( x ? 0) x

(2)∴

1 a n ?1

?

4a n ? 1 an

(a n ? 0) ∴

?

1 an
2

?4

∴{

1 an
1
2

2

}是以

1 =1 为首项,以 4 为公差的等差数列. 2 a1
1 4n ? 3
2



an

? 4n ? 3 ∴ a n ?
2

(n ? N * ) .
2

(3)∴ bn ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 n ?1 ?

1 1 1 ? ??? 4n ? 1 4n ? 5 8n ? 1

1 1 1 ? ?? ? 4n ? 5 4n ? 9 8n ? 9 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0 ∴ bn ?1 ? bn ? 8n ? 5 8n ? 9 4n ? 1 8n ? 2 8n ? 2 4n ? 1 bn ?1 ?
∴ bn?1 ? bn ∴{bn}是一单调递减数列.

14 (n ? N * ) 45 k 14 k 70 ? 要使 bn ? 则 ∴k ? 又 k?N*∴k?8∴kmin=8 25 45 25 9 k 即存在最小的正整数 k=8,使得 bn ? . 25
∴ bn ? b1 ? 20.解: (1)

x2 y2 ? ?1 4 3

(2)设 PQ:y=k(x+4),P(x1,y1),Q(x2,y2),F(–1,0) ∵PF?QF ∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=0∴(x1+1)(x2+1)+k2 (x1+4)(x2+4)=0 ∴(1+k2)x1x2+(1+4k2)(x1+x2)+(1+16k2)=0 联立 ?

? y ? k ( x ? 4)
2 2 ?3 x ? 4 y ? 12

,消去 y 得(3+4k2)x2+32k2x+64k2–12=0

∴x1x2=

64k 2 ? 12 32k 2 ? , x + x = 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

代入化简得 8k2=1∴k=?

2 . 4 2 2 (x+4)或 y= ? (x+4). 4 4

∴直线 PQ 的方程为 y= (3)如图所示,

| QN | | AQ | ? ?? | PM | | AP |
又|QN|=2|QF|,|PM|=2|PF| ∴

| QF | ?? | PF |

又|FQ?|=|FQ| ∴

| FQ ? | ?? | PF |



| QQ1 | | AQ | ? ?? | PP | | AP | 1 | Q?Q1 | | FQ? | ? ?? | PP | PF | 1 |



又?PP1F=?Q?Q1F=90? ∴P、F、Q 三点共线且点 F 在线段 PQ?上, FQ? 与 FP 反向. ∴ FQ? = ? ? FP .


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