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2人教A版高中数学必修1第二章基本初等函数单元测试题(含参考答案)


第二章《基本初等函数》
一.选择题. (每小题 5 分,共 50 分) 1. 若 m ? 0 ,n ? 0 ,a ? 0 且 a ? 1 , 则下列等式中正确的是 A. ( a m ) n ? a m ? n B. a m ?
1

(

)

1 am
4 4 3

C. loga m ? log a n ? log a (m ? n)

D. m n ? (mn)
3 4

2. 函数 y ? loga (3x ? 2) ? 2 的图象必过定点 A. (1, 2) B. (2, 2) C. (2,3) D. ( , 2)

(

)

2 3

3. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (2, A. 1 B. 2

2 ) ,则 f (4) 的值为 2
C.

( D. 8 (



1 2

4.若 x ? (0,1) ,则下列结论正确的是 A.2 x ? lg x ? x 2
1



B.2 x ? x 2 ? lg x C.x 2 ? 2 x ? lg x

1

1

D.lg x ? x 2 ? 2 x ( )

1

5. 函数 y ? log( x?2) (5 ? x) 的定义域是 A. (3, 4) B. (2,5) C. (2,3) ? (3,5) ) B. 0.76<60.7< log0.7 6 D. log0.7 6 <0.76<60.7

D. (??, 2) ? (5, ??)

6. 三个数 60.7 ,0.76 , log0.7 6 的大小顺序是 ( A.0.76< log0.7 6 <60.7 C.

log0.7 6 <60.7<0.76
a b

7.若 100 ? 5, 10 ? 2 ,则 2a ? b ? A. 0 B. 1
x

( C. 2 D. 3 (



8. 函数 f ( x) ? lg(10 ?1) ? A.奇函数

x 是 2
C.既奇且偶函数



B.偶函数

D.非奇非偶函数

1

9.函数 y ? loga ( x2 ? 2 x) (0 ? a ? 1) 的单调递增区间是 A. (1, ??) B. (2, ??) C. (??,1)

( D. (??, 0)



10.已知 y ? log a (2 ? ax) ( a ? 0 且 a ? 1 )在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范 围是( A. (0,1) ) B. (0, 2) C. (1, 2) D. [2, ??)

二.填空题.(每小题 5 分,共 25 分) 11.计算: log4 27 ? log5 8 ? log9 625 ? 12.已知函数 f ( x) ? ? .

( x > 0) ?log3 x, 1 ,则 f [ f ( )] ? x 3 ? 2 , ( x ? 0)
?



( ) 5? , 2 ) 13. 若 f ( x) ? a ln( x 2 ? 1 ? x) ? bx3 ? 2 , 且 f2 则 f (?



14.若函数 f ( x) ? log a x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则

a=


1

15.已知 0 ? a ? 1 ,给出下列四个关于自变量 x 的函数: ① y ? log x a ,② y ? log a x 2 , ③ y ? (log 1 x)3 ④ y ? (log 1 x) 2 .
a
a

其中在定义域内是增函数的有 三.解答题(6 小题,共 75 分) 16.(12 分)计算下列各式的值:
3 6 4 3



16 ? 1 0.25 (Ⅰ) ( 2 ? 3) ? (2 ? 2) ? 4 ? ( ) 2 ? 4 2 ? 8 . 49

(Ⅱ) ln(e e ) ? log 2 (log 3 81) ? 2

1? log 2 3

?

log 3 2 ? 2 log 3 5 . 1 1 log 9 ? log 3 125 4 3

2

17.(本小题满分 12 分) 解方程: log2 (9x ? 4) ? log2 (3x ? 2) ? 3

18.(共 12 分)(Ⅰ)解不等式 a

2 x ?1

1 ? ( ) x ? 2 (a ? 0且a ? 1) . a

( Ⅱ ) 设 集 合 S ?{x | log ( ? 2? ) 2 x

1 x , 集 合 T ? { y | y ? ( ) ? 1,x ? ? 2} 求 2} 2

S ?T , S ?T .

? 2? x x ? 1 19. ( 12 分) 设函数 f ( x) ? ? . ?log 4 x x ? 1
(Ⅰ)求方程 f ( x) ?

1 的解. 4

(Ⅱ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集.

3

20. ( 13 分)设函数 f ( x) ? log2 (4 x) ? log 2 (2 x) 的定义域为 [ , 4] , (Ⅰ)若 t ? log2 x ,求 t 的取值范围; (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值与最小值,并求出最值时对应的 x 的值.

1 4

21. (14 分)已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 b 的值;

?2 x ? b f ( x) ? x ?1 是奇函数. 2 ?2

(Ⅱ)证明函数 f ? x ? 在 R 上是减函数; (Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式 值范围.

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取

4

参考答案
一.选择题 题号 答案 二.填空题. 11. 9 . 12. 1 D 2 A 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 A 9 D 10 C

1 . 2

13. ?1 .

14.

2 . 4

15. ③,④.

三.解答题: 16. (Ⅰ) . 解:原式 ? 4 ? 27 ? 2 ? 7 ? 2 ? 101 .

log3 (4 ? 25) 3 3 15 ? 2 ? 2?3 ? ? ? 2 ? 2? 3 ? 2 ? . 1 1 2 2 log3 ( ? ) 2 2 5 17. 解 原 方 程 可 化 为 : log2 (9x ? 4) ? log2 (3x ? 2) ? log2 8 , 9 x ? 8 ? 3x ? 12 ? 0 .
(Ⅱ)解:原式 ? 解得: 3 ? 2 (舍去)或 3 ? 6 , 所以原方程的解是 x ? log3 6
x x



18.解: (Ⅰ)原不等式可化为: a

2 x ?1

? a 2? x .

当 a ? 1 时, 2 x ? 1 ? 2 ? x ? x ? 1.原不等式解集为 (1, ??) . 当 a ? 1 时, 2 x ? 1 ? 2 ? x ? x ? 1 .原不等式解集为 (??,1) . ( Ⅱ ) 由 题 设 得 :

1 S ? {x | 0 ? x ? 2 ? 4} ? (?2, 2] , T ? { y | ?1 ? y ? ( ) ?2 ? 1} ? (?1,3] . 2
∴ S ? T ? (?1, 2] , S ? T ? (?2,3] .

?x ? 1 ?x ? 1 ? 1 ? 19.解: (Ⅰ) f ( x) ? ? ? ? x 1 (无解)或 ? 1 ? x? 2. 4 2 ? log x ? 4 ? ? 4 ? ? 4
∴方程 f ( x) ?

1 的解为 x ? 2 . 4

?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 ?x ? 1 (Ⅱ) f ( x) ? 2 ? ? ? x 或? 或? . ?? ?2 ? 2 ?log x4 ? 2 ? x ? ?1 ? x ? 16
? ?1 ? x ? 1 或 1 ? x ? 16 即 ?1 ? x ? 16 .
5

∴不等式 f ( x) ? 2 的解集为: [?1,16] . 20.解: (Ⅰ) t 的取值范围为区间 [log 2 (Ⅱ)记

1 , log 2 4] ? [?2, 2] . 4

y ? f ( x) ? (log2 x ? 2)(log2 x ? 1) ? (t ? 2)(t ?1) ? g (t ) (?2 ? t ? 2) . 3 2 1 3 3 ∵ y ? g (t ) ? (t ? ) ? 在区间 [ ?2, ? ] 是减函数,在区间 [ ? , 2] 是增函 2 2 2 4
数 ∴当 t ? log 2 x ? ?
3 ? 3 2 即x?2 2 ? 时, y ? f ( x) 有最小值 2 4

f(

2 3 1 ) ? g (? ) ? ? ; 4 2 4 2 当 t ? log2 x ? 2 即 x ? 2 ? 4 时, y ? f ( x) 有最大值 f (4) ? g (2) ? 12 .
1? b ? 0 ? b ? 1 (经检验符合题设) . 4

21. 解: (Ⅰ) ∵ f ? x ? 是奇函数, 所以 f (0) ?

(Ⅱ)由(1)知

2x ? 1 f ( x) ? ? .对 ?x1 , x2 ? R ,当 x1 ? x2 时,总有 2(2 x ? 1)

2x2 ? 2x1 ? 0, (2x1 ? 1)(2x2 ? 1) ? 0 .
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

1 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 1 2 x2 ? 2 x1 ? ( x1 ? x2 ) ? ? x1 ?0 , 即 2 2 ? 1 2 ? 1 2 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
∴函数 f ? x ? 在 R 上是减函数. (Ⅲ)∵函数 ∴ .

f ( x) 是奇函数且在 R 上是减函数,

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 ? f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 )

1 1 ? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 ? k ? 3t 2 ? 2t ? 3(t ? ) 2 ? . (*) 3 3 1 对于 ?t ? R (*)成立 ? k ? ? . 3 1 ∴ k 的取值范围是 (??, ? ) . 3
6


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