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方程的根与函数的零点


方程的根与函数的零点
一 教学目标
1 知识和技能:理解函数零点的概念;领会函数零点与相应方程根之间的关系;掌握零点存在 的判断条件。 2 过程与方法:在方程的根与函数的零点的关系探究中体会数形结合、函数与方程、化归与转 化的数学思想。 3 情感态度价值观:提高学生的辨证思维能力,培养学生用联系的观点看待事物,感受探索的 乐趣与成就感。

2 上 述 结 论 能 推 广 到 一 般 的 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 及 相 应 的 二 次 函 数

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 吗?
ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)

(下表格以 a

? 0 为例)
函数的图象 (简 图) 图象与 x 轴 交点的横坐标

方 程 的 根

二 重难点
1 教学重点:体会函数的零点与方程的根之间的联系 2 教学难点:函数零点存在的判定条件。

??0

三 教学策略
以学生为主体进行探究,采用“设问—探索—归纳—定论”层层递进的方式来突破重难点; 精心设置问题链,由浅入深,循序渐进,着眼于知识的形成和发展,注重学生的学习体验;同 时采用传统教学与多媒体相结合,相得益彰。

??0

四 教学过程
(一)吐故纳新 1 观察下表,求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次函数图象的简图,并写出函数图 象与 x 轴交点的横坐标. 方 函 程 数

??0
(二)形成概念 1 函数的零点:对于函数 y=f(x) ,我们把使方程 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点。 2 方程的根、函数图象与 x 轴的交点、函数的零点三者之间的关系 方程 f(x)=0 有实数根

x ? 2x ? 3 ? 0
2

x ? 2x ? 1 ? 0
2

x ? 2x ? 3 ? 0
2

y ? x 2 ? 2x ? 3

y ? x 2 ? 2x ? 1

y ? x 2 ? 2x ? 3

函 数 图 象 (简图) 方程的实数根 函数的图象 与 x 轴交点 的横坐标

? 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y=f(x)有零点
(2) f ( x) ? x 2 ? x
(6) f ( x) ? log x
2

3 试试就能行:求出下列函数的零点:

(1) f ( x) ? x ? 1
(5) f ( x) ? 2 x
(三)零点存在的判定 1

(3) f ( x) ? x 3
(7) y ? ln x ? 2 x ? 6

(4) f ( x) ? ( x ? 1) 3

观察二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图象:
2

(1)在区间 [?2,1] 上有零点_____ , f (?2) · f (1) _____0(< 或 >) .

b

(2) 在区间 [2,4] 上有零点______, f ( 2) · f ( 4) ____0(< 或 >) . (3) 若把区间改为[-2,0],[-2,2],[0,5],[4,5],[-2,4]结果如何? 2 试试就能行 用连续不断的曲线连接如图 A、B 两点,观察所画曲线与 x 轴的相交情况: .A

方法二:画出函数的图象(利用几何画板),直观感知函数在定义域内为单调递增函数,确定 零点的唯一性。 方法三:作出函数 y=lnx 与 y=6-2x 的图象,观察两函数图象交点的横坐标所在的范围及交点的 个数。 (四)勇攀高峰 1.函数 f ( x) ? x 2 ? 16 的零点为___ _ _

x
. B 零点存在判定 如果函数 y =f(x)在区间[a ,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a) ·f(b)< 0, 那么函数 y =f(x)在区间(a ,b)内有零点,即存在 c ∈(a ,b) ,使得 f(c)= 0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根。 3 深化结论 探求 1 :如果函数 y = f(x)在区间[ a ,b]上的图象不是连续不断的曲线,上述结论成立吗? 探求 2 :如果函数 y = f(x)在区间[ a , b ]上的图象是连续不断的曲线,并且有 f(a) · f(b)> 0 时,函数在区间(a ,b)内一定没有零点吗? 探求 3 :如果函数 y=f(x)在区间[ a ,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且函数在区间 (a ,b)内有零点时,是否一定有 f(a) ·f(b)< 0 ? 探求 4 :如果函数 y=f(x)在区间[ a ,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有 f(a) ·

2.已知 f ( x) ? x 2 ? ax 有一个零点为 1,则 a 的值是___

3.已知某函数 f ( x) 的图象如右图所示,则函数 f ( x) 的零点
所在的区间大致是( A.(0,0.5) ) C.(1,1.5) D.(1.5,2)

B.(0.5,1)

4.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表: x f(x) 1 23 2 9 3 –7 4 11 5 –5 6 –12 7 –26 D.2 个

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( )个 A.5 个 B.4 个 C.3 个 (五)尽情分享 畅所欲言本节课的收获、感想。 (六)课后作业 A 阅读教材 86-88 页,并完成习题 1,2; B f ( x) ? x ? a,

a

f(b)< 0 时,函数在区间(a ,b)内有零点,但是否只有一个零点? 4 一览众山小 例 判断函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点。 解:方法一:用计算机或计算器作出 x、 f(x)对应值表,从列表可看出,f(2)< 0 , f(3)> 0 , 即 f(2)·f(3)<0,所以函数在(2,3)内有零点,由于单调递增,所以零点唯一。 x f(x) ? ? 1 -4 2 -1.3069 3 1.0986 4 3.3863 ? ?

a 取何值时,能满足下列条件:①没有零点;

②1 个零点; ③2 个零点.

C 函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在(2,3)内有零点,在(2.5 ,3), (2.5 ,2.75)内呢,你 有什么发现吗? (七)教学反思 新课程教学理念, “数学教学是数学活动的教学;在这个活动中,使学生掌握一定的数学 知识和技能, 同时身心获得一定的发展, 形成良好的思想品质。 ” 根据本节课的教学内容和学情, 以学生为主体、教师为主导、探究为主线、思维为主攻,激趣设疑,精讲精练,使学生亲身经 历知识的建构过程,利于学生能力的形成与发展。



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