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2013年北约自主招生试题及答案解析word版


2013“北约”自主招生试题
2013-03-16 (时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(每题 8 分,共 48 分) 1.以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的最高次数最小为( A. 2 B.
3

) D.
6

C.

5

【解】由 x1 ? 2 ,可知 x 2 ? 2 ,同理由 1 ? 3 2 ? x 可知 (1 ? x)3 ? 2 ; 所以方程 ( x2 ? 2)[(1 ? x)3 ? 2] ? 0 的次数最小,其次数为 5,故选 C. 2.在 6 ? 6 的表中停放 3 辆完全相同的红色和 3 辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆 车,每辆车只占一格,共有 种停放方法. 20 518400 14400 A. 720 B. C. D. 【解】红色车选 3 列有 C63 ? 20 种方法,再从这三列中选三行有 C63 ? 20 种方法,另外将红色 车放在已选好的三列三行中有 3 ? 2 ? 6 种方法,同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格 中选,也有 3 ? 2 ? 6 种方法,因此方法数有 (20 ? 20 ? 6) ? 6 ? 14400 种.故选 D. 3.已知 x 2 ? 2 y ? 5 , y 2 ? 2 x ? 5 ( x ? y ),则 x3 ? 2 x2 y 2 ? y 3 值为( A.
?10

) D.
?16

B.

?12

C.

?14

【解】由 x 2 ? 2 y ? 5 与 y 2 ? 2 x ? 5 两式作差得 x ? y ? ?2( x ? y ) ,代入两式中分别化出

x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 、 y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 ,所以 x, y 是方程 t 2 ? 2t ? 1 ? 0 的两个不等实根,于是 x? y? ?, xy? ? 2 1 ,也所以
2 2 x3 ? 2 x2 y 2 ? y3 ?( x? )y[ ( x y ? 3 x y 2 ( x y ? ? 2 ) ? .故选 D. 6 ? ) ]? ) ( ? 7 ? ? 1 2

4.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , Sn ?1 ? 4an ? 2 ( n ? 1 ),则 a2013 值为( A.

) D. 无法确定

3019 ? 22012

B.

3019 ? 22013

C.

3018 ? 22012

【解】由 a1 ? 1 , Sn ?1 ? 4an ? 2 ( n ? 1 )……①可知, 当 n ? 1 时, S2 ? 4a1 ? 2 ,所以 a2 ? 5 ; 当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2(n ? 2) ……②,由①-②式得,

an ?1 ? 4an ? 4an ?1 (n ? 2) ,即 an ?1 ? 2an ? 2(an ? an ?1 )(n ? 2) ,且 a2 ? 2a1 ? 3

所以 an ?1 ? 2an ? 3 ? 2n ?1 ( n ? N * ),同除以 2n 得, 所以

an?1 an 3 a ? n?1 ? ,且 1 ? 1 ; n 2 2 2 20

an ?1 3 ? 1 ? n ,故令 n ? 2012 时,得 a2013 ? 22012 ? 3019 ,故选 A. n 2 2 5.在 ?ABC 中, D 为 BC 中点, DM 平分 ?ADB 交 AB 于点 M , DN 平分 ?ADC 交 AC 于 N ,
则 BM ? CN 与 MN 的关系为( A. BM ? CN ? MN B. MN ? CN ? MN C. BM ? CN ? MN )
M B D

D.无法确定 【解】如图,在 DA 取 DE ? DB ,连接 ME , NE , MN 则显然可证 ME ? MB, EN ? NC , 且有 ME ? NE ? MN ,即 BM ? CN ? MN , 上述不等式当且仅当 ?MED ? ?DEN ? 180 , 也即 ?B ? ?C ? 180? , 这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到, 也即选 A.
?

A B M E A

N

C

D

N

C

6.模长都为 1 的复数 A, B, C 满足 A ? B ? C ? 0 ,则 A.

BC ? AC ? AB 的模长为( A? B ?C
D. 无法确定

)

?

1 2

B.

1

C.

2

【解】由题知 AA ? BB ? CC ? 1 ,所以

BC ? AC ? AB BC ? AC ? AB BC ? AC ? AB ? ? , A? B ?C A? B ?C A? B ?C
2

也即

BC ? AC ? AB BC ? AC ? AB BC ? AC ? AB ? ? A? B ?C A? B ?C A? B ?C
2

?

3 ? B A ? C A ? AB ? C B ? AC ? BC ? 1 ,故选 B. 3 ? AB ? AC ? B A ? BC ? C A ? C B

二、解答题(每题 18 分,共 72 分) 7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证明你的结论. 【解】 :至多有 4 个.首先可以取 1,3,7,9 这四个数,它们任意三个数之和分别为 11,13,17,19 符 合质数定义.下面再证明 5 个正整数是不符合题意的. 若有 5 个正整数,则考虑这五个数被 3 除的余数,如果有一个数的余数为 0,那么考虑余 下的 4 个数被 3 除的余数,如果余数既有 1 也有 2,那么这两个数与前面余数为 0 的数的和刚 好为 3 的倍数,故不符合题意,如果余下四个数的余数均相等,显然取余下四个数中的三个数, 则这三个数的和为 3 的倍数不是质数,也不符合题意,如果这 5 个数被 3 除的余数都不等于

0,则由抽屉原理,至少有 3 个数被 3 除的余数相同,这三个数的和是 3 的倍数不是质数,也不 符合题意.综上可知,不存在 5 个正整数符合题意,即至多有 4 个正整数符合题意. 8.已知 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 ,且 | a1 ? 2a2 |?| a2 ? 2a3 |? ? ?| a2013 ? 2a1 | . 证明: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 . 【证明】:观察可知 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 , 即 (2a2 ? a1 ) ? (2a3 ? a2 ) ? ? ? (2a2013 ? a2012 ) ? (2a1 ? a2013 ) ? 0 ……① 又 | a1 ? 2a2 |?| a2 ? 2a3 |? ? ?| a2013 ? 2a1 | ,不妨设 | a1 ? 2a2 |? t , 则①可写为 kt ? (2013 ? k )t ? 0(0 ? k ? 2013, k ? N ) ,即 (2k ? 2013)t ? 0 , 又显然 2 k ? 2013 ? 0 ,则有 t ? 0 ,于是有

a1 ? 2a2 , a2 ? 2a3 ,?, a2012 ? 2a2013 , a2013 ? 2a1 ,所以 a1 ? 22013 a1 ,即 a1 ? 0 .
也所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 ,即证. 9.对于任意 ? ,求 32cos6 ? ? cos6? ? 6cos 4? ? 15cos 2? 的值. 【解】 32cos6 ? ? cos6? ? 6cos 4? ? 15cos 2?

1 ? c o s?23 ?3 2 ( )? c o s 6 ? ? 2
? 4 ( 1? c 3 s 2 o? ? ? 4 ?1 2 c 2 s 2 o? ? 3 cos 2 ? ?

6 ? o? 4 c s
2

15 cos 2 ?
? 4 c o s 2 ? ) 2 6 c?o s 4 ? 10

3?c o ? 2 3) ?( 3 c o s ? s ? 2

15 co

6 c o s 4 ? 4 ?6 ( 1 c ? s 4 ?) ? ? ? o

即求. ?cos 4 6

10.有一个 m ? n 的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重 新排列,则新的数表中每一行的数满足什么样的关系?请证明你的结论. 〖原题叙述〗:已知有 m ? n 个实数,排列成 m ? n 阶数阵,记作 {aij }m?n ,使得数阵中的每一行从 左到右都是递增的,即对意的 i ? 1, 2,3,?, m ,当

j1 ? j2 时,都有 aij1 ? aij2 .现将 {aij }m?n 的

? 每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的 m ? n 阶数阵,记作 {aij }m?n ,
即对任意的 i

? ? 1, 2,3,? , n ,当 i1 ? i2 时,都有 ai? j ? ai?2 j .试判断 {aij }m?n 中每一行的 n 个 1

数的大小关系,并说明理由.

? 【解】:数阵 {aij }m?n 中每一行的 n 个数从左到右都是递增的,理由如下:

? 显然,我们要证明数阵 {aij }m?n 中每一行的 n 个数从左到右都是递增的,我们只需证明,

? 对于任意 i ? 1, 2,3,?, m ,都有 aij
若存在一组 a? pq

? ai?( j ?1) ,其中 j ? 1, 2,3,?,(n ? 1) .

? a? ( q ?1) , p

? 令 ak ( q ?1)
则当 t

? aik ( q ?1) ,其中 k ? 1,2,3,?, m,{i1 , i2 ,?, ik } ? {1,2,?, m} ,

? p 时,都有 ait q ? ait ( q ?1) ? at?( q ?1) ? a?( q ?1) ? a? . p pq

也即在 aiq (i ? 1,2,?, m) 中,至少有 p 个数小于 a? , pq

? 也即 a? 在数阵 {aij }m?n 中的第 q 列中,至少排在第 p ? 1 行,与 a? 排在第 p 行矛盾. pq pq
所以对于任意的 i 左到右都是递增的.

? ? ? 1, 2,?, m ,都有 aij ? ai?( j ?1) ,即数阵 {aij }m?n 中每一行的 n 个数从



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