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2013年高考济南市一模考试理科数学试题


2013 年 3 月济南市高考模拟试题

理 科 数 学
本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页. 考试时间 120 分钟.满分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类写在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答案不能答在试卷上. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使 用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的.
x 2 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 3 x ? 4 ? 0 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. x x ? 0 2.已知复数 A.4

?

?

B. x x ? ?1或x ? 0

?

?

C. x x ? 4

?

?

D. x ? 1 ? x ? 4

?

?

2 ? 3i ( i 是虚数单位) ,它的实部和虚部的和是 1? i
B.6 C.2 D.3

3.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种 树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了 10 株树苗, 用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树苗的高 度的平均数 x甲、 和中位数 y甲、y乙 进行比较,下面 x乙 结论正确的是 A. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 B. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙

高三数学(理科)试题第 1 页 (共 6 页)

C. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 4.已知实数 x, y 满足 ? A. ?2

D. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙

?y ?1 ,则目标函数 z ? y ? 2x ?1 ?x ? y ? 8 ?

? x ? y 的最小值为

B.5

C.6

D.7

5.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 ?2,??? 上为增函数”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 6.函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1 ? 的图象是 ? ? x? ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.

B.

C.

D.

7.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为 A. 13 11 B. 21 13 C. 8 13 D. 13 8

x 1 8 8.二项式 ( ? ) 的展开式中常数项是 2 3x
A.28 B.-7 C.7 D.-28 9.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于

A , B 两点,且 AB ? 3, 则 OA? OB 的值是
A. ?
1 2

第 7 题图

B.

1 2

C. ?

3 4

D.0

10.右图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R) 在区间 [? ? , 5? ] 6 6 上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将

y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点

A.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标 第 10 题图 高三数学(理科)试题第 2 页 (共 6 页)

缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 2

B.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

C.向左平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 2

D.向左平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

11.一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为 A.

20 3

B.

40 3

C. 20

D. 40
5

12.设 a ?

?

2

1

1 dx, b ? x

?

3

1

1 dx, c ? x
B.

?

1

1 dx , x

则下列关系式成立的是

a b c ? ? 2 3 5 c a b C. ? ? 5 2 3
A.

b a c ? ? 3 2 5 a c b D. ? ? 2 5 3

第 11 题图

高三数学(理科)试题第 3 页 (共 6 页)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)
1 1 ? 的最小值为 m n

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若点 A ?1,1? 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0 上,其中 m n ? 0, 则 14.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 恰好是双曲线 近线方程为 y ? ? 3x ,则双曲线方程为 .

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的右顶点,且渐 a 2 b2


y
15.函数 y ? sin(

?
2

x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如

P

图所示,设 P 是图象的最高点, A, B 是图象与

A O

B

x

x 轴的交点,则 tan ?APB



第 15 题图

16.f ( x) ?| 2x ?1|, f1 ( x) ? f ? x ? , f2 ? x ? ? f ? f1 ? x ?? ,?, fn ? x ? ? f ? f n?1 ? x ?? 则函数

y ? f4 ? x ? 的零点个数为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本题满分 12 分) 已知 m ? (2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cosx ,? y) ,且 m ? n . (1)将 y 表示为 x 的函数 f (x) ,并求 f (x) 的单调增区间; (2)已知 a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长,若 f ( ) ? 3 ,且 a ? 2 ,

??

?

A 2

b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

高三数学(理科)试题第 4 页 (共 6 页)

18.(本题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是等腰梯形, AB / / CD, 且 AC ? BD,

AC与BD交于O, PO ? 底面ABCD, PO ? 2, AB ? 2CD ? 2 2, E、F 分 别 是 A B、 A P
的中点. (1)求证: AC ? EF ; (2)求二面角 F ? OE ? A 的余弦值.

P

F D O A
19. (本题满分 12 分)
*

C

E
第 18 题图

B

数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn ? 1 (n ? N ) ,等差数列 ?bn ? 满足

b3 ? 3, b5 ? 9 .
(1)分别求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

1 bn ? 2 (n ? N * ) ,求证 cn ?1 ? cn ? . 3 a n?2

20.(本题满分 12 分) 某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加 A、B、C、D、E 五项考试,如果前四 项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一 定继续参加后面的考试。已知每一项测试都是相互独立的,该生参加 A、B、C、D 四项考试 不合格的概率均为

1 2 ,参加第五项不合格的概率为 2 3

(1)求该生被录取的概率; (2)记该生参加考试的项数为 X ,求 X 的分布列和期望.

高三数学(理科)试题第 5 页 (共 6 页)

21.(本题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? xex . (1) 求 f (x) 的单调区间与极值; (2) 是 否 存 在 实 数 a , 使 得 对 任 意 的 x1、x2 ? (a,??) , 当 x1 ? x2 时 恒 有

f ( x2 ) ? f (a) f ( x1 ) ? f (a) 成立.若存在,求 a 的范围,若不存在,请说明理由. ? x2 ? a x1 ? a

22.(本题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 2,2) . ( 2 a b 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 k AC ? k BD ? ?

b2 , a2

(i) 求 OA? OB 的最值.

y
(ii) 求证:四边形 ABCD 的面积为定值;
C B O D A

x

第 22 题图

高三数学(理科)试题第 6 页 (共 6 页)


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