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四川省资阳市2014-2015学年高一下学期期末质量检测数学试题

资阳市 2014—2015 学年度高中一年级第二学期期末质量检测
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,第Ⅰ卷(选择题)1 至 2 页,第Ⅱ卷(非选择题) 3 至 8 页,共 8 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。 3.考试结束时,将本试卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1.直线 3x ? 3y ?1 ? 0 的倾斜角是

(A) ? 6

(B) ? 3

2.下列各组平面向量中,可以作为基底的是

(C) 2? 3

(D) 5? 6

(A) e1 ? (0,0),e2 ? (1,? 2)

(B) e1 ? (?1,2),e2 ? (5,7)

(C) e1 ? (3,5),e2 ? (6,10)

(D)

e1

?

(2,? 3),e2

?

( 1 ,? 2

3) 4

3.等差数列?an? 满足 a1 ? 1 ,公差 d ? 3,若 an ? 298 ,则 n ?

(A) 99

(B) 100

(C) 101

(D) 102

4.在 ?ABC 中,角 A,B,C 对边分别为 a,b,c .若 A ? ? ,a ? 3,b ? 4 ,则 a ? b ?

6

sin A ?sin B

(A) 3 3 (C) 6

(B) 6 3 (D) 18

5.若 a ? 0, ?1? b ? 0 ,则下列不等关系正确的是

(A) ab ? ab2 ? a (C) ab ? a ? ab2

(B) ab2 ? ab ? a (D) a ? ab ? ab2

6.设 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点, O 为四边形 ABCD 所在平面内任意一点,

则 OA ? OB ? OC ? OD ?

(A) OM

(B) 2OM

(C) 3OM

(D) 4OM

7.等比数列?an? 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4a7 ? 18 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? log3 a10 ?

(A) 2 ? log3 5 (C) 10

(B) 8 (D) 12

8.已知正数 a,b 满足 a ? 2ab ? b ? 0 ,则 2a ? b 的最小值为

(A) 3 ? 2 2

(B) 2 2

(C) 1 ? 2

(D) 3

9.一艘轮船从 A 出发,沿南偏东 70? 的方向航行 40 海里后到达海岛 B,然后从 B 出发,

沿北偏东 35°的方向航行了 40 2 海里到达海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到 C,此

船航行的方向和路程(海里)分别为

(A) 北偏东 80? , 20( 6 ? 2)

(B) 北偏东 65? , 20( 3 ? 2)

(C) 北偏东 65? , 20( 6 ? 2)

(D) 北偏东 80? , 20( 3 ? 2)

10.在 ?ABC 中,点 D,E 分别是边 AB,AC 上的一点,且满足 AD ? 1 AB , AE ? 1 AC ,

3

3

若 CD⊥BE,则 cos A 的最小值是

(A) 3 5
(C) 4 5

(B) 3 2
(D) 2 2

资阳市 2014—2015 学年度高中一年级第二学期期末质量检测
数学

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)

题号 二 得分

三 16 17 18 19 20 21

总分

总分人

注意事项: 1.第Ⅱ卷共 6 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。

11.数列?an? 满足 a1 ? 1,an?1 ? an ? 2n ,则 a5 ?

.

?x ? y ? 3 ? 0,

12. 已知实数 x,y 满足约束条件 ??1 ? x ? 3, 则 z ? x ? y 的最大值是

.

?? y ? 1,

13.钝角三角形 ABC 的面积是 1 , AB ? 1,BC ? 2 ,则 AC ?

.

2

14. 已知点 A(2,2) 和点 B(5,? 2),点 P 在 x 轴上,且 ?APB 为直角,则直线 AP 的斜率



.

15.在钝角△ABC 中,∠A 为钝角,令 a ? AB,b ? AC ,若 AD ? xa ? yb(x,y ? R) .现给出

下面结论:

① 当 x ? 1,y ? 1 时,点 D 是△ABC 的重心; 33



记△ABD,△ACD

的面积分别为

S?ABD



S?ACD

,当

x

?

4,y 5

?

3 5

时,

S?ABD S?ACD

?3; 4

③ 若点 D 在△ ABC 内部(不含边界),则 y ?1 的取值范围是 (1,1) ;

x?2

3

④ 若 AD ? ? AE ,其中点 E 在直线 BC 上,则当 x ? 4,y ? 3时, ? ? 5 .

其中正确的有

(写出所有正确结论的序号).

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分)
已知公差大于零的等差数列 ?an? 满足: a3a4 ? 48,a3 ? a4 ? 14 . (Ⅰ) 求数列?an? 通项公式; (Ⅱ) 记 bn ? ( 2)an ,求数列?bn? 的前 n 项和 Tn .
17.(本小题满分 12 分) 已知点 P(2,?1) . (Ⅰ) 直线 m 经过点 P,且在两坐标轴上的截距相等,求直线 m 的方程; (Ⅱ) 直线 n 经过点 P,且坐标原点到该直线的距离为 2,求直线 n 的方程.

18.(本小题满分 12 分)
在△ABC 中,角 A,B,C 对边分别为 a,b,c .设向量 m ? (a,b) , n ? (sin B,sin A) , p ? (b ? 2,a ? 2) .
(Ⅰ) 若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; (Ⅱ) 已知 c=2, C ? ? ,若 m⊥p,求△ABC 的面积 S.
3

19.(本小题满分 12 分)
在数列?an? 中, a1 ? 2,an?1 ? 2an2 ,又 bn ? log2 an . (Ⅰ) 求证:数列?bn ?1? 是等比数列; (Ⅱ) 设 cn ? nbn ,求数列?cn? 的前 n 项和 Tn .

20.(本小题满分 13 分) 已知点 A(2,0) ,点 B(?2,0) ,直线 l: (? ? 3)x ? (? ?1) y ? 4? ? 0 (其中 ? ?R ). (Ⅰ) 求直线 l 所经过的定点 P 的坐标; (Ⅱ) 若直线 l 与线段 AB 有公共点,求 ? 的取值范围; (Ⅲ) 若分别过 A,B 且斜率为 3 的两条平行直线截直线 l 所得线段的长为 4 3 ,求直 线 l 的方程.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) ? ax2 ? (a ?1)x ?1? b (a,b ? R) . (Ⅰ) 若 a ?1,关于 x 的不等式 f (x) ? 6 在区间[1,3] 上恒成立,求 b 的取值范围;
x (Ⅱ) 若 b ? 0 ,解关于 x 的不等式 f (x) ? 0 ; (Ⅲ) 若 f (1) ? f (?1) ? 0 ,且 | a ? b |? 2 ,求 a2 ? b2 ? (a ? 2b) 的取值范围.
资阳市 2014—2015 学年度高中一年级第二学期期末质量检测 参考答案及评分意见(数学)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1-5.DBBCA;6-10.DCACA 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 21;12. 9;13. 5 ;14. ? 1 或 2 ;15.①②③
2 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分。 16.(本小题满分 12 分)
(Ⅰ) 由公差 d ? 0 及 a3a4 ? 48, a3 ? a4 ? 14 ,解得 a3 ? 6, a4 ? 8 . ·······················3 分 所以 d ? a4 ? a3 ? 2 ,所以通项 an ? a3 ? (n ? 3)d ? 2n .··································6 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)有 bn ? ( 2)an ? 2n , ································································8 分
所以?bn? 是等比数列,首项 b1 ? 2 ,公比 q ? 2 .·········································10 分

所以数列?bn? 的前 n

项和 Tn

?

b1(1 ? qn ) 1? q

?

2n?1

?

2

.

·········································12



17.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ) ①当截距为 0 时,设直线 m 方程为 y ? kx ,代入点 P 坐标得 k ? ? 1 , 2
所以此时直线 m 方程为 y ? ? 1 x ,即 x ? 2y ? 0 . ··········································2 分 2
②当截距不为 0 时,设直线 m 方程为 x ? y ? 1 ,代入点 P 坐标得 a ?1, aa
所以,此时直线 m 方程为 x ? y ? 1.

综上所述,直线 m 方程为: x ? 2y ? 0 或 x ? y ? 1.(少一个方程扣 2 分)··········6 分

(Ⅱ) ①当直线 n 斜率不存在时,可知直线 n 方程为 x ? 2 ,该直线与原点距离为 2,

满足条件.··························································································8 分

②当直线 n 斜率存在时,可设直线 n 方程为 y ?1 ? k(x ? 2) ,

即 kx ? y ? 2k ?1 ? 0 ,由题可得 ?2k ?1 ? 2 ,解得 k ? 3 , ····························11 分

k2 ?1

4

此时直线 n 方程为 3 x ? y ? 3 ?1 ? 0 ,即 3x ? 4y ?10 ? 0 .

4

2

综上所述,直线 n 方程为: x ? 2 或 3x ? 4y ?10 ? 0 .(少一个方程扣 2 分)········12 分

18.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ) 因为 m // n, 所以 asin A ? bsin B ,·······················································3 分

由正弦定理得 a2 ? b2 ,即 a ? b ,所以 ?ABC 为等腰三角形. ···························5 分

(Ⅱ) 因为 m ? p ,所以 a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 ,即 a ? b ? ab ,......①, ··············7 分

又因为 c ? 2 , C ? ? , 3
由余弦定理 c2 ? a2 ? b2 ? 2abcosC ,得 a2 ? b2 ? ab ? 4 , ·······························9 分

即 (a ? b)2 ? 3ab ? 4 ,把①代入得 (ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 ,

解得 ab ? 4 ( ab ? ?1舍去), ·································································11 分

所以 ?ABC 的面积 S ? 1 absin C ? 3 .························································12 分 2
19.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ)

由题有 an

? 0 ,所以 bn?1 ? 1 ?
bn ? 1

log2 an?1 ? 1 log2 an ? 1

? log2 2an2 ? 1 log2 an ? 1

? log2 2 ? log2 an2 ? 1 ? 2log2 an ? 2 ? 2 .·····················································5 分

log2 an ? 1

log2 an ?1

所以,数列?bn ?1? 是公比为 2,首项为 2 的等比数列. ································6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)有 bn ? 1 ? 2n ,所以 bn ? 2n ?1, cn ? nbn ? n ? 2n ? n ··························8 分

数列?cn? 的前 n 项和 Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ? n ? 2n ? (1? 2 ? 3 ? ... ? n)

? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ?

?

n?

2n

?

n2 (

?

n)

.

··················································· 9



2

令 An ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ? n ? 2n ,

则 2An ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? n ? 2n?1 ,

两式相减,得:

? An ? 2 ? 22 ? 23 ? ? 2n ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1 ? (1 ? n)2n?1 ? 2 ,

所以 An ? (n ?1)2n?1 ? 2 . ········································································11 分

所以 Tn

?

An

?

n2 ? n 2

? (n ?1)2n?1

?

n2

? n ? 4 . ···············································12 2



20.(本小题满分 13 分)

(Ⅰ) 直线方程可化为: ?(x ? y ? 4) ? 3x ? y ? 0 ,



?x ? y ? 4 ? ??3x ? y ? 0,

0,

解得

? ? ?

x y

? 1, ? 3,

即直线

l

过定点

(1, 3)

.

········································ 3



(Ⅱ)方法

1:由题可得

?(? ? 3)x ? (?

? ?

y

?

0(?2

?

x

? ?

1) y 2)

?

4?

?

0,

有解,

得 ? ? 3x ? 3x ?12 ?12 ? 12 ? 3 (?2 ? x ? 2) ,

4?x

4?x

4?x

因为 ?2 ? x ? 2 ,所以 2 ? 4 ? x ? 6 ,所以 2 ? 12 ? 6 ,即 ?1? ? ? 3 . 4?x

(注:也可以得到 x ? 4? ,由 ?2 ? 4? ? 2 ,解得 ?1? ? ? 3 ) ·······················8 分

? ?3

? ?3

方法 2:① ? ?1符合条件;② ? ?1时,斜率 k ? ? ? ? 3 ,由图可知 k ?1或 k ? ?3, ? ?1

代入解得: ?1? ? ?1或1? ? ? 3 .综上所述 ?1? ? ? 3 .··································8 分

(Ⅲ) 由平行线的斜率为 3 得其倾斜角为 60? ,又水平线段 AB ? 4 ,

所以两平行线间距离为 d ? 4 ? sin 60? ? 2 3 ,而直线 l 被截线段长为 4 3 ,

所以被截线段与平行线所成夹角为 30? ,即直线 l 与两平行线所成夹角为 30? ,

所以直线 l 倾斜角为 60? ? 30? ? 30? 或 90? .

由(Ⅰ),直线 l 过定点 (1,3) ,则所求直线为 x ?1或 y ? 3 x ? 3 ? 3 . ·············13 分 33
21.(本小题满分 14 分)
(Ⅰ) 不等式化为 x2 ? 2x ?1? b ? 6 ,即 x2 ? 2x ?1? b ? 6x , x
即 x2 ? 8x ?1 ? b 在区间 ?1,3? 上恒成立, ·····················································2 分

由二次函数图象可知,当 x ? 3时, x2 ? 8x ?1有最小值 (x2 ? 8x ?1)min ? ?14 ? b , 所以 b 的取值范围为 (??, ?14] . ······························································4 分

(Ⅱ) 当 b ? 0 时,不等式 f (x) ? 0 化为 (ax ?1)(x ?1) ? 0 , ·······························5 分 ① 当 a ? 0 时,不等式解集为 (1, ??) ; ······················································6 分 ② 当 a ? 0 时,不等式解集为 (??, 1) (1, ??) ;··········································7 分
a ③ 当 a ? 0 时,不等式 f (x) ? 0 化为 (x ? 1)(x ?1) ? 0 ,
a 若 a ?1,不等式解集为?; 若 a ?1,不等式解集为 (1 ,1) ;
a

若 0 ? a ?1,不等式解集为 (1, 1) . a

综上所述:

①当 a ? 0 时,不等式解集为 (??, 1) (1, ??) ; a

②当 a ? 0 时,不等式解集为 (1, ??) ;

③当 0 ? a ?1时,不等式解集为 (1, 1) ; a

④当 a ?1时,不等式解集为?;

⑤当 a ?1时,不等式解集为 (1 ,1) .··························································10 分 a

(Ⅲ)

由题有

??b(2a ???2 ? a

?b? ?b?

2) 2,

?

0,

作出如图所示的平面区域:

又 a2 ? b2 ? (a ? 2b) ? (a ? 1)2 ? (b ?1)2 ? 5 ,

2

4

因为 (a ? 1)2 ? (b ?1)2 表示动点 (a,b) 与定点 (1 ,1) 距离的平方,

2

2

所以,由图可知 (a ? 1)2 ? (b ?1)2 的范围为 (4,277) ,··································13 分

2

54

所以, a2 ? b2 ? (a ? 2b) 的取值范围为 (? 9 ,68) . ······································14 分 20



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