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2018课标版文数一轮(11)第十一章-复数、算法、推理与证明4-第四节 直接证明与间接证明


第四节

直接证明与间接证明
A 组 基础题组

1.用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要作的假设是(
3

)

A.方程 x +ax+b=0 没有实根
3

B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根
3

C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根
3

D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根
3

2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证 2 -ac< 3a”索的因应是 ( ) B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0 )

A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0

3.在△ABC 中,sinAsinC<cosAcosC,则△ABC 一定是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不确定
1 1 1

4.设 a,b,c 均为正实数,则三个数 a+ ,b+ ,c+ ( A.都大于 2 C.至少有一个不大小 2 5.已知函数 f(x)= A.A≤B≤C C.B≤C≤A
1 2

)

B.都小于 2 D.至少有一个不小于 2
+ 2

,a,b 为正实数,A=f

,B=f( ),C=f

2 +

,则 A,B,C 的大小关系为(

)

B.A≤C≤B D.C≤B≤A
2 2 2

6.不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,并且 x 是 a,b 的等比中项,y 是 b,c 的等比中项,则 x ,b ,y 三数 ( )

A.成等比数列而不成等差数列 B.成等差数列而不成等比数列
1

C.既成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列 7.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,若 x1+x2>0,则 f(x1)+f(x2)的值( A.恒为负值 C.恒为正值
n

)

B.恒等于零 D.无法确定正负
2014

8.将 2 按如表所示的规律填在 5 列的数表中,设 2 的和 Sn= . 2 2 2
8 1 7 9

排在数表的第 n 行,第 m 列,则第 m 列中的前 n 个数

2 2 2 2

2 6

2 2 2 2

3 5

2 2

4

2 2 2

10 14

11 13

12

16

15

? 9.在数列{an}中,已知 a1=4,
1 +1 1

?
4

?
*

?

?

=4,bn+2=3log 1 an(n∈N ).

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等差数列.

10.若 f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数 f(x)是[a,b]上的“四维光军”函数. (1)设 g(x)=2x -x+2是[1,b]上的“四维光军”函数,求常数 b 的值;
2

1

3

(2)是否存在常数 a,b(a>-2),使函数 h(x)= 若不存在,请说明理由.

1

+2

是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出 a,b 的值;

2

B组
11.设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a +b >2;⑤ab>1.
2 2

提升题组

其中能推出“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是( A.②③ B.①②③ C.③

)

D.③④⑤ )

12.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则( A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形

13.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am、an 使得 =4a1,则 + 的最小值为( A.2
3

1 4

)

B.3

5

C. 6

25

D.不存在
2 2

14.若二次函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1 在区间[-1,1]内至少存在一个数 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取 值范围是 .
2

15.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点,当 f(c)=0,且 0<x<c 时,f(x)>0. (1)证明: 是 f(x)=0 的一个根; (2)试比较 与 c 的大小; (3)证明:-2<b<-1.
1 1

3

答案全解全析 A 组 基础题组
1.A “方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”等价于“方程 x +ax+b=0 的实根的个数大于或等于 1”,因此,
3 3

要作的假设是方程 x +ax+b=0 没有实根.
3

2.C b 2 -ac< 3a?b -ac<3a ?(a+c) -ac<3a ?a +2ac+c -ac-3a <0?-2a +ac+c <0?2a -ac-c >0?(a-c)·
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 3.C ∵cosAcosC-sinAsinC>0, 即 cos(A+C)>0,∴-cosB>0,∴cosB<0,B 为钝角. 故△ABC 为钝角三角形. 4.D ∵a>0,b>0,c>0, ∴ a+
1 b

+ b+

1 c

+ c+

1 a

= a+

1 a

+ b+

1 b

+ c+

1 c

≥6,当且仅当 a=b=c=1 时,“=”成立,故三者不能都

小于 2,即至少有一个不小于 2. 5.A 因为 a,b 为正实数,所以 f
a+b 2 a+b 2

≥ ab≥a+b ,又 f(x)=

2ab

1 x 2

在 R 上是单调减函数,故

≤f( ab)≤f

2ab a+b

.

a + c = 2b,① 6.B 由已知条件,可得 x 2 = ab,② y 2 = bc.③ 由②③得 a= c=
2

x2 b y2 b

, x2 y2 代入①,得 + =2b, b b .
2 2 2 2 2 2

即 x +y =2b ,故 x ,b ,y 成等差数列(x ,b ,y 不成等比数列).
2 2

7.A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,可知 f(x)是 R 上的单调递减函数,由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,则 f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则 f(x1)+f(x2)<0,故选 A. 8. 答案
22018 -4 15

4

解析 由于 2014=4×503+2,故 2 Sn=
22 [1-(24 )504 ] 22018 -4 1-24

2014

位于表格的第 504 行第 3 列,所以 n=504,m=3.所以

=

15

.
1 a n +1 1 an

9. 解析 (1)因为 a1=4, 所以 an=
1 n 4

=4,所以数列{an}是首项为4,公比为4的等比数列,

1

1

(n∈N ).

*

(2)证明:因为 bn=3lo1 an-2,
4

所以 bn=3lo1
4

1 n 4

-2=3n-2.

所以 b1=1,公差 d=3, 所以数列{bn}是首项 b1=1,公差 d=3 的等差数列. 10. 解析 (1)由已知得 g(x)= (x-1) +1,其图象的对称轴为直线 x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,
2

1 2

所以函数在区间[1,b]上单调递增. 由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b, 即 b -b+ =b,解得 b=1 或 b=3,
2

1 2

3 2

因为 b>1,所以 b=3. (2)不存在.理由如下:假设函数 h(x)=
1 1

x+2

在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,

因为 h(x)=x+2在区间(-2,+∞)上单调递减, 所以有
1

h(a) = b, h(b) = a,



= b, 解得 a=b,这与已知矛盾.故不存在. = a, b+2
a+2 1

B 组 提升题组
11.C 若 a=2,b=3,则 a+b>1,但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,但不满足 a,b 中至少有一个大于 1,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a +b >2,但 a<1,b<1,故④推不出;
2 2

1

2

5

若 a=-2,b=-3,则 ab>1,但 a<1,b<1,故⑤推不出. 对于③,若 a+b>2,则“a,b 中至少有一个大于 1”成立. 证明(反证法):假设 a≤1 且 b≤1,则 a+b≤2,与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,故 a,b 中至少有一个大于 1.故选 C. 12.D 由条件知,△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角形,假设△A2B2C2 是锐角三 角形, 由题意不妨令 cosA1=sinA2,cosB1=sinB2,cosC1=sinC2. 2 = 1 = (90°-1 ), 由 2 = 1 = (90°-1 ), 2 = 1 = (90°-1 ), A2 = 90°-A1 , 得 B2 = 90°-B1 , C2 = 90°-C1 . 那么 A2+B2+C2=90°,这与“三角形内角和为 180°”相矛盾. 所以假设不成立,又显然△A2B2C2 不是直角三角形,所以△A2B2C2 是钝角三角形. 13.A 由题意可知,a5q =a5q+2a5(q>0,a5>0),化简得 q -q-2=0,解得 q=2 或 q=-1(舍去).
2 2

由 am an =4a1,得 a1q ·a1q =16a2 1,
m-1 n-1

∴q

m+n-2

=16=2 ,

4

∴m+n=6, ∴m +n =
1 1 4 1 m

+n ·
4m n

4

m+n 1 6 n

=6 5 +
3

4m n

+m
4m n

n

≥6 5 + 2 14. 答案

· m =2,当且仅当 n =m ,即 m=2,n=4 时,取“=”.
3 2
2

-3,

解析 由题意可得只需 f(-1)>0 或 f(1)>0 即可,由 f(1)>0,得 2p +3p-9<0,即-3<p< ;由 f(-1)>0,得
2

3

2p -p-1<0,即-2<p<1.故所求实数 p 的取值范围是-3<p<2.
2

1

3

15. 解析 (1)证明:∵f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根,设为 x1,x2,
6

∵f(c)=0,∴x1=c 是 f(x)=0 的根, 又 x1x2=a ,∴x2=a
1 c 1 1 a

≠c ,

∴a 是 f(x)=0 的一个根. (2)假设 <c,
a 1

由 0<x<c 时,f(x)>0,且a >0, 知f
1 a 1 a

1

>0 与 f
1 a

1 a

=0 矛盾,
1 a

∴ ≥c,又∵ ≠c,∴ >c. (3)证明:由 f(c)=0,得 ac+b+1=0, ∴b=-1-ac. 又 a>0,c>0,∴b<-1. 二次函数 f(x)的图象的对称轴为 x=-2a = 又a >c,∴x2>x1,∴ 即- < .
2a a b 1 1 x 1 +x 2 x 2 +x 2 2 b x 1 +x 2 2

.

<

2

=x2=a ,

1

又 a>0,∴b>-2,∴-2<b<-1.

7


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