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2014第4单元-数学-新课标沪科


数学
新课标

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第14课时 平面图形及相交线、平行线 第15课时 三角形 第16课时 全等三角形 第17课时 等腰三角形 第18课时 直角三角形与勾股定理 第19课时 相似三角形及其应用 第20课时 锐角三角函数及其应用

第14课时

平面图形及相交线、 平行线

第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线

皖 考 解 读
考点 角的有关概念 角的计算与大小 角平分线及性质 线段垂直平分线及性质 平行线的性质与判定 考纲 要求 了解 理解 掌握 掌握 掌握 2010 选择题 2013 选择题 4分 4分 ★★★★ 2013 解答题 3分 年份 题型 分值 预测热度 ★ ★★ ★★ ★★ ★

余角、 补角、 对顶角的概念 了解

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线

考 点 聚 焦
考点1 名称 直线、射线、线段
关键点回顾 1.经过两点____________ 有且只有一 条直线; 2.两条直线相交只有________ 一个 交点. 直线 过任意三个不在同一直线上的 n 个点中的两个点 n(n-1) 可以画____________ 条直线. 2 线段 最短. 两点之间,________ 1.连接两点间的线段的________ 叫做这两点间的距离; 长度 , 线段 2. 线段上共有 n 个点 ( 包括两个端点 ) 时, 共有线段 n(n-1) ________条. 2
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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线
考点2 角

直角 、 角的 角按照大小可以分为周角、平角、钝角、________ 锐角 分类 ________. 从一个角的顶点引出的一条射线, 把这个角分成两个 相等的角,这条射线叫做这个角的平分线. 如图,OC 是∠AOB 的平分线,则有 角平 (1)∠AOC=∠BOC; 分线 1 1 的概 (2)∠AOC=2∠AOB,∠BOC=2∠AOB; 念 (3)∠AOB=2∠AOC,∠AOB=2∠BOC.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线

定理:角平分线上的点到这个角两边的距离 角平分 ________. 相等 线的性 相等 的点在这个 逆定理: 到角的两边距离________ 质 角的平分线上.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线
考点3
互 为 余 角 互 为 补 角

互为余角、互为补角
定义 如果两个角的和等于 90°,则这两个角互余. 性质 同角(或等角)的余角________. 相等 定义 如果两个角的和等于 180°, 则这两个角互补. 性质 同角(或等角)的补角________. 相等 拓展 一个角的补角比这个角的余角大 90°.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线
考点4
邻补角 的定义 对 定义 顶 角 性质

邻补角、对顶角
若两角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长 线,具有这种关系的两个角,互为邻补角. 若两角有一个公共顶点,且两角的两边互为反向延长 线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角. 对顶角相等.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线
考点5 “三线八角”
名称 关键点回顾

图形 直线 a, b 被直线 l 所截, 构成八个角(如图). ∠1 和∠5,∠4 和∠8,∠2 和∠6,∠3 和 同位角 ∠7 是同位角. 内错角 ∠2 和∠8,∠3 和∠5 是内错角. 同旁内角 ∠5 和∠2,∠3 和∠8 是同旁内角.
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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线
考点6 平行线的性质及判定
名称 平行 公理 公理 推论 判定 关键点回顾 经过直线外一点,有且只有________ 条直 一 线与这条直线平行. 如果两条直线都与第三条直线平行,那么 平行 这两条直线也互相________. 1.同位角相等,两直线平行; 2.内错角相等,两直线平行; 3.同旁内角互补,两直线平行. 1.两直线平行,同位角相等; 2.两直线平行,内错角相等; 3.两直线平行,同旁内角互补.
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平 行 线

性质

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线
考点7 垂直及其性质

垂直 的基 本性 质 线段 的垂 直平 分线

1.过一点___________ 有且只有 一条直线垂直于已知直线; 2. 在 连 接 直 线 外 一 点 与 直 线 上 各 点 的 线 段 中 , ________ 垂线段 最短. 垂线段 的长度, 直线外一点到这条直线的________ 叫做点到 直线的距离. 线段两个端点 的 定理:线段垂直平分线上的点到_______________ 距离相等; 逆定理: 到一条线段两个端点的距离相等的点在这条 线段的____________ 垂直平分线 上.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线

皖 考 探 究
探究一 线与角的概念和基本性质 命题角度: 1.线段、射线和直线的性质及计算; 2.角的有关性质及计算.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线

例 1 [2012· 北京] 如图 14-1,直线 AB,CD 交于点 O, 射线 OM 平分∠AOC, 若∠BOD=76°, 则∠BOM 等于 ( C )

A.38° B.104°

图 14-1 C.142° D.144°

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线

根据对顶角相等求出∠AOC 的度数,再根据角 解 析 平分线的定义求出∠AOM 的度数,然后根据平角等于 180° 列式计算. ∵∠BOD=76°, ∴∠AOC=∠BOD=76°. ∵射线 OM 平分∠AOC, 1 1 ∴∠AOM= ∠AOC= ×76°=38°, 2 2 ∴∠BOM=180°-∠AOM=180°-38°=142°. 故选 C.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线

关于角度的计算问题,关键要掌握角的和差之间的关 系,有时还要用到角平分线、平角和对顶角相等等知识.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线
探究二 余角、补角

命题角度: 1.余角、补角的计算; 2.结合图形求余角、补角.
例 2 [2013· 长沙] 已知∠A=67°,则∠A 的余角等于 ________ 度. 23

解 析

由余角的概念,得∠A 的余角=90°-67°=23°.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线

求一个角的余角(或补角),只要用 90°(或 180°)减去 这个角即可.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线
探究三 直线的位置关系

命题角度: 1.直线平行与垂直的判定及简单应用; 2.平行线的性质和判定的综合应用; 3.角度的有关计算.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线
例 3 [2013· 安徽] 如图 14-2,AB∥CD,∠A+∠E=75°, 则∠C 为 ( C )

A.60° B.65°

图 14-2 C.75° D.80°

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线

解 析

由 AB∥CD 得∠C=∠EFB,由“三角形的

一个外角等于和它不相邻的两个内角和”得∠EFB = ∠A+∠E=75°,所以∠C 为 75°.故选 C.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线

运用平行线的性质和三角形的内角和定理求角的度数 是安徽省每年必考内容之一,试题难度不大,掌握平行线 的性质和三角形的内角和定理是解题的关键.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线

当 堂 检 测
1.下面四个图形中,∠1=∠2 一定成立的是 ( B )

图 14-3

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线

2.如图 14-4,已知 AB∥CD,BE 平分∠ABC,∠CDE =150°,则∠C 的度数是 ( C )

图 14-4 A.100° B.110° C.120° D.150° ∠BDC = 180 °-∠EDC = 180 °- 150 °= 解 析 30°,因为 AB∥CD,所以∠DBA=30°.又因为 BE 平分
∠ABC , 所 以 ∠ABC = 2∠DBA = 2×30 ° = 60 ° . 因 为 AB∥CD,所以∠C=180°-60°=120°.故选 C.
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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线
3.如图 14-5,∠1+∠2=________ 90° .

图 14-5
解 析 根据平角的意义可得∠1+90°+∠2=180°, ∴∠1+∠2=90°.

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第14课时┃ 平面图形及相交线、平行线

4.已知∠α=35°,则∠α 的补角是________ 145° .

解 析

根据补角的概念,∠α 的补角是 180°-35°=145°.

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第15课时

三角形

第15课时┃ 三角形

皖 考 解 读
考点 考纲要求 年份 三角形的有关 了解 概念 三角形的角平 理解 分线、 中线、 高 2011 三角形的 掌握 2012 中位线 2013 2010 三角形内角和 掌握 2010 定理及推论 2013
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题型

分值 预测热度 ★ ★

选择题 选择题 选择题 选择题 填空题 选择题
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4分 4分 4分 4分 5分 4分

★★★

★★★★

第15课时┃ 三角形

考 点 聚 焦
考点1 三角形的分类

1.按角分: ?直角三角形 ? ? ?锐角三角形 三角形? ?斜三角形? ? ? ?钝角三角形 2.按边分: ?不等边三角形 ? ? 三角形? ?底边和腰不相等的等腰三角形 ?等腰三角形? ? ? ?等边三角形
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第15课时┃ 三角形
考点2 三角形中的重要线段
关键点回顾

重要线段

三角 形的 中线

1 如图,AD 是△ABC 的中线? BD=CD= BC. 2 内 部. 三角形的三条中线的交点在三角形的________

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第15课时┃ 三角形

三角 形的 角平 分线

如 图, AE 是△ABC 的角平 分线 ?∠ BAE = 1 ∠CAE= ∠BAC. 2 三角形的三条角平分线的交点在三角形的 内 ________ 部.

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第15课时┃ 三角形

如图,AF 是△ABC 的高?∠BFA=∠CFA=90°. 三 角 形 的 高

________ 锐角 三角形的三条高的交点在三角形的内部; 直角 三角形的三条高的交点是直角顶点; ______ 钝角 三 ______ 角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部.

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第15课时┃ 三角形
考点3 三角形的中位线

概念 性质

中点 的线段叫三角形的 连接三角形两边的________ 中位线. 三角形的中位线________ 平行 于第三边,并且等于 它的________. 一半

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第15课时┃ 三角形
考点4 三角形的三边关系

大于 第三边;任意两边 三角 三角形的任意两边之和 ________ 形的 之差________ 小于 第三边. 三边 围成三角形的条件:任意两边之和大于第三边. 关系

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第15课时┃ 三角形
考点5 三角形的内角和定理及推论

定 180° 三角形的内角和等于________. 理 1.直角三角形的两个锐角________ 互余 ; __________________的和; 推 2.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 大于 任何一个和它不相邻的 论 3.三角形的一个外角 ________ 内角.

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第15课时┃ 三角形

皖 考 探 究
探究一 三角形三边的关系 命题角度: 1. 利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形; 2.利用三角形三边的关系求字母的取值范围; 3.三角形的稳定性.

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第15课时┃ 三角形

例 1 [2012· 长沙] 现有 3 cm,4 cm,7 cm,9 cm 长的 四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成 的三角形的个数是 ( B ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

解 析 四根木棒的所有组合: 3,4,7 和 3,4,9 和 3,7,9 和 4,7,9,只有 3,7,9 和 4,7,9 能组成 三角形.故选 B.

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第15课时┃ 三角形

判断三条线能否构成三角形,主要运用三角形的三 边关系定理,看较小的两边之和是否大于第三边.

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第15课时┃ 三角形
探究二 三角形的重要线段的应用

命题角度: 1. 三角形的中线、 角平分线、 高线; 2.三角形的中位线.

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第15课时┃ 三角形

例 2 [2013· 邵阳] 如图 15-1 所示, 在△ABC 中, 点 D、 E 分别是 AB、AC 的中点,连接 DE.若 DE=5,则 BC= ________ 10 .

图 15-1
解 析 由点 D、E 分别是 AB、AC 的中点,得 DE 是 △ABC 的中位线,根据三角形中位线性质可得 BC=2DE =10.
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第15课时┃ 三角形

已知三角形一边的中点,通常添作三角形的中位线, 运用三角形中位线性质解题; 或延长三角形的中线成 2 倍, 构造全等三角形.中位线除了常用于求线段的长度外,还 常用于说明两直线的平行关系.

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第15课时┃ 三角形

例 3 [2012· 柳州] 如图 15-2,在△ABC 中,BD 是 ∠ABC 的 平 分 线 , 已 知 ∠ABC = 80 ° , 则 ∠DBC = 40 ________ °.

图 15-2

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第15课时┃ 三角形
探究三 三角形内角与外角的应用

命题角度: 1.三角形内角和等定理; 2.三角形内角和等定理的推论.

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第15课时┃ 三角形

例 4 [2013· 湘西] 一副分别含有 30°和 45°角的两个直 角三角板,拼成如图 15-3 所示的图形,其中∠C=90°, ∠B=45°,∠E=30°,则∠BFD 的度数是 ( A )

A.15° B.25°

图 15-3 C.30° D.10°

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第15课时┃ 三角形

由三角板得到两个特殊三角形每个角的度 解 析 数,再根据三角形的内角和定理的推论得到 ∠BFD = ∠EDC-∠ABC=60°-45°=15°,故选 A.

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第15课时┃ 三角形

三角板是我们常用的数学工具,以三角板为背景的 试题在中考中经常出现,解答此类问题的关键是抓住三 角板中的特殊角,并合理运用三角形的内角和定理.

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第15课时┃ 三角形
探究四 创新类试题

命题角度: (1)与三角形内角和有关的新定义题; (2)与三角形内角和有关的探索题.

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第15课时┃ 三角形

例 5 [2013· 上海] 当三角形中一个内角 α 是另一个内 角 β 的两倍时, 我们称此三角形为“特征三角形”, 其中 α 称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角” 为 100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 30° . ________

根据“特征角”的规定,另一个内角等于 50°, 解 析 根据三角形的内角和定理,第三个角是 180°-100°-50° =30°, 所以这个“特征三角形”的最小内角的度数为 30°.

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第15课时┃ 三角形

这是一道新定义题,解题的关键是正确理解 “特征 角”的规定,并结合三角形的内角和定理,求出三角形各 内角的度数,从而作出正确的解答.

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第15课时┃ 三角形

当 堂 检 测
1.已知三角形三边长分别为 2,x,13,若 x 为正整 数,则这样的三角形个数为 ( B ) A.2 B.3 C.5 D.13

解 析

由三角形的三边关系,可知 11<x<15,∵x 为

正整数,∴x 为 12、13、14,则三角形个数为 3.故选 B.

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第15课时┃ 三角形

2. 如图 15-4 所示, ∠A、 ∠1、 ∠2 的大小关系是( B )

图 15-4 A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1
由“三角形的一个外角大于和它不相邻的任 解 析 意内角”可知,∠2>∠1>∠A.故选 B.
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第15课时┃ 三角形

3.一次数学活动课上,小聪将一副三角板按图 15-5 所 示方式叠放,则∠α=________ 75° .

图 15-5

根据平行线的性质和三角形内角和定理,可得 解 析 ∠α=30°+45°=75°.
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第15课时┃ 三角形

4.已知△ABC 的三个内角∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶1, 试判断△ABC 的形状,并说明理由.


△ABC 是等腰直角三角形. 理由:设每份为 x°,根据题意, 得 x+2x+x=180, 解得 x=45,2x=90, 所以△ABC 是等腰直角三角形.

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第16课时

全等三角形

第16课时┃ 全等三角形

皖 考 解 读

考点 考纲要求 年份 全等三角形 了解 的有关概念 三角形全 2010 等的判定 掌握 2011 和性质 2013

题型

分值 预测热度 ★

解答题 5 分 解答题 3 分 解答题 3 分 ★★★★

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第16课时┃ 全等三角形

考 点 聚 焦
考点1 全等图形及全等三角形

全等图形 , 能够完全重合的两个图形就是__________ 全等 定义 能够完全重合的两个三角形就是全等三角形 ________. 图形 性质 全等图形的形状和大小完全相同.

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第16课时┃ 全等三角形
考点2 全等三角形的性质

1.全等三角形的对应边相等; 全等 2.全等三角形的对应角相等. 三角 1.全等三角形的对应边上的高________ 相等 ; 形的 2.全等三角形的对应边上的中线________ 相等 ; 性质 3.全等三角形的对应角平分线________. 相等

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第16课时┃ 全等三角形 考点3
名称

全等三角形的判定
关键点回顾 1.三条边对应相等的两个三角形全等 (简记为________) ; SSS

一般 2. 两 角 和 它 们 的 夹 边 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等 ( 简 记 为 三角 ________) ASA ; 形全 3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (简记为 等的 ________) AAS ; 判定 4. 两 边 和 它 们 的 夹 角 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全 等 ( 简 记 为 ________). SAS 直角 1.一般三角形全等的判定方法也适合于直角三角形全等的判定; 三角 2. 斜边 和一条直角边 对应相等的两 个直角 三角形全等 ( 简记为 形全 ________). HL 等的 判定 直角三角形中始终有一个直角是相等的.
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第16课时┃ 全等三角形

皖 考 探 究
探究一 全等三角形的判定

命题角度: 结合图形与已知条件利用 SSS、ASA、AAS、SAS、 HL 判定三角形全等.

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第16课时┃ 全等三角形

例 1 [2013· 邵阳] 如图 16-1 所示, 点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 延长线上一点,且 AD=DE,连接 BE 交 CD 于点 O,连接 AO,下列结论不正确的是 ( A )

图 16-1 A.△AOB≌△BOC B.△BOC≌△EOD C.△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC

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第16课时┃ 全等三角形

由矩形 ABCD 可得∠ADO=∠EDO=90°, 解 析 又 AD=ED, OD=OD, 根据“SAS”可证得△AOD≌△EOD, 选项 C 正确;由 DE=DA=CB,∠BCO=∠EDO=90°, ∠BOC=∠EOD,根据“AAS”可得△BOC≌△EOD,选项 B 正确;进而可证得△AOD≌△BOC,选项 D 正确.故选 A.

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第16课时┃ 全等三角形

判定两个三角形全等,一般是根据已知条件,结合图形具 有的条件,推导出判定三角形全等需要的未知条件,利用全等 三角形的判定定理进行判定. “SSA” 不能证明三角形全等,即有两边和其中一边的对角 对应相等的两个三角形不一定全等.

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第16课时┃ 全等三角形
探究二 全等三角形开放性问题

命题角度: 1.三角形全等的条件开放性问题; 2.三角形全等的结论开放性问题.

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第16课时┃ 全等三角形

例 2 [2013·上海] 如图 16-2,在△ABC 和△DEF 中, 点 B、F、C、E 在同一直线上,BF=CE,AC∥DF,请添加 一 个 条 件 , 使 △ABC≌△DEF , 这 个 添 加 的 条 件 可 以 是 ∠A=∠D 或 AC=DF 或 AB∥DE 等(不唯一) . ( 只 需 写 一 ________________________________________ 个,不添加辅助线)

图 16-2
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第16课时┃ 全等三角形

由 BF=CE,可得 BC=EF.由 AC∥DF,可得 解 析 ∠ACB=∠DFE.△ABC≌△DEF 已经具备的条件是 BC=EF, ∠ACB=∠DFE,一边与一角相等,可以添加∠A=∠D,利用 AAS 证明;或 AC=DF,用 SAS 证明;或 AB∥DE,用 ASA 证明全等.

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第16课时┃ 全等三角形

这是一道条件开放性问题,主要考查三角形全等的判 定方法,解答此类问题应从问题的已知条件出发,根据全 等三角形的判定定理,寻找所缺少的条件.

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第16课时┃ 全等三角形
探究三 全等三角形性质与判定的综合应用

命题角度: 1.利用 SSS、ASA、AAS、SAS、HL 判定三角形全等; 2.利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与 计算问题.

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第16课时┃ 全等三角形

例 3 [2013· 浙江] 如图 16-3,△ABC 与△DCB 中, AC 与 BD 交于点 E,且∠A=∠D,AB=DC.(1)求证: △ABE≌△DCE; (2)当∠AEB=50°时, 求∠EBC 的度数.

图 16-3

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第16课时┃ 全等三角形
(1)由“角角边”定理证明△ABE 与△DCE 解 析 全等;(2)由第(1)问的结论,根据全等三角形的性质,得到 等腰三角形 BCE,根据三角形内角和定理可求得∠EBC 的度数为 25°.

(1) 证明:∵∠A =∠D , AB = DC ,∠AEB 解 =∠DEC(对顶角相等), ∴△ABE≌△DCE(角角边). (2)∵△ABE≌△DCE,∴BE=EC, ∴∠EBC=∠ECB. ∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50° , ∴∠EBC=25°.

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第16课时┃ 全等三角形

1.证明线段相等或角相等,一般通过证明它们所在的 两个三角形全等来证明; 2.求三角形中的角度问题,一般运用三角形的内角和 定理来解决.

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第16课时┃ 全等三角形

变式题 [2012· 钦州] 如图 16-4,点 E、F 在 BC 上,BE =CF,∠A=∠D,∠B=∠C. 求证:AB=DC.

图 16-4

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第16课时┃ 全等三角形



证明:∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF,即 BF=CE. 在△ABF 和△DCE 中, ?∠A=∠D, ? ?∠B=∠C, ?BF=CE, ? ∴△ABF≌△DCE(AAS), ∴AB=DC.

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第16课时┃ 全等三角形
探究三 利用全等三角形设计测量方案

命题角度: 利用全等三角形的判定和性质解决问题. 例 4 [2012· 柳州] 如图 16-5,小强利用全等三角形的知 识测量池塘两端 M、N 间的距离,如果△PQO≌△NMO,则 只需测出其长度的线段是 ( B )

图 16-5 A.PO B.PQ C.MO D.MQ
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第16课时┃ 全等三角形

解 析 要想利用△PQO≌△NMO 求得 MN 的长,只 需求得线段 PQ 的长即可,故选 B.

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第16课时┃ 全等三角形

当 堂 检 测
1.如图 16-6,下列条件中,不能 证明△ABD≌△ACD .. 的是 ( D )

图 16-6 A.BD=DC,AB=AC B.∠ADB=∠ADC,BD=DC C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C,BD=DC
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第16课时┃ 全等三角形

解 析

△ABD 和△ACD 具有公共边 AD, 如果补充 A

项中条件,则可用 SSS 来证全等;如果补充 B 项中条件,则 可用 SAS 来证明;如果补充 C 项中条件,则可用 AAS 证明; D 项由于提供的角不是已知两边的夹角,因此不能证明两三 角形全等.故选 D.

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第16课时┃ 全等三角形

2.[2013· 巴中] 如图 16-7,已知点 B、C、F、E 在同 一直线上,∠1=∠2,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需 CA=FD 添加一个条件,这个条件可以是答案不唯一,如 ____________________ .(只 需写出一个)

图 16-7
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第16课时┃ 全等三角形

3. 如图 16-8, 在△ABC 中, AB=AC, ∠ABC、 ∠ACB 的平分线 BD、CE 相交于 O 点,且 BD 交 AC 于点 D,CE 交 AB 于 点 E. 某 同 学 分 析 图 形 后 得 出 以 下 结 论 : ①△BCD≌△CBE; ②△BAD≌△BCD; ③△BDA≌△CEA; ④△ BOE ≌△COD;⑤△ACE≌△BCE.上述结论一定正确 ①③④ . 的是________

图 16-8
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第16课时┃ 全等三角形

解 析

由 AB=AC,得∠ABC=∠ACB.又∠ABC、

∠ACB 的平分线 BD、 CE 相交于 O 点, 可得∠ABD=∠CBD =∠ACE =∠BCE ,易证 OB = OC ,根据 ASA 可判定 △BCD≌△CBE,△BDA≌△CEA,△BOE≌△COD;而 根据全等三角形的判定定理,无法得到△BAD≌△BCD 和 △ACE≌△BCE.故填①③④.

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第16课时┃ 全等三角形

4. 如图 16-9 所示, ∠BAC=∠ABD=90°, AC=BD, 点 O 是 AD、BC 的交点,点 E 是 AB 的中点. (1)图中有哪几对全等三角形?请写出来; (2)试判断 OE 和 AB 的位置关系,并给予证明.

图 16-9

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第16课时┃ 全等三角形

解 (1)3 对 ; △AOC≌△BOD , △AOE≌△BOE , △ABC≌△BAD. (2)OE⊥AB. 证明:在△ABC 和△BAD 中, ?AC=BD, ? ?∠BAC=∠ABD, ?AB=BA, ? ∴△ABC≌△BAD(SAS), ∴∠CBA=∠DAB,∴OA=OB. ∵点 E 是 AB 的中点,∴OE⊥AB.
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第17课时

等腰三角形

第17课时┃ 等腰三角形

皖 考 解 读
考纲 要求 了解 掌握 2010 填空题 5 分 2012 选择题 4 分 2013 解答题 5 分

考点 等腰三角形 有关概念 等腰三角 形的性质 和判定

年份

题型

分值 预测热度 ★ ★★★★

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第17课时┃ 等腰三角形

考 点 聚 焦
考点1 等腰三角形的概念与性质

有________ 相等的两边 两边 相等的三角形是等腰三角形. 定义 叫腰、第三边为底.两腰之间的夹角叫顶角,腰与 底边的夹角叫底角. 1.等腰三角形是轴对称图形,有________ 条对称轴; 1 等边对等角 2.等腰三角形的两个底角相等(简称为: ________); 中线 和底 3.等腰三角形顶角的平分线、 底边上的________ 性质 边上的高互相重合,简称“三线合一”. 1.等腰三角形两腰上的高、两腰上的中线、两底角的 平分线相等; 2.等腰三角形是轴对称图形.
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第17课时┃ 等腰三角形
考点2 等腰三角形的判定

定义 定理

两边 相等的三角形. ________ 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所 对的边________( 简写成:___________). 相等 等角对等边 “等边对等角”“等角对等边”成立的条件是 “在一个三角形中”.

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第17课时┃ 等腰三角形
考点3 等边三角形

三边 相等的三角形是等边三角形. 定义 ________ 等边三角形的各角都 ________ 相等 ,并且每 —个角都等于 ________. 60° 性质 1.等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形具 有等腰三角形的所有性质; 2.等边三角形是轴对称图形,有________ 条对称轴. 3 1.三个角都________ 相等 的三角形是等边三角形; 判定 2.有一个角等于________ 60° 的等腰三角形是等边三角形.

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第17课时┃ 等腰三角形

皖 考 探 究
探究一 等腰三角形的性质的运用

命题角度: 1.等腰三角形的性质; 2.等腰三角形“三线合一”的性质; 3.等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线 的性质.

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第17课时┃等腰三角形

例 1 [2012· 随州] 如图 17-1,在△ABC 中,AB=AC, 点 D 是 BC 的中点,点 E 在 AD 上. 求证:(1)△ABD≌△ACD; (2)BE=CE.

图 17-1
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第17课时┃等腰三角形

(1) 根据等腰三角形“三线合一”可得 BD = 解 析 CD,AD⊥BC,再根据全等三角形的判定定理 SSS 或 HL 可 以证得△ABD≌△ACD; (2)利用(1)中已证 AD 是 BC 的垂直平分线可证 BE=CE.


证明:(1)∵D 是 BC 的中点,∴BD=CD. 在△ABD 和△ACD 中, BD=CD,AB=AC,AD=AD(公共边), ∴△ABD≌△ACD(SSS). (2)∵AB=AC,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC,BD=CD, ∴BE=CE(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
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第17课时┃等腰三角形

1.等腰三角形的性质为我们证明线段相等或角相等又 提供了重要的依据; 2.涉及等腰三角形的问题,一般添作顶角平分线或底 边上的高或底边上的中线. 应用性质时不能忽略前提条件. “ 等 边对等角 ” 有 一个前提条件是 “ 在一个三角形 中”,容易忽视这个条件导致解题错误.

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第17课时┃等腰三角形
探究二 等腰三角形的判定 命题角度: 等腰三角形的判定.

例 2 [教材母题] 已知,如图 17-2,CD 平分∠ACB, AE∥DC,交 BC 的延长线于点 E. 求证:△ACE 是等腰三角形.

图 17-2

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第17课时┃等腰三角形
解 析 由平行线的性质得到相等的角,再根据角平分 线的性质实现等角的转换,证得∠CAE=∠AEC,从而得 出结论. 解

证明:∵AE∥DC, ∴∠BCD=∠AEC, ∠ACD=∠CAE. ∵CD 平分∠ACB, ∴∠BCD=∠ACD, ∴∠AEC=∠CAE, ∴AC=CE, ∴△ACE 是等腰三角形.
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第17课时┃等腰三角形

要证明一个三角形是等腰三角形, 必须得到两边相等, 而得到两边相等的方法主要有: (1)通过等角对等边得两边相等; (2)通过三角形全等得两边相等; (3)利用中垂线的性质得两边相等.

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第17课时┃等腰三角形
探究三 等腰三角形的多解问题

命题角度: 1.遇到等腰三角形的问题时,注意边有腰与底之分, 角有底角和顶角之分; 2.遇到三角形的高线的问题要考虑高在形内、形上 和形外等多种情况.

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第17课时┃等腰三角形

例 3 [2013· 白银] 等腰三角形的周长为 16,其一边长 为 6,则另两边长为____________________ . 5,5或6,4

解 析 分两种情况:(1)6 是等腰三角形的底边,由 于周长为 16,所以另两边的长为 5,5,且 5,5,6 能组成 三角形;(2)6 是等腰三角形的腰,由于周长为 16,所以另 两边的长为 4,6,且 4,6,6 能组成三角形.综上所述, 这个等腰三角形的另两边长是 5,5 或 6,4.

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第17课时┃等腰三角形

注意分类讨论思想的应用. 因为等腰三角形的边有腰与底之分, 角有底角和顶角之 分,等腰三角形的高线要考虑高在形内、形上和形外多种情 况.故当题中条件不明确时,要分类讨论.

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第17课时┃等腰三角形
探究四 等边三角形的判定与性质

命题角度: 等边三角形的判定与性质的综合.

例 4 [教材母题] 已知, 如图 17-3, 点 C 为线段 AB 上一 点,△ACM、△CBN 是等边三角形,AN 交 CM 于点 E,BM 交 CN 于点 F. 求证:(1)CE=CF;(2)EF∥AB.

图 17-3
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第17课时┃等腰三角形

(1)由等边三角形的性质证得△ACN 与△MCB 解 析 全等,得到相等的角,再通过证△ACE 与△MCF 全等,证得 结论;(2)先证△CEF 是等边三角形,通过特殊角证明角相等, 得到平行线.
解 证明:(1)∵△ACM、△CBN 是等边三角形, ∴AC=MC, CN=CB, ∠ACM=∠NCB=60°, ∴∠MCN =60°,∠ACN=∠MCB,∴△ACN≌△MCB,∴∠CAN =∠CMB,∴△ACE≌△MCF,∴CE=CF. (2)∵CE=CF,∠ECF=60°,∴△CEF 是等边三角形, ∴∠EFC=60°=∠NCB,∴EF∥AB.

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第17课时┃等腰三角形

等边三角形中的三边相等并且每个角都等于 60°, 所以要充分利用等边三角形的性质,证明三角形全等或 者构造全等三角形.

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第17课时┃ 等腰三角形

当 堂 检 测
1.等腰三角形两边长分别为 4 和 8,则这个等腰三角 形的周长为 ( C ) A.16 B.18 C.20 D.16 或 20
分情况讨论:若 4 为底,则这个等腰三角形 解 析 的周长为 20;若 8 为底,根据三角形的三边关系判断, 这个等腰三角形不存在.故选 C.

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第17课时┃等腰三角形

2.如图 17-4,已知△OAB 是正三角形,OC⊥OB, OC=OB,将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转,使得 OA 与 OC 重合,得到△OCD,则旋转的角度是 ( A )

图 17-4 A.150° B.120° C.90° D.60°

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第17课时┃等腰三角形

将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转, 使得 解 析 OA 与 OC 重合, 得到△OCD, 那么旋转的角度就是∠AOC 的大小.∵OC⊥OB,△OAB 是正三角形,∴∠AOC= ∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°.

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第17课时┃等腰三角形

3.如图 17-5,△ABC 中,AB=AC=6,BC=8,AE 平 分∠BAC 交 BC 于点 E, 点 D 为 AB 的中点, 连接 DE, 则△BDE 的周长是________ 10 .

图 17-5

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第17课时┃等腰三角形

解 析

由等腰三角形的“三线合一”,可知

AE⊥BC, BE=CE=4.由直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半知 DE=BD=3,所以△BDE 的周长是 10.

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第17课时┃等腰三角形

4.如图 17-6,△ABC 是等边三角形,D 是 AB 边上一 点,以 CD 为边作等边三角形 CDE,使点 E、A 在直线 DC 的同侧,连接 AE. 求证:AE∥BC.

图 17-6
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第17课时┃等腰三角形


证明:∵△ABC 和△EDC 是等边三角形, ∴BC=AC,DC=EC,∠BCA=∠DCE=60°, ∴∠BCA-∠ACD=∠DCE-∠ACD, 即∠BCD=∠ACE. 在△DBC 和△EAC 中, BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC, ∴△DBC≌△EAC(SAS),∴∠DBC=∠EAC. 又∵∠DBC=∠ACB=60°, ∴∠ACB=∠EAC, ∴AE∥BC.

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第18课时

直角三角形与勾 股定理

第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

皖 考 解 读
考点 直角三角 形的性质 与判定 考纲 要求 掌握 2011 2012 2013 选择题 选择题 填空题 4分 4分 5分 年份 题型 分值 预测热度 ★★

勾股定理及 掌握 逆定理 命题的相关 了解 概念 命题的证明 掌握
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★★★★★ ★ ★

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

考 点 聚 焦
考点1 直角三角形的性质与判定

1.直角三角形的两个锐角 ________ 互余 ; 2.在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角 边等于____________ 斜边的一半 ; 3.在直角三角形中,斜边上的中线等于 ____________. 斜边的一半 性 1 1 1.SRt△ABC= ch= ab,其中 a,b 为两直角边,c 为斜边,h 为斜 2 2 质 边上的高; a+b-c c 2.Rt△ABC 内切圆半径 r= ,外接圆半径 R= ,即等于 2 2 斜边的一半.
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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

互余 的三角形是直角三角形; 1.两个内角________ 判定 2.一边上的________ 中线 等于这边的一半的三角形是直 角三角形.

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理
考点2 勾股定理及逆定理

直角三角形两直角边 a、 b 的平方和等于斜边 c 的平 2 勾股 方,即:a ________. +b2=c2 定理 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数,称为 勾股数. 勾股 2 2 定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系:a ________ +b2=c, 的逆 那么这个三角形是直角三角形. 定理

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理
考点3 命题、定义、定理、公理
在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的 含义加以描述,作出明确的规定,也就是给它们下定义. 1.命题的概念:判断一件事情的句子叫做命题; 2.命题的真假:正确的命题称为________ 真命题 ;错误的命题称 为________ 假命题 ; 条件 和________ 结论 两个部 3.命题的组成:每个命题都由 ________ 分组成. 公理 公认的真命题称为________. 除公理以外,其他真命题的正确性都要经过推理的方法证 实,推理的过程称为 ________ 证明 .经过证明的真命题称为 定理 ________.

定义

命题

公理 定理

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理
考点4 互逆命题、互逆定理

互逆 命题 互逆 定理

如果两个命题的题设和结论正好相反,我们把这样 的两个命题叫做互逆命题,如果我们把其中一个叫 做________ 原命题 ,那么另一个叫做它的________. 逆命题 若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定 理的________ 逆定理 ,称这两个定理为互逆定理.

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

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探究一 利用勾股定理求线段的长度

命题角度: 1.利用勾股定理求线段的长度; 2.利用勾股定理解决折叠问题.

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

例 1 [2013· 资阳] 如图 18-1,点 E 在正方形 ABCD 内, 满足∠AEB=90°, AE=6, BE=8, 则阴影部分的面积是( C )

A.48
解 析

B.60

图 18-1 C.76

D.80

先根据勾股定理求出 AB= 62+82=10,所以
2

1 阴影部分的面积=10 - ×6×8=76.故选 C. 2
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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

运用勾股定理能解决的问题有: (1)已知直角三角形的任意两边求第三边; (2)根据勾股定理建立只含一个未知数的方程求解; (3)证明线段之间的平方关系.

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理
探究二 实际问题中勾股定理的应用

命题角度: 1.求最短路线问题; 2.求有关长度问题.

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

例 2 [教材母题] (1)如图 18-2, 长 3 米的梯子斜靠着墙, 梯子底部离墙底 0.6 米,问梯子顶端离地面多少米? (精确到 0.1 米) (2)上题中,若梯子的顶端自墙面下滑了 0.9 米,那么梯 子的底端沿地面向外滑动的距离是否也为 0.9 米?说明理 由.

图 18-2
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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

(1)画出符合题意的图形 (如图所示 )根据勾 解 析 股定理,易求出 BC 的长;(2)在滑动过程中,保持 AB=DE =3,由勾股定理求得 CD 长,进而求出 AD 的长,从而作出 合理的判断.

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理



根据题意,画出符合题意的图形(如图). (1)在 Rt△ABC 中,根据勾股定理得 BC= AB2-AC2= 32-0.62≈2.9(米).即梯子顶端离地面 2.9 米. (2)不是.理由:在 Rt△CDE 中,DE=AB=3,CE=2.9 -0.9=2,由勾股定理,得 CD= DE2-CE2= 32-22= 5≈ 2.24,AD=CD-AC=2.24-0.6≈1.6(米),即梯子向外滑动了 1.6 米.

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

利用勾股定理解决实际问题,一般要先画出符合题 意的图形,再根据勾股定理求解.

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理
探究三 勾股定理逆定理的应用

命题角度: 勾股定理的逆定理.
例 3 [2012· 广西] 已知三组数据:①2,3,4;②3,4,5; ③1, 3,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长, 构成直角三角形的有 A.② B.①② ( D ) C.①③ D.②③

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理
解 析 根据勾股定理的逆定理,只要两边的平方和等于第三边的平 方即可构成直角三角形,所以只需判断两个较小的数的平方和是 否等于最大数的平方即可. ①∵22+32=13≠42, ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形,故不符合 题意; ②∵32+42=52, ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形,故符合题意;

③∵12+( 3)2=22, ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形,故符合题意. 故构成直角三角形的有②③. 故选 D.
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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

判断三条线段是否能构成直角三角形的三边,方法是: 判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方.

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

当 堂 检 测
1.如图 18-3,矩形 OABC 的边 OA 长为 2,边 AB 长 为 1,OA 在数轴上,以原点 O 为圆心,对角线 OB 的长为半 径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是 ( D )

图 18-3 A.2.5
解 析

B.2 2

C.

3

D. 5

由勾股定理求出 OB= 5,根据同弧的半径

相等,得这个点表示的实数是 5.故选 D.
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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

2.如图 18-4,△ABC 中,∠C=90°,AC=3,∠B= 30°,点 P 是 BC 边上的动点,则 AP 长不可能是 ( D )

A.3.5

B.4.2

图 18-4 C.5.8

D.7

解 析 在 Rt△ABC 中, 求出 AB=6, 所以 3≤AP≤6, 则 AP 长不可能是 7.故选 D.
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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

3. 8-5 所示,已知在三角形纸片 ABC 中,BC=3,AB =6,∠BCA=90°,在 AC 上取一点 E,以 BE 为折痕,使 AB 的一部分与 BC 重合,A 与 BC 延长线上的点 D 重合,则 2 3 . DE 的长度为________

图 18-5
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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

DE=AE, ∵BC=3, 解 析 由折叠可知 BD=BA=6, ∴CD=BC=3,∴BE=DE=AE,由勾股定理可得 AC= ? ? 3 3.设 DE=AE=BE=x, 在 Rt△BCE 中, 32+?3 3-x?2
? ?

=x2,解得 x=2

3,即 DE 的长度为 2

3.

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

4. 如图 18-6, 在 Rt△ABC 中, ∠C=90°, BC=6 cm, AC=8 cm,按图中所示方法将△BCD 沿 BD 折叠,使点 C 落在 AB 边上的 C′点,那么△ADC′的面积是________ 6 cm2 .

图 18-6

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第18课时┃ 直角三角形与勾股定理

一般学生考虑直接用勾股定理计算△ADC′ 的边 解 析 长,再求面积.实际上,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC= 6 cm,AC=8 cm,利用勾股定理计算 AB=10 cm,由折叠知 DC=DC′,△BCD 与△ABD 面积比为 6∶10,而这两个三角 1 形面积和为三角形 ABC 的面积,为 ×8×6=24(cm2),因此 2 △BCD 的面积为 9 cm2,△ABD 的面积为 15 cm2,由折叠可 以得到△BDC′的面积为 9 cm2,所以△ADC′的面积是 15-9 =6(cm2).

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第19课时 相似三角形及其应用

第19课时┃ 相似三角形及其应用

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考点 考纲 年份 要求 题型 分值 预测热度 ★ 解答题 解答题 解答题 填空题 解答题 解答题 14 分 12 分 12 分 5分 4分 8分

成比例线段 了解 及其性质 2010 相似三角 2011 形的性质 理解 2012 与判定 2013 2013 图形的位似 理解 2011 利用相似解 掌握 决实际问题
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★★★★★

★★ ★★

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

考 点 聚 焦
考点1 相似图形的有关概念

相似图形 形状相同的图形称为相似图形. 如果两个多边形满足对应角相等,对应边的 相似多边 比相等,那么这两个多边形相似. 形的概念 相似多边形对应边的比称为相似比. 两个三角形的对应角相等,对应线段成比例, 相似三角 则这两个三角形相似. 形的概念 当相似比 k=________ 时,两个三角形全等. 1

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第19课时┃ 相似三角形及其应用
考点2 比例线段

定义 对于四条线段 a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的 线段 比与另两条线段的长度的比相等,即_____________ a∶b=c∶d ,那 么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 在线段 AB 上, 点 C 把线段 5-1 AB 分成两条线段 AC 和 BC(AC = AB 黄金 >BC),如果AC ____________ ,那么称线段 AB 被点 C 黄金 2 分割 分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,AC 与 AB 的比 0.618 叫做黄金比,黄金比约为________.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用
考点3 平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线,所得的对应线段 定理 成比例 ________. 平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延 推论 长线),所得的对应线段________. 成比例

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第19课时┃ 相似三角形及其应用
考点4 相似三角形的判定

一般 三角 形相 似的 判定

1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的 三角形与原三角形________. 相似 成比例 ,那么这两个三 2.如果两个三角形的三边对应 ________ 角形相似. 成比例 ,并且它们的 3. 如果两个三角形的两边对应 ________ ________ 夹角 相等,那么这两个三角形相似. 4. 如 果 一 个 三 角 形 的 两 个 角 与 另 一 个 三 角 形 的 ______________________ ,那么这两个三角形相似. 两个角对应相等

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

直角 三角 形相 似的 判定

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一 对应成比例 , 个直角三角形的斜边和一条直角边 ___________ 那么这两个直角三角形相似 . 1. 一般三角形相似的判定方法对于直角三角形完 全适用; 2. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角 形与原直角三角形相似 .

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第19课时┃ 相似三角形及其应用
考点5 相似三角形的性质

相似 三角 形 相似多 边形

相似比 (1)相似三角形周长的比等于________. (2)相似三角形面积的比等于_____________. 相似比的平方 (3)相似三角形对应高、 对应角平分线、对应中线 的比等于相似比. 相似比 (1)相似多边形周长的比等于________. 相似比的平方 (2)相似多边形面积的比等于_____________.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用
考点6 位似

定 义

性 质 位 似 作 图

两个多边形不仅相似, 而且每组对应顶点所在直线相交 于 一 点 , 这 个 点 叫 做 位似中心 ________ , 对 应 边 的 比 叫 做 位似比 .位似是一种特殊的相似. ________ (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的 相似比 ; 比等于________ 一 (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________ 点; (3)位似图形对应边平行或在一条直线上 __________________; (4)位似图形对应角相等. (1)确定位似中心 O; (2)连接图形各顶点与位似中心 O; (3)按照相似比取点; (4)顺次连接各点,所得图形就是所求作的图形.
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第19课时┃ 相似三角形及其应用
考点7 相似三角形的应用

几何图 形的证 明与计算 相似三角 形在实际 生活中的 应用

证明线段的数量关系,求线段的长度,图形的 面积等. 首先根据题中的条件,找出相似三角形,再利 用相似三角形的性质解答. (1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形 求解; (2)测量底部可以到达的物体的高度; (3)测量底部不可以到达的物体的高度; (4)测量河的宽度.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

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探究一 比例线段
命题角度: 1.比例线段; 2.黄金分割在实际生活中的应用; 3.平行线分线段成比例定理.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

例 1 [2013· 上海] 如图 19-1,已知在△ABC 中,点 D、 E、F 分别是边 AB、AC、BC 上的点,DE∥BC,EF∥AB, 且 AD∶DB=3∶5,那么 CF∶CB 等于 ( A)

A.5∶8 C.3∶5
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图 19-1 B.3∶8 D.2∶5
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第19课时┃ 相似三角形及其应用

解 析 由 AD∶DB=3∶5,得 DB∶AB=5∶8,根据 平行线与成比例线段的关系, DE∥BC ,可得 DB∶AB = CE∶AC = 5∶8 ,再由 EF∥AB ,得 CF∶CB = CE∶AC = 5∶8,故选 A.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

已知平行线求线段的比,一般是根据平行线的性质,得 到成比例线段,并对比例式进行变形求解. 求两条线段的比时,长度单位要统一.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用
探究二 相似三角形的性质及其应用

命题角度: 1.利用相似三角形的性质求角的度数或线段的长度; 2.利用相似三角形的性质探求比值关系; 3.利用相似三角形的性质求几何图形的周长或面积.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

例 2 [2013· 雅安] 如图 19-2,DE 是△ABC 的中位线,延长 DE 至 F 使 EF=DE, 连接 CF, 则 S△CEF∶S 四边形 BCED 的值为( A )

A.1∶3 C.1∶4

图 19-2 B.2∶3 D.2∶5

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

解 析

由 DE 是△ABC 的中位线,得到 DE∥BC,DE

1 = BC,进而得到△ADE∽△ABC,S△ADE∶S△ABC=1∶4, 2 S△ADE∶S 四边形 BCED=1∶3,易证△ADE 与△CFE 全等,所以 S△CEF∶S 四边形 BCED 的值为 1∶3,故选 A.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

涉及求线段的比或三角形周长、面积的比的问题时, 通常是由平行线得到相似三角形,再根据相似三角形的性 质求解.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用
探究三 三角形相似的判定方法及其应用

命题角度: 1.利用两个角判定三角形相似; 2.利用两边及夹角判定三角形相似; 3.利用三边判定三角形相似.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

例 3 [2013· 南充] 如图 19-3, 等腰梯形 ABCD 中, AD∥BC, AD=3, BC=7, ∠B=60°, P 为 BC 边上一点(不与 B, C 重合), 过点 P 作∠APE=∠B,PE 交 CD 于 E. (1)求证:△APB∽△PEC; (2)若 CE=3,求 BP 的长.

图 19-3

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第19课时┃ 相似三角形及其应用



(1) 证明:等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC, ∴∠B=∠C=60°. ∵∠APC=∠B+∠BAP,∠APE=∠B, ∴∠BAP=∠EPC,∴△APB∽△PEC.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

(2)过点 A 作 AF∥CD 交 BC 于 F,则四边形 ADCF 为平行 四边形,△ABF 为等边三角形,∴CF=AD=3,AB=BF=7- BP AB 3=4.∵△APB∽△PEC,∴ = ,设 BP=x,则 PC=7-x. EC PC 4 x 又 EC=3,AB=4,∴ = ,整理,得 x2-7x+12=0.解得 3 7-x x1=3,x2=4.经检验,x1=3,x2=4 是所列方程的根,∴BP 的 长为 3 或 4.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

判定两个三角形相似的常规思路:(1)先找两对对应角相 等;(2)若只能找到一对对应角相等,则判断夹相等的角的两 边是否对应成比例; (3)若找不到角相等,就判断三边是否对 应成比例.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用
探究四 位似 命题角度: 1.位似图形及位似中心的定义; 2.位似图形的性质应用; 3.利用位似变换在网格纸里作图.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用
例 4 [2012· 丹东] 已知:△ABC 在坐标平面内,三个顶点的坐标 分别为 A(0,3),B(3,4),C(2,2).(正方形网格中,每个小正方形的 边长是 1 个单位长度) (1)画出△ABC 向下平移 4 个单位得到的△A1B1C1,并直接写出 C1 点的坐标; (2) 以点 B 为位似中心,在网格中 画出△A2BC2 ,使△A2BC2 与 ... △ABC 位似,且位似比为 2︰1,并直接写出 C2 点的坐标及△A2BC2 的面积.

图 19-4
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第19课时┃ 相似三角形及其应用


(1)如图,△A1B1C1 即为所求,C1(2,-2). (2)如图,△A2BC2 即为所求,C2(1,0),△A2BC2 的面 积等于 10.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

利用位似将图形放大或缩小的作图步骤:第一步:在 原图上选取若干个关键点,任取一点 P 作为位似中心;第 二步:以各关键点为端点向点 P 作射线;第三步:分别在 射线上取关键点的对应点,满足放缩比例;第四步:顺次 连接截取点,即可得到符合要求的新图形.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用
探究五 相似三角形的实际应用

命题角度: 利用相似三角形知识解决生活中的问题.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

例 5 [2013· 滨州] 某高中学校为高一新生设计的学生板 凳的正面视图如图 19-5 所示.其中 BA=CD,BC=20 cm, BC、EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的距离分别为 40 cm、 8 cm,为使板凳两腿底端 A、D 之间的距离为 50 cm,那么 横梁 EF 应为多长?(材质及其厚度等暂忽略不计 )

图 19-5

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

过点 C 作 CM∥AB,构造相似三角形,根据 解 析 相似三角形的性质求出 NF, 根据平行四边形的性质求出 EN, 最后运用线段和差求 EF.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

解 过点 C 作 CM∥AB,交 EF、AD 于 N、M, 作 CP⊥AD,交 EF、AD 于 Q、P.由题意,得四边形 ABCM 是平行四边形,∴EN=AM=BC=20 cm,∴MD=AD-AM =50-20=30(cm).由题意知 CP=40 cm,PQ=8 cm,∴CQ NF CQ NF =32 cm.∵EF∥AD, ∴△CNF∽△CMD, ∴ = , 即 MD CP 30 32 = , 解得 NF=24(cm), ∴EF=EN+NF=20+24=44(cm). 40 答:横梁 EF 的长应为 44 cm.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

利用相似三角形的性质解决实际问题,通常添作平行 线作为辅助线,构造相似三角形,并根据相似三角形的性 质解题.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

当 堂 检 测
1.如图 19-6,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC, AO BD 相交于点 O,若 AD=1,BC=3,则 的值为 (B) CO

1 A. 2

1 B. 3

图 19-6 1 1 C. D. 4 9

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

解 析

AO 由 AD∥BC 得△AOD∽△COB, 所以 = CO

AD 1 = ,故选 B. CB 3

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

2.如图 19-7,小正方形的边长均为 1,则下列图中的三角 形(阴影部分)与△ABC 相似的是 (B )

图 19-7

图 19-8

解 析 根据勾股定理先算出每个三角形的边长,再根 据相似三角形的判定方法得出结论,应选 B.

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

3.如图 19-9,已知直线 a∥b∥c,直线 m、n 与 a、b、 c 分别交于点 A、C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD 7.5 . =3,则 BF=________

图 19-9
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第19课时┃ 相似三角形及其应用

在直线 BF 上,已知 BD=3,求 BF,可由 BF AE 直线 a∥b∥c 得 = ,代入已知数据可得 BF=7.5. BD AC
解 析

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第19课时┃ 相似三角形及其应用

4.如图 19-10,△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片,AD 是边 BC 上的高,BC=40 cm,AD=30 cm,从这张硬纸片上 剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH,使它的一边 EF 在 BC 上,顶点 G、H 分别在 AC、AB 上,AD 与 HG 的交 点为 M. AM HG (1)求证: = ; AD BC (2)求矩形 EFGH 的周长.

图 19-10
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第19课时┃ 相似三角形及其应用
解 (1)证明:∵四边形 EFGH 为矩形, ∴EF∥GH, ∴△AHG∽△ABC. 又∵AD⊥BC,∴AM⊥HG, AM HG ∴ = . AD BC AM HG (2)由(1)得 = ,设 HE=x,则 HG=2x. AD BC ∵AD⊥BC,∴DM=HE, ∴AM=AD-DM=AD-HE=30-x, 30-x 2x 可得 = ,解得 x=12,2x=24, 30 40 所以矩形 EFGH 的周长为 2×(12+24)=72(cm).
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第20课时

锐角三角函数及其应用

第20课时┃ 锐角三角函数及其应用

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考点 锐角三角函数 的意义 特殊角三角 函数值 解直角三角形 的应用 考纲 要求 了解 了解 2013 2010 2011 2012 2013 解答题 2分 年份 题型 分值 预测热度 ★ ★★

掌握

解答题 8 分 解答题 10 分 ★★★★ ★ 解答题 10 分 解答题 10 分

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用

考 点 聚 焦
考点1 锐角三角函数的定义 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.

正弦 ∠A的对边 a sinA= = c 斜边

余弦 cosA=

正切 tanA=

∠A的邻边 b ∠A的对边 a = = c ∠A的邻边 b 斜边
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它们统称为∠A 的锐角三角函数.
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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用
考点2 特殊角三角函数值

α 30° 45° 60°

sinα 1 2 2 2 3 2

cosα 3 2 2 2 1 2

tanα
3 3

1

3

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用
考点3 解直角三角形

在 Rt△ABC 中,∠C=90°,则: 2 2 2 c (1)三边关系:a +b =________; 解直角 (2)两锐角关系:∠A+∠B=________ 90° ; 三角形 a 的常用 (3)边与角关系:sinA=cosB=________ ; c 关系 a b cosA=sinB=________ ;tanA=________ ; b c (4)sin2A+cos2A=1.

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用
考点4
仰角和 俯角

解直角三角形的应用常用知识
1.仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫 仰角. 2.俯角:视线在水平线下方的叫俯角. 1.坡度: 坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的坡度(或 坡比),记作 i=________. h∶l 2.坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α ,i=tanα . 坡度越大,α 角越大,坡面________. 越陡 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角叫

坡度和 坡角

方向角 (或方 位角)

做方向角.

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用

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探究一 求三角函数值
命题角度: 1.正弦值的计算; 2.余弦值的计算; 3.正切值的计算.

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用

例 1 [2013· 宿迁] 如图 20-1,将∠AOB 放置在 5×5 的 正方形网格中,则 tan∠AOB 的值是 ( B )

2 A. 3

3 B. 2

图 20-1 2 13 3 13 C. D. 13 13

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用

解 析 利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函 数的定义求解.过点 A 作 AC⊥OB 于点 C,在 Rt△AOC AC 3 中,tan∠AOB= = .故选 B. OC 2

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用

解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是:从所 给的图形中找出直角三角形,确定直角三角形的边长,依据 三角函数的定义进行求解.

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用
探究二 特殊锐角的三角函数值的应用 命题角度: 1.30°、45°、60°角的三角函数值; 2.已知特殊三角函数值,求角度.

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例 2 [2013· 邵阳] 在△ABC

? ? 1? 1? 2 ? ? ? 中,若?sinA- ?+?cosB- ? 2? ? 2? ? ?

=0,则∠C 的度数是 A.30° B.45° C.60°

( D) D.90°

解 析

? ? 1? 1? 2≥0,根据非负数 ? ? ? 由于?sinA- ?≥0,?cosB- ? 2? 2? ? ? ?

1 1 的性质,得 sinA= ,cosB= ,依据特殊角三角函数值求得∠A 2 2 =30°,∠B=60°,最后利用三角形内角和定理可求得∠C= 180°-30°-60°=90°.故选 D.

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用

解答与特殊角的三角函数值有关的问题的关键是熟记 特殊角的三角函数值.一般有两种情形: 1.已知特殊角,求三角函数值; 2.已知三角函数值,求这个特殊的角度.

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用
探究三 解直角三角形

命题角度: 1.利用三角函数解直角三角形; 2.将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形.

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用

例 3 [2013· 常德] 如图 20-2,在△ABC 中,AD 是 BC 1 边上的高,AE 是 BC 边上的中线,∠C=45°,sinB= , 3 AD=1. (1)求 BC 的长;(2)求 tan∠DAE 的值.

图 20-2

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用

(1)在直角三角形中,运用三角函数关系求 解 析 出 CD、BD 的值,再根据线段和差求 BC;(2)在 Rt△ADE 中,求出 ED,再根据三角函数关系求 tan∠DAE 的值.

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用


(1)∵AD 是 BC 边上的高,∴AD⊥BC.在 Rt△ABD 中, AD 1 ∵sinB= = ,又 AD=1,∴AB=3, AB 3 ∴BD= 32-12=2 2.在 Rt△ADC 中, 2+1.

∵∠C=45°,∴CD=AD=1,∴BC=2 (2)∵AE 是 BC 边上的中线, 2 2+1 1 ∴DE= -1= 2- , 2 2 1 2- 2 1 ∴tan∠DAE= = 2- . 1 2
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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用

作三角形的高, 将非直角三角形转化为直角三角形是解 直角三角形常用的方法. 解直角三角形巧选三角函数:有斜 用弦 ,无斜 用切 ,宁 . . . . 乘勿除,取原避中 (已知条件有斜边选择正弦或余弦,没有 斜边用正切,尽量选用乘法和原始数据计算 ).

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用
探究四 解直角三角形的应用

命题角度: 1.计算某些建筑物的高度(或宽度); 2.利用直角三角形解决方位角、仰角、俯角、坡角、 坡比等问题; 3.将实际问题转化为直角三角形问题.

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用

例 4 [2012· 内江] 水务部门为加强防汛工作,决定对某水库 大坝进行加固,大坝的横截面是梯形 ABCD,如图 20-3 所示, 已知迎水坡面 AB 的长为 16 米,∠B=60°,背水坡面 CD 的长 为 16 3米, 加固后大坝的横截面为梯形 ABED, CE 的长为 8 米. (1)已知需加固的大坝长为 150 米,求需要填土石多少立方 米? (2)求加固后大坝背水坡面 DE 的坡度.

图 20-3
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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用

解 析

(1)加固大坝的部分就是△DCE,然后再

用△DCE 的面积乘以大坝的长就可以了.而要求△DCE 的 面积,就需要知道 CE 边上的高,为此需要添加过点 D 垂 直于 BC 的辅助线; (2)坡面 DE 的坡度就是它的垂直高度与 水平宽度的比值.

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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用


(1)过点 A 作 AG⊥BC 于点 G,过点 D 作 DH⊥BC 于 H,

∴AG=DH. 3 在 Rt△ABG 中,AG=sin60°×AB= ×16=8 2 ∴DH=8 3, 3×8=32 3, 1 1 ∴S△DCE= ·DH·CE= ×8 2 2 ∴需要填土石 32
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3,

3×150=4800
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3(立方米).
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第20课时┃ 锐角三角函数及其应用

(2)在 Rt△DHC 中, HC= DC2-DH2= (16 3)2-(8 3)2=24, ∴HE=HC+CE=24+8=32, 3 DH 8 3 ∴加固后大坝背水坡面 DE 的坡度= = = . HE 32 4

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[点评 ] ①解梯形的面积问题最常用的辅助线就是它的 高,需要说明的是任何一个梯形的两条高都是相等的,其根 据是平行线之间的距离处处相等; ②坡度又叫坡比,指的是坡角的正切值,或者说是垂直 高度与水平宽度的比值.

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变式题 [2012· 常德] 如图 20-4,一天,我国一渔政船 航行到 A 处时, 发现正东方向的我领海区域 B 处有一可疑渔 船,正在以 12 海里/时的速度向西北方向航行.我渔政船立 即沿北偏东 60°方向航行,1.5 小时后,在我领海区域的 C 处截获可疑渔船. 问我渔政船的航行路程是多少海里?(结果 保留根号)

图 20-4
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首先在直角三角形 BCD 中求得 CD 的长,然 解 析 后在直角三角形 ACD 中求得 AC 的长即可. 如图,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D. 解

在 Rt△BDC 中,因为 BC=12×1.5=18(海里), ∠CBD=90°-45°=45°, 所以 CD=18· sin45°=9 所以 AC=2CD=18
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2(海里).

在 Rt△ADC 中,因为∠CAD=90°-60°=30°, 2(海里). 2海里.
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答:我渔政船的航行路程是 18

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在实际测量高度、宽度、距离等问题中,常结合视角知识构 造直角三角形, 利用三角函数或相似三角形来解决问题. 常见的 构造的基本图形有如下几种: ①不同地点看同一点:

图 20-5

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②同一地点看不同点:

图 20-6 ③利用反射构造相似:

图 20-7 ④堤坝问题:

图 20-8
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1. 点 M(-sin60°, cos60°)关于 x 轴对称的点的坐标是( B ) ? 3 1? ? 3 1? ? ? ? A.? , ? B.?- ,- ? 2? 2 2? ? 2 ? ? ? ? 1 3 1? 3? ? ? ? C.?- , ? D.?- ,- ? 2 2? 2? ? ? 2 ?
3 1 由于 sin60°= ,cos60°= ,所以点 M 关 解 析 2 2 ? 3 1? ? 于 x 轴对称的点的坐标是?- ,- ? ?.故选 B. 2 2 ? ?

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2.[2012· 乐山] 如图 20-9,在 Rt△ABC 中,∠C=90°, AB=2BC,则 sinB 的值为 ( C )

1 A. 2
解 析

2 B. 2

图 20-9 3 C. D.1 2

设 BC=m,则 AB=2m,根据勾股定理可 3m 3 AC 求得 AC= 3m,sinB= = = .故选 C. AB 2m 2
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2 3 3.如图 20-10,△ABC 中,cosB= ,sinC= ,AC= 2 5 21 5,则△ABC 的面积是________. 2

图 20-10

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2 解 析 过 A 作 AD⊥BC,因为 cosB= 2 ,所以∠B= AD 3 AD 3 45°,所以 AD=BD.因为 sinC= = ,所以 = ,解得 AC 5 5 5 AD=BD=3,所以 DC= AC2-AD2= 52-32=4,所以 BC 1 1 21 =BD+DC=7,S△ABC= BC·AD= ×7×3= . 2 2 2

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4. 如图 20-11 所示,河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是
10 m . 1∶ 3,堤高 BC=5 m,则坡面 AB 的长度是________

图 20-11

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解 析

BC 1 迎水坡 AB 的坡比为 1∶ 3, 即 = , 又 AC 3 3 , 所 以 AB = AC2+BC2 =

BC = 5 , 所 以 AC = 5 (5 3)2+52=10.

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