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高二数学(理)导数的应用人教实验版(B)知识精讲.doc


高二数学(理)导数的应用人教实验版(B)
【本讲教育信息】
一. 教学内容: 导数的应用 二. 教学目的 1、掌握利用导数判断函数的单调性及利用导数研究函数极值的方法; 2、掌握导数的实际应用. 三. 教学重点、难点 1、利用导数判断函数的单调性及利用导数研究函数极值的方法; 2、导数的实际应用. 四. 知识分析 (一)函数的单调性 1、设函数 y=f(x)在区间(a,b)可导, (1)若对于任意 x∈(a,b) ,均有 f'(x)>0,则 f(x)是增函数. (2)若对于任意 x∈(a,b) ,均有 f'(x)<0,则 f(x)是减函数. (3)若对于任意 x∈(a,b) ,均有 f'(x)=0,则 f(x)为常函数. 2、求可导函数单调区间的一般步骤和方法. (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f'(x) ,令f'(x)=0,解此方程,求出它在定义域内的一切实根. (3)把函数f(x)在间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小 到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间. (4)确定f'(x)在各小开区间的符号,根据f'(x)的符号判定函数f(x)在每个相 应小开区间内的增减性. (二)函数的极值 1、极值的定义 若对于 x 0 附近所有的点,都有 f (x) ? f (x 0 ) ,则称 f (x 0 ) 是函数 y=f(x)的一个极大 值,记作 y极大值

? f (x0 ) ;若对于 x 0 附近所有的点,都有 f (x) ? f (x 0 ) ,则称 f (x0 ) 是函

数 y=f(x)的一个极小值,记作 y极小值 ? f (x 0 ) ;极大值与极小值统称为极值,使函数取 得极值的点称为极值点. 2、函数有极值的必要条件 设函数 y=f (x) 在 xo 处有导数, 且 y极大值

? f (x0 ) , [或 y极小值 ? f (x 0 ) ] , 则 f' (x)

=0. 3 2 注意:导数为 0 的点不一定是极值点.如:f(x)=x 的导数 f'(x)=3x 在 x=0 时为 0,但显然它不是极值点. 3、判别极值的方法 (1)若在 x 0 左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,则 y 极大值 ? f (x 0 ) . (2)若在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) ? 0 ,右侧 f ' ( x ) ? 0 ,则 y 极小值 ? f (x 0 ) . (3)若在点 x 0 附近的左侧和右侧均有 f ' ( x ) ? 0 . (或 f ' ( x ) ? 0 ) ,则 f(x)在 x 0 处无极

值. (三)函数的最值 1、要准确、深刻地理解函数最值的概念,揭示函数最值与极值的区别与联系. (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个 定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一 的极值,则此极值必是函数的最值. (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值则可能不止 一个,也可能没有极值. (4)如果函数在闭区间[a,b]上可导,则确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数 为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么要根据实际意 义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较. 2、一般地,求函数 f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值. (2)将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a) ,f(b)比较,其中最大的一 个是最大值,最小的一个是最小值.

【典型例题】
例 1. 确定下列函数的单调区间. (1) y ? x ? x 3 ; (2) y ? x 3 ? 9x 2 ? 24x ; (3) y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) . 解析: (1) y' ? 1 ? 3x 2 ? ?3( x ? 由 y' ? 0得 ?

3 3 )( x ? ) 3 3

3 3 ?x? , 3 3 3 3 或x ? 由 y' ? 0得x ? ? , 3 3 3 3 , ) ∴增区间为( ? ; 3 3 3 3 ( ? ?, ? ),( , ? ?) 减区间为 . 3 3 (2) y' ? 3x 2 ? 18x ? 24 ? 3(x ? 2)( x ? 4) 由 y' ? 0得x ? 2或x ? 4 , 由 y' ? 0得2 ? x ? 4 .

( ? ?, 2),(4, ? ?) ∴增区间是 ; 减区间是(2,4) .
(3) y' ? 2ax ? b ? 2a (x ?

b ) 2a

b , 2a b 当 y' ? 0时,x ? ? , 2a
当 y' ? 0时,x ? ?

∴增区间是( ?

点评:一般情况下,解此类问题,只需由 f ' (x) ? (或 即可得出结论,但要注 0 f ' (x) ? 0) 意函数的定义域. 例 2. 求函数 y ? x 3 ? 2x 2 ? x ? 3,x ?[ , 1] 的值域. 解析: y' ? 3x 2 ? 4x ? 1 , 由 y' ? 0 得 x 1 ? ,x 2 ? 1 , ∴对任意 x ?[ , 1]都有y' ? 0 , ∴函数 y ? x 3 ? 2x 2 ? x ? 3在[ , 1] 上单调递减.

b b ;减区间是( ? ?, ) . , ??) ? 2a 2a

2 3

1 3

2 3

2 3

2 ,y 最小 ? 3 . 27 2 ∴所求函数值域为[3, 3 ]. 27
∴ y 最大 ? 3 点评:本题实际上是利用求导判断函数单调性,再利用函数单调性求值域. 例 3. 已知 x>0,证明不等式: x ? ln(1 ? x ) . ? ?) 解析:设函数 f ( x ) ? x ? ln(1 ? x ),x ?[0,

f ' ( x) ? 1 ?

当 x? (0, ? ?)时,有f ' (x) ? 0 恒成立. ∴f(x)在(0, ? ? )为增函数. 又 f(x)在 x=0 连续. ∴f(x)在[0, ? ?) 为增函数. ∴当 x>0 时,有 f ( x ) ? f (0) ? 0 ? ln(1 ? 0) ? 0 , 即有 x ? ln(1 ? x ) ? 0 , ∴ x ? ln(1 ? x ) . 点评:本题的精彩之处在于巧妙构造函数,利用函数单调性证明不等关系. 例 4. 求下列函数的极值: (1) f (x) ? x 4 ? 2x 2 ? 1 (2) f (x) ?| x 2 ? x ? 6 | 解析: (1) f ' (x) ? 4x 3 ? 4x ? 4x(x ? 1)( x ? 1) 由 f ' (x) ? 0,得x ? 0,x ? ?1 , 列表如下:

1 x . ? 1? x 1? x

∴当 x ? ?1时,y 极小 ? ?2 ; 当 x=0 时, y 极大 ? ?1 .
2 ? ? 2) ? (3, ? ?) ?x ? x ? 6 x ? (??, (2) f ( x ) ? ? 2 ? 3] ?? x ? x ? 6 x ?[?2, ? 2) ? (3, ? ?) ?2x ? 1 x ? (??, ∴ f ' (x) ? ? ,且 f(x)在 x=-2 和 x=3 处均不可导. 3) ?? 2x ? 1 x ? (?2,

再由 f(x)=0,得 x ? 列表如下:

1 2

∴当 x=-2 或 3 时, y 极小 ? 0 ; 当x ?

1 25 时, y 极大 ? . 2 4

点评:求函数的极值一般根据分析中的结论进行求解,但要注意象例题中的(2)题所 出现的 x=-2,3 处,并无 f ' (?2) ? 0及f ' (3) ? 0 成立. 例 5. 求函数 y ? 2x ?

8 的极值,并结合单调性、极值作出该函数的图象. x 解析:函数的定义域为 x ? R且x ? 0 8 y' ? 2 ? 2 ,令y' ? 0,得x ? ?2 . x 当 x 变化时, y ' 、y 的变化情况如下表:

因此当 x=-2 时, y 极大值 ? ?8 ,当 x=2 时,由表易知 y ? 2x ?

y极小值 ? 8 .

8 的草图应为下图, x

点评: (1)列表时应将定义域内的间断点(如 x=0)考虑进去; (2)极大值不一定比极小值大,这是因为极值是相对某一领域讨论的; (3)借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极值、周期等)研究函数图象是重要手段. 例 6. 已知 f (x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx (a ? 0) ,在 x ? ?1时取得极值,且 f (1) ? ?1 . (1)求 a,b,c 的值; (2)判断 x ? ?1是函数的极大值还是极小值. 解析: (1) f ' (x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c

?f ' (1) ? 0 ? ∴有 ?f ' (?1) ? 0 ?f (1) ? ?1 ? ?3a ? 2b ? c ? 0 ? 得 ?3a ? 2b ? c ? 0 ?a ? b ? c ? ?1 ?
解得: a ? ,b ? 0,c ? ? (2) f (x) ?

1 2

3 . 2

1 3 3 x ? x 2 2 3 2 3 3 2 f ' (x) ? x ? ? (x ? 1) 2 2 2 当 x 在-1 左侧时, f ' ( x ) ? 0 ;右侧时, f ' ( x ) ? 0 ,故 f(x)在 x=-1 处取极大值; 当 x 在 1 左侧时 f ' ( x ) ? 0 ;右侧时, f ' ( x ) ? 0 ,故 f(x)在 x=1 处取极小值.
点评:此题为极值问题,我们根据导数在极值中的应用去探索,不难得出结论. 例 7. 已知 f (x) ? 2ax ? (1)求 a、b 的值; (2)若对 x ?[ , 4] 时,f(x)>c 恒成立,求实数 c 的取值范围.

b 1 ? ln x .在 x=-1 与 x ? 处都取得极值. x 2

1 4

b 1 ? ?0 2 x x 1 ∵f(x)在 x=-1 与 x ? 处取得极值, 2 ?2a ? b ? 1 ? 0 ?a ? 1 ∴? 解得 ? ? b ? ?1 ?2a ? 4b ? 2 ? 0
解析: (1) f ' ( x ) ? 2a ?

∴ f (x) ? 2x ? (2)

1 ? ln x x

1 1 4 2 1 1 ∴y 在 x ? ( , ) 上为减函数; 4 2 1 当 x ?( , 4) 时, y' ? 0 , 2 1 ∴y 在 x ? ( , 4) 上为增函数. 2 1 1 因此 y 最小 ? f ( ) ? 3 ? ln 2 2 1 即 3 ? ln ? c 恒成立, 2
由于当 x ? ( , )时,y' ? 0 , ∴ c ? 3 ? ln 2 例 8. 用长 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器的底面的一边比另一 边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积? 解析:设容器底面短边长为 x m,则另一边长为(x+0.5)m,高为

1 [14.8 ? 4x ? 4(x ? 0.5)] ? 3.2 ? 2x , 4 由 3.2 ? 2x ? 0及x ? 0得0 ? x ? 1.6 ,
设容器的容积为 y m 3 , 则有 y ? x ? (x ? 0.5) ? (3.2 ? 2x )(0 ? x ? 1.6) 整理得:

y ? ?2x 3 ? 2.2x 2 ? 1.6x ,
所以 y' ? ?6x 2 ? 4.4x ? 1.6 ? 0 , 即 15x 2 ? 11x ? 4 ? 0 , 解得 x1 ? 1 ,x 2 ? ?

从而,在定义域(0,1.6)内只有在 x=1 处使 y' ? 0 ,由题意,若 x 过小(接近 0)或 过大(接近 1.6)时,y 值很小(接近 0) , 因此,当 x=1 时,y 取得最大值, y max ? ?2 ? 2.2 ? 1.6 ? 1.8 这时,高为 3.2 ? 2 ? 1 ? 1.2 . 答:容器高为 1.2m 时容积最大,最大容积为 1.8m 3 . 例 9. 如图,铁路线上 AB 段长 100 km,工厂 C 到铁路的距离 CA 为 20 km,现在要在 AB 上某一点 D 处,向 C 修一条公路,已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为 3∶5,

4 (不合题意舍去) , 15

为了使原料从供应站 B 到工厂 C 的运费最省,D 点应在何处?

解析:设 D 点取在距 A 为 x km 处. 则 BD ? 100 ? x (km) , ( 0 ? x ? 100 ) 又 AC=20(km) , 所以 CD ? AC2 ? AD2 ? 400 ? x 2 (km) 由题意,设铁路上每吨千米运费为 3k,则公路上每吨 km 的运费为 5k(k 为大于 0 的常 数) ,于是由 B 到 C 的运费为

y ? 3k(100 ? x) ? 5k 400 ? x 2 , 5x y' ? k (?3 ? ) 400 ? x 2 令 y' ? 0 ,得 x=15.
则唯一的解 x=15 就是函数的最小值点. 即 D 点应选在距 A 点 15 km 处. 点评:解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情境”译为数 学语言,找出问题的主要关系,抽象成数学问题.然后应用可导函数求极值的方法求出最大 (小)值.

【模拟试题】
1. 已知函数 f(x)=xlnx,则 A. 在(0,+ ? )上递增 B. 在(0,+ ? )上递减 1 1 C. 在(0, )上递增 D. 在(0, )上递减 e e 3 2 2. 函数 f (x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a= A. 2 3. 函数 y ? 6x ? x ? 5
2

B. 3

C. 4

D. 5

A. 在 x ?

1 119 处取得极大值 12 24
3 2 2

B. 在 x ?

1 119 处取得极小值 12 24

C. 不存在极值 A. B. C. D.

D. 以上都不对

4. 函数 f (x) ? x ? ax ? bx ? a 在x ? 1时有极值 10,则 a,b 的值为

a ? 3,b ? ?3或a ? ?4,b ? 11 a ? ?4,b ? 1或a ? ?4,b ? 11
a ? ?1,b ? 5

以上都不对

5. 已知函数 f (x) ? x 3 ? px 2 ? qx 的图象与 x 轴相切于(1,0)点,则 f(x)的极值为 A. 极大值为

4 ,极小值为 0 27

B. 极大值为 0,极小值为 ?

4 27

5 5 ,极大值为 0 D. 极小值为 0,极大值为 27 27 2 6. (2004 湖南卷)若函数 f (x) ? x ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ' ( x ) 的
C. 极小值为 ? 图象是

7. 函数 f (x) ? x 3 ? 3x 2 ? 5 的单调递增区间是_____________. 8. 函数 f (x) ? x 5 ? 5x 4 ? 5x 3 ? 1 在[-1,2]上的值域为_____________.

?x 2 ? 1, ( x ? 2) ? 9. 已知 f ( x ) ? ? 1 则 f ' ( x ) =_____________. ( x ? 2) ? x ? 4, ?2
10. 设 f (x) ? a ln x ? bx 2 ? x在x1 ? 1 试写出 a, b 的值, 在 x 1,x 2 ,x 2 ? 2 处都取得极值, 处取得的是极大值还是极小值?

1 5 4 2 3 12. (2004 天津卷)已知函数 f (x) ? ax ? bx 2 ? 3x在x ? ?1 处取得极值.
11. 求函数 f (x) ?| 2x 3 ? 9x 2 ? 12x | 在区间 [? , ] 上的最大值与最小值. (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程.

试题答案
1~6 DDBAAA 7. (- ? ,0)和(2,+ ? ) 8. [-10,2] ? 2 x, x ? 2 ? 9. f ' ( x ) ? ? 1 ,x ? 2 ? ?2 10. f (x) ? a ln x ? bx 2 ? x的定义域是( 0, ? ?)

a ? 2bx ? 1 x ?f ' (1) ? a ? 2b ? 1 ? 0 ? ∴? a f ' ( 2) ? ? 4 b ? 1 ? 0 ? 2 ? 2 ? a?? ? ? 3 ∴? ?b ? ? 1 ? 6 ? 2 1 ∴ f (x) ? ? ln x ? x 2 ? x 3 6 ?2 1 1 2 f ' ( x) ? ? x ? 1 ? 1 ? ( ? x) 3x 3 3 x 令 f ' ( x ) ? 0 ,得 x=1 或 x=2 1 2 f ' ( x ) 在 x=1 左侧附近 f ' (x) ? 1 ? ( ? 1) ? 0 3 1 1 2 右侧附近 f ' (x) ? 1 ? ( ? 1) ? 0 3 1
∵ f ' (x) ? ∴f(x)在 x=1 处取极小值. 同理 f(x)在 x=2 处取极大值. 11. ∵ f (x) ?| 2x 3 ? 9x 2 ? 12x |

1 ? ? 2x 3 ? 9x 2 ? 12x (? ? x ? 0) ? ? 4 ?? ?2x 3 ? 9x 2 ? 12x (0 ? x ? 5 ) ? 2 ? 1 ? ? 6x 2 ? 18x ? 12(? ? x ? 0) ? ? 4 ∴ f ' (x) ? ? ?6x 2 ? 18x ? 12(0 ? x ? 5 ) ? 2 ? ,x 2 ? 2 令 f ' (x) ? 0得x 1 ? 1

5 115 ,f( ) ?5. 2 32 5 通过比较可知:f(x)在 x=0 处取得最小值 0;在 x=1 和 x ? 处都取得最大值 5. 2 12. (1) f ' (x) ? 3ax 2 ? 2bx ? 3 ,依题意 f ' (1) ? f ' (?1) ? 0 , ?3a ? 2b ? 3 ? 0 即? ?3a ? 2b ? 3 ? 0
求得 f(0)=0,f(1)=5,f(2)=4, f (? ) ?

1 4

解得 a=1,b=0 ∴ f (x) ? x 3 ? 3x ,

f ' (x) ? 3x 2 ? 3 ? 3(x ? 1)( x ? 1) , 令 f ' (x) ? 0得x ? ?1,x ? 1 . 若 x? ( ? ?, ?1 ) ? (1, ? ?),则f ' (x) ? 0 ,
故 f(x)在(- ? ,-1)上是增函数, f(x)在(1, ? ? )上是增函数 1) ,则 f(x)<0,故 若 x ? (?1, f(x)在(-1,1)上是减函数. 所以,f(-1)=2 是极大值,f(1)=-2 是极小值. (2)曲线方程为 y ? x 3 ? 3x ,点 A(0,16)不在曲线上, 设切点为 M( x 0,y 0 ) ,则点 M 的坐标满足 y 0 ? x 3 0 ? 3x 0 .
2 因 f ' (x 0 ) ? 3(x 0 ? 1) ,故切线的方程为 2 y ? y 0 ? 3(x 0 ? 1)( x ? x 0 )

注意到点 A(0,16)在切线上,有
2 16 ? (x 3 0 ? 3x 0 ) ? 3(x 0 ? 1)(0 ? x 0 )

化简得 x 3 ,解得x 0 ? ?2 . 0 ? ?8 所以,切点为 M(-2,-2) ,切线方程为 9x ? y ? 16 ? 0 .



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