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新课程高中数学测试题组(必修2)全套含答案


(数学 2 必修)第一章 空间几何体 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 )

主视图

左视图


俯视图

2.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A.

3

B.

2 3

C.

3 3

D.

4 3

3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4, 5 ,且它的 8 个顶点都在 同一球面上,则这个球的表面积是( A. 25? B. 50? C. 125? ) D.都不对 )

4.正方体的内切球和外接球的半径之比为(

A.

3 :1

B.

3:2

C. 2 :

3

D.

3 :3

5.在△ABC 中,

AB ? 2, BC ? 1.5, ?ABC ? 1200 ,若使绕直线 BC 旋转一周,


则所形成的几何体的体积是(

A.

9 ? 2

B.

7 ? 2

C.

5 ? 2

D.

3 ? 2

6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为 5 ,它的对角线的长 分别是 9 和 15 ,则这个棱柱的侧面积是( A. 130 二、填空题 1 B. 140 C. 150 ) D. 160

1.一个棱柱至少有

_____个面,面数最少的一个棱锥有 ________条侧棱。

________个顶点,

顶点最少的一个棱台有

2.若三个球的表面积之比是 1: 2 : 3 ,则它们的体积之比是_____________。 3.正方体

ABCD ? A1B1C1D1

中, O 是上底面

ABCD 中心,若正方体的棱长为 a ,

则三棱锥 O ? AB1D1 的体积为_____________。 4 .如图, E , F 分别为正方体的面

ADD1 A1 、面 BCC1 B1 的中心,则四边形

BFD1 E 在该正方体的面上的射影可能是____________。
5. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是

2 、 3 、 6 ,这个



方体的对角线长是 ___________ ;若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3,5,15 ,则它的体积为 ___________. 三、解答题 1.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已建的仓库的底面直径为

12 M
(1) (2) (3)

,高 4 M ,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; 哪个方案更经济些?

仓库的底面直径比原来大 4 M (高不变) ;二是高度增加 4 M (底面直径不变)。

2.将圆心角为 120 ,面积为 3? 的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积
0

2

(数学 2 必修)第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.下列四个结论: ⑴两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行。 ⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。 其中正确的个数为( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 3 ) B.有两个角是直角的四边形 D.有四个角是直角的四边形 ) D.以上都有可能 C.异面

2.下面列举的图形一定是平面图形的是( A.有一个角是直角的四边形 C.有三个角是直角的四边形 A.平行 B.相交

3.垂直于同一条直线的两条直线一定(

4.如右图所示,正三棱锥 V

? ABC (顶点在底面的射影是底面正三

V

角形的中心) 中,D, E, F 分别是

VC,VA, AC 的中点,P 为 VB 上


任意一点,则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是( A. 30
0

E F A P B

D

B.

90 0

C.

60 0

D.随 P 点的变化而变化。 )个部分

C

5.互不重合的三个平面最多可以把空间分成( A. 4 B. 5 C. 7 D. 8

6.把正方形 和平面

ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A, B, C , D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD
) D. 30

ABC 所成的角的大小为( A. 90 B. 60 C. 45
二、填空题

1. 已知 a , b 是两条异面直线, c // a ,那么 c 与 b 的位置关系____________________。 2. 直线 l 与平面 ? 所成角为 30 , l
0

? ? A, m ? ? , A ? m ,
3

则 m 与 l 所成角的取值范围是

_________

3.棱长为 1 的正四面体内有一点 P ,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为

d1 , d2 , d3 , d4 ,则 d1 ? d2 ? d3 ? d4 的值为
4.直二面角 ? - l - ? 的棱 l 上有一点

。 内各有一条射线

A ,在平面 ? , ?

AB ,

AC 与 l 成 450 , AB ? ? , AC ? ? ,则 ?BAC ?
5.下列命题中: (1) 、平行于同一直线的两个平面平行; (2) 、平行于同一平面的两个平面平行; (3) 、垂直于同一直线的两直线平行; (4) 、垂直于同一平面的两直线平行. 其中正确的个数有_____________。 三、解答题 1.已知 E , F , G, H 为空间四边形



ABCD 的边 AB, BC, CD, DA 上的点,
E B F

A H D G C

且 EH

// FG .求证: EH // BD .

2.自二面角内一点分别向两个半平面引垂线,求证:它们所成的角与二两角的平面角互补。

4

(数学

2 必修)第三章

直线与方程

[基础训练 A 组]
一、选择题 1.设直线 ax ? by ? c 则 a , b 满足( A. C.

? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 ,
B. a ? b D. a



a ?b ?1 a?b ? 0

?1

?b ? 0

2.过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? A. 2 x ?

0

的直线方程为(



y ?1 ? 0 0


B. 2 x ?

y ?5 ? 0 ?0

C. x ? 2 y ? 5 ? 3.已知过点 A. 0

D. x ? 2 y ? 7

A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,
B. ? 8 C. 2 D. 10

则 m 的值为(

4.已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by A.第一、二、三象限 C.第一、三、四象限 5.直线 x A. 45
0

? c 通过(



B.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 )

? 1 的倾斜角和斜率分别是(
B. 135
0

,1

, ?1

C. 90 ,不存在 6.若方程 (2m A. m C. m
2

0

D. 180 ,不存在 )

0

? m ? 3) x ? (m 2 ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足(
B. m D. m

?0

??

3 2 3 ,m ? 0 2

?1

? 1, m ? ?

二、填空题 1.点 P(1, ?1) 到直线 x ? 2.已知直线 l1

y ? 1 ? 0 的距离是________________.

: y ? 2 x ? 3, 若 l 2 与 l1 关于 y 轴对称,则 l 2 的方程为__________;
5

若 l 3 与 l1 关于 x 轴对称,则 l 3 的方程为_________; 若 l 4 与 l1 关于

y ? x 对称,则 l 4 的方程为___________;

3. 若原点在直线 l 上的射影为 (2,?1) ,则 l 的方程为____________________。 4.点 P( x, y) 在直线 x ? 5.直线 l 过原点且平分

y ? 4 ? 0 上,则 x 2 ? y 2 的最小值是________________.

ABCD 的面积,若平行四边形的两个顶点为

B(1, 4), D(5, 0) ,则直线 l 的方程为________________。
三、解答题 1.已知直线

Ax ? By ? C ? 0 ,

(1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线; (2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交; (3)系数满足什么条件时只与 x 轴相交; (4)系数满足什么条件时是 x 轴; (5)设

P? x0 ,y0 ? 为直线 Ax ? By ? C ? 0 上一点,

证明:这条直线的方程可以写成

A? x ? x0 ? ? B? y ? y0 ? ? 0 .

2.求经过直线 l1 的直线方程。

: 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0

3.经过点

A(1, 2) 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?

请求出这些直线的方程。

4. 过点

A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5

6

(数学 2 必修)第四章 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.圆 ( x ? 2)
2

圆与方程

? y 2 ? 5 关于原点 P(0, 0) 对称的圆的方程为
2

(

)

A. ( x ? 2)

? y2 ? 5
2

B. x

2

? ( y ? 2)2 ? 5 ? ( y ? 2)2 ? 5


C. ( x ? 2) 2.若 P(2, A. C.

? ( y ? 2)2 ? 5

D. x

2

? 1) 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(
B. D.

x? y ?3 ? 0 x ? y ?1 ? 0
2

2x ? y ? 3 ? 0 2x ? y ? 5 ? 0


3.圆 x

? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是(
B. 1 ?

A. 2

2

C. 1 ?

2 2

D. 1 ? 2

2

4.将直线 2 x ?

y ? ? ? 0 ,沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 相切,
) C. 0或10 D. 1或11 ) B. ?2或8

则实数 ? 的值为( A. ?3或7

5.在坐标平面内,与点 A. 1 条 6.圆 x A. x ?
2

A(1, 2) 距离为 1 ,且与点 B(3,1) 距离为 2 的直线共有(
C. 3 条 D. 4 条 )

B. 2 条

? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为(

3y ? 2 ? 0

B. x ?

3y ? 4 ? 0

C. x ?

3y ? 4 ? 0

D.x ?

3y ? 2 ? 0

二、填空题 1 .若经过点 P(?1, 0) 的直线与圆 x __________________. 2.由动点 P 向圆 x 2
0 ? y 2 ? 1引两条切线 PA, PB ,切点分别为 A, B, ?APB ? 60 ,则动点 P 的

2

? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 相切,则此直线在 y

轴上的截距是

7

轨迹方程为 3.圆心在直线 为 4.已知圆 则



2 x ? y ? 7 ? 0 上 的 圆 C 与 y 轴 交 于 两 点 A(0, ?4), B(0, ?2) , 则 圆 C 的 方 程
.

?x ? 3?2 ? y 2 ? 4 和过原点的直线 y ? kx 的交点为 P, Q

OP ? OQ 的值为________________。
2

5.已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PA, PB 是圆 x

? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线,

A, B 是切点, C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是________________。
三、解答题 1.点 P

? a, b? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,求

a 2 ? b 2 ? 2a ? 2b ? 2 的最小值。

2.求以

A(?1, 2), B(5, ?6) 为直径两端点的圆的方程。

3.求过点

A ?1, 2? 和 B ?1,10? 且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的圆的方程。

4.已知圆 C 和

y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7

,求圆

C 的方程。

8

数学 2(必修)第一章 一、选择题 1. A

空间几何体

[基础训练 A 组]

从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断是棱台 因为四个面是全等的正三角形,则 S表面积 长方体的对角线是球的直径,

2.A 3.B

? 4S底面积 ? 4 ?

3 ? 3 4

l ? 32 ? 42 ? 52 ? 5 2, 2 R ? 5 2, R ?
4.D

5 2 , S ? 4? R 2 ? 50? 2

正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是 a

a 3a a ? 2r内切球,r内切球 ? , 3a ? 2r外接球,r外接球 ? , r :r ? 1:3 2 2 内切球 外接球
5.D 6.D

1 3 V ? V大圆锥 ? V小圆锥 ? ? r 2 (1 ? 1.5 ? 1) ? ? 3 2
设底面边长是 a ,底面的两条对角线分别为 l1 , l2 ,而 l1 而 l1
2

2

2 ? 152 ? 52 , l2 ? 92 ? 52 ,

2 ? l2 ? 4a2 , 即 152 ? 52 ? 92 ? 52 ? 4a2 , a ? 8, S侧面积 ? ch ? 4 ? 8 ? 5 ? 160

二、填空题 1. 5, 4, 3 2. 1: 2 3. 符合条件的几何体分别是:三棱柱,三棱锥,三棱台
3 3 r1 : r2 : r3? 1 : 2 : 3 r, 1 r : 2 3 r : ? 3 3

2 :3 3

1 : (3 2 ) : 3 ? ( 3)

1: 2 2 : 3 3

1 3 a 6

画出正方体,平面

AB1D1 与对角线 AC 1 的交点是对角线的三等分点,
3 1 1 3 3 1 3 a,V ? Sh ? ? ? 2a 2 ? ? a 3 3 3 4 3 6

三棱锥 O ? AB1D1 的高 h ?

或:三棱锥 O ? AB1D1 也可以看成三棱锥

A ? OB1D1 ,显然它的高为 AO ,等腰三角形

OB1D1 为底面。
4. 5. 平行四边形或线段

6

设 ab ?

2, bc ? 3, ac ? 6, 则 abc ? 6, c ? 3, a ? 2, c ? 1

9

l ? 3 ? 2 ?1 ? 6
15
三、解答题 1.解: (1)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 M ,则仓库的体积 设 a b? 3 ,

b c? 5 , a c ? 1则 5 (a b c)2 ? 2 2 5V , ? a b? c 15

1 1 256 ? 16 ? V1 ? Sh ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? (M 3 ) 3 3 2 3 ? ?
如果按方案二,仓库的高变成 8M ,则仓库的体积

2

1 1 288 ? 12 ? V2 ? Sh ? ? ? ? ? ? ? 8 ? ? (M 3 ) 3 3 3 ?2?
(2)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 M ,半径为 8M . 棱锥的母线长为 l 则仓库的表面积 S1

2

? 82 ? 42 ? 4 5 ? ? ? 8? 4 5 ? 32 5? (M 2 )

如果按方案二,仓库的高变成 8M . 棱锥的母线长为 l

? 82 ? 62 ? 10

则仓库的表面积

S2 ? ? ? 6 ?10 ? 60? (M 2 )
(3)

V2 ? V1



S2 ? S1 ?方案二比方案一更加经济

2. 解:设扇形的半径和圆锥的母线都为 l ,圆锥的半径为 r ,则

120 2 2? ? l ? 3? , l ? 3 ; ? 3 ? 2? r , r ? 1 ; 360 3

S表面积 ? S侧面 ? S底面 ? ? rl ? ? r 2 ? 4? ,
1 1 2 2 V ? Sh ? ? ? ?12 ? 2 2 ? ? 3 3 3
第二章 一、选择题 1. A ⑴两条直线都和同一个平面平行,这两条直线三种位置关系都有可能 ⑵两条直线没有公共点,则这两条直线平行或异面 10 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练 A 组]

⑶两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线三种位置关系都有可能 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线也可在这个平面内 2. D 对于前三个,可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折;对角为直角 的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折;在翻折的过程中,某个瞬间出现了有三个直角的空 间四边形 3.D 4.B 5.D 6.C 垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系 连接 VF , BF ,则 八卦图

AC 垂直于平面 VBF ,即 AC ? PF ,而 DE // AC ,? DE ? PF

可以想象为两个平面垂直相交,第三个平面与它们的交线再垂直相交

当三棱锥 D ?

ABC 体积最大时,平面 DAC ? ABC ,取 AC 的中点 O ,
0

则△ DBO 是等要直角三角形,即 ?DBO ? 45 二、填空题 1.异面或相交 2. ? ?30
0

就是不可能平行 直线 l 与平面 ? 所成的 30 的角为 m 与 l 所成角的最小值,当 m 在 ? 内适当旋转就
0

,900 ? ?

可以得到 l

? m ,即 m 与 l 所成角的的最大值为 90 0

3.

6 3
0

作等积变换:

1 3 1 3 6 ? ?(d1 ?d2 ?d3 ?d4 ) ? ? ? h ,而 h ? 3 4 3 4 3
AB ,则 AC 有两种可能

4. 60 或 120 5. 2

0

不妨固定

对于(1) 、平行于同一直线的两个平面平行,反例为:把一支笔放在打开的课本之间; (2)是对的; (3)是错的; (4)是对的

三、解答题

EH ? BCD ? ? 1.证明: FG ? BCD ? ? EH // BCD , BD ? BCD ? EH // BD EH // FG ? ?
2.略

? f ( x) min ? 12 ? 32 ? 10
第四章 圆和方程 一、选择题 1.A [基础训练 A 组]

( x, y ) 关于原点 P(0, 0) 得 (? x, ? y) ,则得 (? x ? 2)2 ? (? y)2 ? 5
11

2.A 3.B

设圆心为 C (1, 0) ,则 圆心为 C(1,1), r

AB ? CP, kCP ? ?1, k AB ? 1, y ? 1 ? x ? 2

? 1, dmax ? 2 ?1

4.A 直线 2 x ?

y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位得 2 x ? y ? ? ? 2 ? 0

圆x 5.B 6.D

2

? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心为 C (?1, 2), r ? 5, d ?

?2 ? ? 5

? 5, ? ? ?3, 或? ? 7

两圆相交,外公切线有两条
2 (x ? 2) ? y2 ? 4 的在点 P(1, 3) 处的切线方程为 (1 ? 2)( x ? 2) ? 3 y ? 4

二、填空题 1. 1 2. x 3.
2

点 P(? 1, 0在圆 ) x

2

? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 上,即切线为 x ? y ? 1 ? 0

? y2 ? 4

OP ? 2
圆心既在线段

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5

AB 的垂直平分线即 y ? ?3 ,又在

? 3, )r? 5 上,即圆心为 ( 2 , 2 x ? y ? 7? 0
4. 5 设切线为 OT ,则

O P ? O Q ? O T ?5

2

5.

2 2

当 CP 垂直于已知直线时,四边形 P A C B 的面积最小

三、解答题 1.解:

(a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2
而d

的最小值为点 (1,1) 到直线 x ?

y ? 1 ? 0 的距离

?

3 2 3 3 2 2 2 , ( a ? b ? 2a ? 2b ? 2) min ? 。 ? 2 2 2
0

2.解: ( x ? 1)( x ? 5) ? ( y ? 2)( y ? 6) ? 得x
2

? y 2 ? 4x ? 4 y ?17 ? 0
AB 的垂直平分线 y ? 6 上,设圆心为 ( a, 6) ,半径为 r ,则

3.解:圆心显然在线段

12

( x ? a)2 ? ( y ? 6)2 ? r 2 ,得 (1 ? a)2 ? (10 ? 6)2 ? r 2 ,而 r ?
(a ? 13) 2 , a ? 3, r ? 2 5, 5

a ? 13 5

(a ? 1) 2 ? 16 ?

?( x ? 3)2 ? ( y ? 6)2 ? 20 。
4.解:设圆心为 (3t , t ), 半径为 r

? 3t

,令 d

?

3t ? t 2

?

2t

而(

7)2 ? r 2 ? d 2 ,9t 2 ? 2t 2 ? 7, t ? ?1

?( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 9 ,或 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9

13



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