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求函数解析式的常用方法


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 求函数解析式的常用方法 作者:李敏瑜 李小平 来源:《试题与研究· 教学论坛》2016 年第 20 期 若已知一个函数 f(x)适合某种性质或某种关系,现在要把 f(x)的解析式具体找出 来,本文想就这个问题介绍一些常用解法 一、换元法、配凑法 这种方法适用于已知复合函数 f(g(x))的解析式,求 f(x)。(此时要注意自变量的 取值范围) 例 1.已知 fx+=x2+,求 f(x). 方法一(换元法) 解:设 x+=t,(t≥2 或 t≤—-2)) 则 x+2=t2 ∴x2+=t2-2 ∴ f(t)=t2-2 ∴f(x)=x2-2(x≥2 或 x≤-2)) 方法二(配凑法) 解:∵fx+=x2+=x+)2-2 ∴f(x)=x2-2(x≥2 或 x≤-2)) 二、解方程法 这种方法就是将 f(x)看作是适合某一个方程或方程组的未知元,然后把它从方程(组) 中解出来。 例 2.设 a≠0,b≠0,a≠b.又对于一切非零的 x 恒满足等式:af(x)+bf=cx,试求 f(x). 解:如果把 af(x)+bf=cx,看作一个方程,那么在这个方程中不仅含有未知元 f(x), 而且也含有未知元 f,所以这实际上是含有两个未知元的一个方程,因此为了求出 f(x),必 须另立一个方程。这只需在上述方程中把 x 换成,于是得到一个新方程 af+bf(x)=c,视 f (x)与 f 为未知元而解方程组 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn af(x)+bf?摇=cxaf?摇+bf(x)=c, 即得 f(x)=. 三、赋值法 这种方法常用于多个变量的情形,若令其中一个变量为另一个变量的函数,即可把变量的 个数减少,从而达到所要求的目的。 例 3.试求定义在正整数集上的函数 f(x),使得 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy. f(1)=1. 解:令 y=1,则得 f(x+1)=f(x)+x+1. 在这个式子中,依次令 x=1,2,3…n-1, 就有 f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3,… f(n)=f(n-1)+n. 相加这些等式,即得 f(n)=f(1)+2+3+…+n=1+2+3+…+n=. 这就是定义在正整数集上的函数 f(x)的具体解析式。 例 4.已知 f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),f(0)=1,试求 f(x). 解:令 a=0,得到 f(-b)=f(0)-b(-b+1)=1-b(-b+1). 把-b 换成 x,即得 f(x)=1+x(x+1)=x2+x+1. 四、待定系数法 这种方法常适用于当已知函数解析式的基本形式(如二次式,三次式等)然后根据某些条 件去待定其中的系数。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 例 5.已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x)的解析式. 解:设 f(x)=ax2+bx+c,(a≠0) 由 f(0)=0 知 c=0,f(x)=ax2+bx 又由 f(x+1)=f(x)+x+1 得 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+b(b+1)x+1 故有 2a+b=b+1a+b=1 所以 a=b= ∴f(x)=x2+x 五、递推法 这种方法常适用于求定义在正整数集合上的函数 f(n)之解析式,如果已知 f(n)满足 某一递推关系式的话。 例 6.设 f(1)=1,f(2)=3, 又++…+=, (1) 试求 f(n). 解:在(1)中


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